метод-amo

21

3.3 Зміст звіту

Письмовий звіт повинен містити:

а) тему, формулювання мети й задач досліджень;

б) завдання лабораторної роботи, виконане в MathCad; в) відповіді на контрольні запитання; г) висновки за результатами досліджень.

Письмовий звіт повинен бути оформлений на комп„ютері, мати титульну сторінку із зазначенням назви дисципліни, теми лабораторної роботи, автора звіту та викладача, дати складання письмового звіту. Далі на кожній сторінці звіту в колонтитулах має міститись прізвище, ім„я та номер групи студента (верхній колонтитул), тема лабораторної роботи та номер сторінки (нижній колонтитул).

3.4Контрольні запитання

1.Переваги та недоліки прямих і ітераційних методів.

2.Переваги LU-перетворення.

3.Відмінність ітераційного методу Гауса від Гауса-Зейделя.

4.Засоби обчислень визначника матриці.

5.Засоби обчислень власних чисел і власних векторів.

6.Умови збігу ітераційних методів.

7.Впорядкування матриць: мета та засоби.

22

4 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №4 ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗКУ СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

Мета роботи: вивчення основних чисельних методів розв‟язку нелінійних алгебраїчних рівнянь і особливості їх застосування при дослідженні математичних моделей нелінійних резистивних схем.

де X m, X m 1 – вектори з n змінних, що відповідають m-й та m+1- й ітераціям;

F ( X m ) – вектор-функція розмірності n.

Формула (4.1) застосовується до математичної моделі вигляду

X m 1 F( X m ) .

Ітераційний процес (4.1) збігається при виконанні умови :

Швидкість збігу методу простої ітерації лінійна. Більш високу, а саме квадратичну швидкість збігу має метод Ньютона-Рафсона. Його формула для системи НАР:

23

нелінійної функції F( X ) у ряд Тейлора, де беруться перші два члени,

що відповідає лінеаризації нелінійної функції.

Для одного НАР формула (4.3) перетворюється до вигляду:

Дякуючи високому збігу метод Ньютона знаходить широке застосування у програмах аналізу нелінійних схем. При цьому можливі два способи складання і розв‟язку рівнянь математичної моделі досліджуваної схеми. За першим способом спочатку за нелінійними моделями схеми складається її модель у вигляді системи НАР, яка перетворюється на кожній ітерації у систему лінійних алгебраїчних рівнянь (ЛАР) за допомогою формули, що випливає з

(4.4):

За другим способом спочатку лінеаризуються нелінійні компоненти схеми, а потім за отриманими лінійними моделями компонентів складається модель схеми у вигляді системи ЛАР.

Другий спосіб більш переважний, тому що дозволяє використовувати готові програми аналізу, розроблені для лінійних схем.

Ітераційна модель, що отримується у результаті лінеаризації нелінійної провідності, має наступний вигляд:

24

dua

Модель вольт-амперної характеристики діода описується виразом:

де I S -- струм насичення, ut -- тепловий потенціал.

Діод та його ітераційні моделі паралельного (б) і послідовного

в)

Рисунок 4.1 – Діод та його ітераційні моделі паралельного (б) і послідовного (в) типу.

4.2 Порядок виконання роботи

Завдання 1 – Чисельний розв‟язок нелінійного алгебраїчного рівняння з використанням MathCad.

Методом Ньютона знайти хоч би один не нульовий розв‟язок нелінійного рівняння g(x) 0 з точністю 0,001. Варіанти завдань приведені у таблиці 4.1.

27

1.Скласти лінеаризовану схему для схеми, зображеної на рис.4.2 , використовуючи ітераційну модель діода паралельного типу.

2.Скласти лінійне рівняння для обчислення u Д ,m 1 .

3.Набрати одержане рівняння і, обчислюючи на кожній

ітерації нові параметри ітераційної моделі діода, визначати u Д ,m 1 , доки не стане eps .

4.3 Зміст звіту

Письмовий звіт повинен містити:

а) тему, формулювання мети й задач досліджень; б) короткі теоретичні відомості, вихідні схеми;

в) еквівалентні схеми і співвідношення, покладені в основу програм;

г) завдання лабораторної роботи, виконане в MathCad; д) відповіді на контрольні запитання; е) висновки за результатами досліджень.

Письмовий звіт повинен бути оформлений на комп„ютері, мати титульну сторінку із зазначенням назви дисципліни, теми лабораторної роботи, автора звіту та викладача, дати складання письмового звіту. Далі на кожній сторінці звіту в колонтитулах має міститись прізвище, ім„я та номер групи студента (верхній колонтитул), тема лабораторної роботи та номер сторінки (нижній колонтитул).

4.4Контрольні запитання

1.Основні співвідношення й характеристики методу простої ітерації. Умови збігу методу простої ітерації.

2.Основні співвідношення й характеристики методу Ньютона-Рафсона.

3.Як визначається матриця Якобі?

4.Отримайте ітераційну модель для діода.

5.Поясніть два основних способи побудови математичних моделей нелінійних схем.

6.Складіть математичну модель і алгоритм її розв‟язку методом простої ітерації для схеми на рис.4.2.

7.Складіть математичну модель та алгоритм її розв‟язку методом Ньютона-Рафсона для схеми на рис.4.2.

28

5 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 5 ЧИСЕЛЬНЕ РОЗВ’ЯЗАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ

РІВНЯНЬ

Мета роботи: вивчення методів чисельного розв‟язання звичайних диференціальних рівнянь та особливостей моделювання електронних схем з LC-елементами.

5.1 Теоретичні відомості

Системи звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) можуть бути записані у явній dU/dt= F(U,t) або у неявній формі F( dUdt ,U,t) = 0.

Для чисельного розв‟язання ЗДР звичайно застосовують формули, що визначають значення функції Un+1 на n+l-ому кроці через лінійну комбінацію значень функції та її похідних на попередніх кроках. Число значень функції, що враховуються у формулі, визначає порядок і точність метода. Якщо у формулі використовується значення похідної на n+l-ому кроці, то метод зветься неявним, у протилежному випадку - явним. Методи поділяються на абсолютно стійкі, у яких відсутні обмеження на величину кроку, та обмежено стійкі, які мають обмеження на величину кроку. Для аналізу схем широке застосування знаходять наступні найпростіші методи:

29

Тут h=tn+1–tn - крок за часом; Un' ,Un+1' - похідні у точках tn та tn+1 відповідно. Формули (5.2)-(5.4) є абсолютно стійкими. Формула (5.1)

має обмеження на величину кроку:

2

h< max ,

де mах - максимальне власне число матриці системи рівнянь. Формули (5.1) і (5.2) мають перший порядок, а (5.3), (5.4) - другий порядок точності. При однакових умовах застосування формули (5.1) і (5.2) дають рівні за величиною і протилежні за знаком похибки апроксимації. Для оцінки похибки апроксимації можна використовувати правило Рунге:

де Um+1(h), Um+1(h/2) - значення функції, отримані в точці tn+1 при переході з точки tn з кроком h і з кроком h/2, відповідно; p - порядок точності методу. При складанні математичної моделі схеми з LC-елементами та її аналізі можливі два способи. За першим способом на підставі диференційних співвідношень для LC-елементів складаються рівняння у явній або неявній формі, що описують схему, а далі за формулами (5.1)-(5.4), або подібними до них, робиться алгебраїзація і розв‟язування цих рівнянь. Другий метод передбачає попереднє перетворення за формулами (5.1)-(5.4) диференційних співвідношень для LC-елементів у алгебраїчні з подальшим складанням та розв‟язуванням математичної моделі схеми у вигляді системи алгебраїчних рівнянь. Перетворення робиться на підставі неявних методів і здійснює перехід від рівнянь

30

– для методу Шихмана:

UCn+1 = 4/3 UCn –1/3UCn-1 + 2/3 h/C iCn+1;

iLn+1 = 4/3 iLn –1/3iLn-1 + 2/3 h/L ULn+1. (5.8)

Формули (5.6)-(5.8) прийнято називати дискретними моделями реактивних елементів. За цими моделями можна скласти дискретні схеми заміщення. На рис.5.1, 5.2 наведено дискретні схеми заміщення LC-елементів, побудовані за співвідношеннями (5.6)-(5.8) (а - реактивний елемент, б - послідовна, в - паралельна схеми заміщення). Параметри компонентів схем заміщення наведено у табл. 5.1 для ємності і у табл.5.2 - для індуктивності.

Таблиця 5.1

Слід відзначити, що використання дискретних схем заміщення дозволяє перетворити реактивні схеми з реактивними елементами у резистивні схеми, а аналіз у часовій області замінити послідовністю розрахунків еквівалентної резистивної схеми за постійним струмом.