Завдання на алгебру та геометрію
.pdf11
1. |
|
z3 −1−i =0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
7 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 3 |
|
4 |
−3 |
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 −1 −3 4 |
|
|
|
4. |
|
|
= |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
1 2 X |
1 |
. |
|||||||
2. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
2 |
8 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 1 |
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 3 |
0 −3 |
|
|
|
|
x +x =3; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 2 0 |
4 |
5. |
|
|
|
+x3 =−6; |
||||||||
|
1 3 |
|
−2x1 +3x2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 2 |
1 |
|
|
|
|
+2x +2x =2. |
|
|||||
3. |
6 2 |
|
|
x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
−1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5 |
1 2 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
−4 3 |
−1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
−7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6. a ={11,−5,−14},e1 ={2,1,−3},e2 ={1,−2,−3},e3 ={−2,3,1}.
|
8x +x +x −x =0; |
||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
||||
7. |
|
|
−3x2 −2x3 +x4 =0; |
||
3x1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+4x +3x −2x =0. |
||
|
5x |
||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
λx+ y =µ;
8.x−y =0;
+ =−
x λy µ.
|
2 |
1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
9. A= −1 |
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
−1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
−1 |
−2 −2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
10. B = |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
11.Знайти довжину вектора w=a×b , якщо a =2i − j +3k, b =i +2 j +3k .
12.Дано дві протилежні вершини ромба А(3;4) та С(1;–2). Сторона АВ нахилена до вісі Ох під кутом 45°. Знайти вершини В та D.
5x−4y−2z−5=0
13. Скласти рівняння проекції прямої на площину
x+2z−2 =0
2x−y +z−1=0.
14. А(–2;–1;–3); В(4;7;0); С(–5;–5;–2); D(5;0;–3).
15. На якій відстані від асимптот гіперболи x2 −y2 =4 знаходяться фокуси еліпса з на піввісями 2 та 3 (велика вісь лежить на осі Оу)? Зробити креслення.
|
|
|
π |
|
||
16. |
r =4cos |
|
|
−ϕ . |
||
|
|
|
|
|||
|
|
6 |
|
|||
17. |
2x2 +2y2 −4xy−4x+8y + |
1 |
=0. |
|||
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
18. |
2x2 −y2 +2z2 +8 =0; y2 =2x+4. |
12
1. |
|
z3 +1−i =0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
4 |
|
|
8 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
3 |
3 10 |
4 |
−1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
= |
|
. |
|||||||
|
|
|
1 −3 −2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−7 |
2 |
7 |
5 |
|
2 |
||||||||||||
|
|
3 −2 3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +2x +3x =7; |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
−1 4 |
|
|
3 −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
|
|
−x3 =1; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2x1 +x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 2 1 |
|
0 2 −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−x +3x =3. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
2 |
−1 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
−2 8 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
8 8 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
1 |
−1 |
1 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6. |
a = −4,2,0 |
,e = 3,−1,1 |
,e |
= 5,3,1 |
,e |
= |
{ |
0,−2,1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
{ |
|
|
|
} |
|
1 |
{ |
|
} |
2 |
{ |
} |
3 |
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3x −x +12x −x =0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
|
+x −10x +x =0; |
|
|
|
|
|
9. A= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
−2x |
|
|
|
|
|
0 2 |
1 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +2x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4z =µ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
λx+λy + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 0 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8. |
|
y +z =λ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. B = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−6 |
4 3 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x+z =0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−6 |
0 7 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Знайти Пр |
|
|
, де c ={2;−1;0}, a ={5;3;−2}, b ={3;−1;−8}. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(a+3b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12. Промінь |
|
світла |
направлено |
по |
прямій |
x−2y +5=0 . |
Дійшовши |
до |
прямої |
||||||||||||||||||||||
|
3x−2y +7 =0 , промінь від неї відбився. Скласти рівняння прямої, на якій лежить |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
відбитий промінь. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
13. Скласти |
|
|
рівняння |
площини, що проходить |
через пряму |
x−1 |
= |
y +2 |
= |
z−2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
−3 |
−2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
перпендикулярно до площини 3x+2y−z−5 =0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
14. А(–5;–3;–1); В(1;0;7); С(–8;–2;–5); D(2;–3;0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
15. На параболі |
y2 =24x |
обрано точку з фокальним радіусом-вектором, рівним 14. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Визначити |
відстань |
цієї |
точки |
від вершин |
гіперболи |
x2 −4y2 =16 . Зробити |
||||||||||||||||||||||||
|
креслення. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
16. r =3cos |
|
π |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ϕ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17.2x2 +5xy +2y2 −6x−3y−8=0.
18.3x−6 = z2; x2 −y2 =2(z−1)2 .
13
1. |
|
z3 + 6 +i |
2 =0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
10 −4 2 11 |
|
|
|
|
−4 |
1 |
0 |
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 1 −1 −2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
4. X |
−1 −4 |
= 3 |
|||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
3 −4 1 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 −2 2 |
|
|
|
|
2x −x +3x =6; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
3 |
|
5. |
|
|
+x2 −x3 =−10; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5x1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
1 |
−2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
+2x2 −2x3 =2. |
|||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
−1 1 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
−1 2 3 −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
6. a ={2,4,2},e1 ={1,2,−2},e2 ={−2,1,−1},e3 ={1,−3,−3}.
|
x +2x −3x +10x =0; |
||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
||||
7. |
|
|
−2x2 |
+3x3 |
−10x4 =0; |
x1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+6x |
−9x |
+3x =0. |
|
x |
||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
x+ y =0;
8.λx+ y =0;
+ =
x µy 1.
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
9. A= 0 |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
2 |
0 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
10. B = −2 |
−2 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
−2 |
|
5 |
|
|
|
0 |
|
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
1 |
11.Вершини ABC – точки А(3;2;–3), В(5;1;–1), С(1;–2;1). Визначити зовнішній кут при вершині В.
12.Знайти точку M1 , симетричну точці M2 (8;−9) відносно прямої, що проходить
|
через точки А(3;–4) та В(–1;–2). |
|
13. |
Скласти рівняння площини, що |
проходить через пряму перетину площин |
|
5x−2y−z−3=0 та x+3y−2z +5=0 паралельно вектору e ={7;9;17}. |
|
14. |
А(–2;0;–2); В(6;3;4); С(–6;1;–5); D(–1;0;5). |
|
15. |
Дано еліпс x2 +2y2 =8 та параболу |
y =8x2 +1. Знайти відстань фокуса параболи |
від фокусів еліпса. Зробити креслення.
16.r =2cos2ϕ.
17.x2 −xy + y2 −2x−2y−2 =0.
18.3x2 −(z−1)2 =3; 3x2 +3y2 −6x+4y−1=0.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
z3 − 2 +i |
6 =0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4 2 −2 −1 |
|
|
|
3 |
|
5 |
−1 |
2 |
|
10 |
12 |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
= |
|
|
. |
||
|
|
5 1 |
|
1 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|||
2. |
|
|
. |
|
|
4 |
|
6 |
8 |
−15 |
−3 |
|
|||||||
|
4 |
3 |
|
1 |
|
−3 |
|
|
2x +x −2x =11; |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3 −2 2 |
1 |
|
|
5. |
x −2x +3x =−5; |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
1 |
−2 |
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
−3x −3x +x =−14. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
−2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
3 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
8 |
1 |
−10 |
−5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. a ={0,−1,4},e1 ={−1,2,1},e2 ={1,3,1},e3 ={3,−2,3}.
|
2x +x −3x +x =0; |
||||
|
|
|
1 2 |
3 |
4 |
|
|
|
|||
7. |
|
|
|
+2x3 |
−x4 =0; |
3x1 −x2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2x |
+5x |
−2x =0. |
|
x |
|
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
−λy +z =2; |
|||
|
x |
||||
|
|
|
|
|
|
8.x+µz =1;
− =
y z 0.
|
1 |
−2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
9. A= −1 |
1 . |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−1 |
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
−3 |
−4 −4 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
10. B = |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
11.Вектор a складає з координатними осями Ох та Оу α=60 та β =120 . Обчислити його координати, якщо a =2 а кут з віссю Оz γ – тупий.
12.Через точку перетину прямих 2x−5y−1=0 та x+4y−7 =0 провести пряму, що
ділить відрізок між точками А(4;–3) та В(–1;2) у відношенні 2:3.
13. Знайти проекцію точки Р(3;–4;–6) на площину, що проходить через точки
M1 (−6;1;−5),M2 (7;−2;−1) та M3 (10;−7;1).
14.А(0;–2;0); В(8;4;3); С(–4;–5;1); D(1;5;0).
15.Знайти відстань фокусів еліпса x2 +4y2 =4 від асимптот гіперболи 2x2 −y2 =2 . Зробити креслення.
16.r =3sin 2ϕ.
17.x2 + y2 −4xy +4x−2y +1=0.
18.x2 + y2 −z2 +2y =0; x2 −4y2 =4.
15
1. z3 −6 −i2 =0.
|
|
−1 |
|
5 |
−1 |
4 |
|
|
2. |
|
−3 |
|
6 |
2 |
3 |
|
. |
|
−1 |
−4 |
−5 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
−1 |
0 −1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
−1 |
2 |
|
||
|
3 |
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
3 |
0 |
|
|||
|
1 |
2 |
||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
−1 2 1 3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
−3 −5 |
3 |
|
|||
|
3 |
0 |
|
5 |
|
0 |
−3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
−2 |
1 |
|
2 |
||
2 |
|
X |
= |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
−1 |
−1 |
|||
|
3x +5x =−4; |
|
|||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
|
|
|
|
|
|
−x1 +3x2 −2x3 =2; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+x |
+x |
=0. |
|
|
|
x |
|
|||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
−41 . 3
6. |
a = 5,−13,2 |
,e = 3,−1,2 ,e |
= −2,2,−1 ,e = 1,4,1 . |
|
|||||||||||||||
|
|
{ |
|
} |
1 |
{ |
} |
2 |
{ |
} |
3 |
{ |
|
} |
|
|
|
|
|
|
2x +3x +x −x =0; |
|
|
|
|
|
|
−1 |
3 1 |
|
|||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
|
−5x |
−3x |
+x =0; |
|
|
|
|
9. A= |
1 |
|
|
|
||||||
−2x |
|
|
|
|
|
1 1 . |
|
||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+3x |
+2x |
−x =0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
−2x |
|
|
|
|
|
|
−1 |
1 0 |
|
|||||||||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λx+ y−z =1; |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 −1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. B = |
|
|
|
|
|
|
||
8. λx−y =0; |
|
|
|
|
|
|
0 |
3 −1 . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µx−z =0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
={3;2;−2}, |
|||||||
11. Знайти координати вектора x |
, якщо x |
a та x |
b , |
|
x |
=4 33 , де a |
b ={1;−1;0}. Кут між вектором x та віссю Ох – гострий.
12.Дано дві вершини трикутника: А(–6;2), В(2;–2) та точка перетину медіан K(1;2). Обчислити відстань від третьої вершини С до сторони АВ.
13.Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точку М(3;–2;–4)
паралельно площині 3x−2y−3z−7 =0 і перетинає пряму x−2 = y +4 = z−1 . 3 −2 2
14.А(2;2;–2); В(5;10;4); С(3;–2;–5); D(2;3;5).
15.Через фокуси еліпса x2 +9y2 =36 проведено прямі, паралельні асимптотам гіперболи, ексцентриситет якої рівний 2. Написати рівняння цих чотирьох прямих. Зробити креслення.
16.r =−4cos2ϕ.
17.2x2 +2y2 +4xy +8x+6y +1=0.
18.(y−5)2 =2z; x2 + y2 +4z2 −2x−15 =0.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
|
z3 + 2 −i |
6 =0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
4 2 −1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 3 |
|
1 |
|
8 |
3 |
−2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
= |
|
|
. |
|||
|
|
1 5 |
|
3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||
2. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
−5 |
2 15 |
5 |
|
|||||||||||||
|
5 −4 −4 5 |
|
|
|
|
|
|
|
x −2x +x =2; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3 2 −1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
5. |
2x +x −3x =4; |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 1 3 −1 |
0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
−2x −x −3x =2. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
−1 |
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 0 2 |
|
|
|
1 1 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
5 |
4 |
2 |
|
|
|
6 |
4 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6. |
a = 1,2,4 |
,e = 1,1,2 ,e |
= 1,−2,−1 |
,e |
= 1,−3,−2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
{ |
|
} |
1 |
{ |
|
} |
2 |
{ |
} |
3 |
{ |
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2x +x −x +7x =0; |
|
|
|
|
|
|
6 |
3 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
x |
−2x +3x −5x =0; |
|
|
|
|
9. A= |
1 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−x +7x −10x +22x =0. |
|
|
|
|
3 |
1 −1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2x−y =µ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−2 −2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. |
|
|
|
|
=0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. B = |
|
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
λx+ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x+λy =0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Обчислити |
|
площу |
паралелограма, |
побудованого |
на |
векторах |
|
|||||||||||||||||||||
|
a |
=k − j та |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
b =i + j +k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.Обчислити координати вершин ромба, якщо відомі рівняння двох його сторін 2x−y +4 =0 та 2x−y +10 =0 а рівняння одної з його діагоналей x+ y +z =0.
13.Знайти відстань від точки А(–1;2;3) до площини, що проходить через точки В(1;2;1), С(2;–3;4), D(–4;5;1).
14.А(6;–2;2); В(9;4;10); С(7;–5;–2); D(6;5;3).
15.Знайти кути чотирикутника, вершини якого лежать в фокусах еліпсів 2x2 + y2 =16 та гіперболи x2 −y2 =4 . Зробити креслення.
16.r =−3sin 2ϕ.
17.3x2 +10xy +3y2 −12x+12y +4 =0.
18.x2 +6x+10−y =0; x2 + y2 =(z +1)2 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. z3 +2+i2 3 =0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 −1 |
1 −1 |
3 |
|||||||
|
|
12 −3 −2 4 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 −1 −3 |
|
|
|
1 0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
4. X 2 |
|
= 4 3 |
2 . |
||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 −1 |
−2 |
|
|
|
|
1 1 |
|
|
−2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
5 |
|||||||
|
|
|
4 |
1 |
3 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−x1 |
+x2 +3x3 =0; |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 1 1 −3 |
5. |
|
+3x2 −2x3 =−1; |
|
|||||||||||
|
|
0 |
2x1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
1 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 +x2 +3x3 =4. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 1 2 1 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
2 |
−1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
6. a ={10,3,−5},e1 ={1,2,1},e2 ={3,−2,−5}
|
2x −2x −3x −7x =0; |
|||
|
|
1 2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
7. |
|
+11x2 −12x3 +34x4 =0; |
||
x1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
−5x +2x −16x =0. |
||
|
x |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
x+ y +z =0; |
|
||
|
|
|
|
|
8. |
|
|
|
|
2x+z =µ; |
|
|
||
|
|
|
|
|
− =
λx z 0.
11.Який кут утворюють одиничні вектори b =5p−4q взаємно перпендикулярні?
,e3 ={−5,−3,2}. |
|
|||
|
|
2 |
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
4 |
−2 |
|
|
A= |
4 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
−2 |
2 |
||
|
5 |
0 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
10. B = 6 |
−3 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
6 |
−4 |
||
|
|
|
|
|
p та |
q , якщо вектори a = p+2q та |
12.В трикутнику з вершинами А(2;1), В(–1;–1) та С(3;2) визначити точку перетину висот (ортоцентр).
13. Скласти рівняння площини, що проходить через пряму перетину площин 3x−y +2z +9 =0 , x+z−3=0 та через точку М(4;–2;–3).
14.А(–2;–2;0); В(4;6;3); С(–5;–6;–1); D(5;–1;0).
15.Знайти площу трапеції, основами якої слугують мала вісь еліпса x2 +4y2 =4 та директриса параболи x2 =6y . Зробити креслення.
16.r =2cos3ϕ.
17.4xy +4x−4y−2 =0.
18.x2 −4x+z2 =0; 4x2 −z2 = y.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. z3 −2 3 +2i =0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
−1 −3 −2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
−3 |
2 |
|
−2 |
5 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
= |
|
. |
||
|
|
|
6 |
|
2 −1 −6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
5 |
−3 |
3 |
−1 |
||||||||||
|
−1 4 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x −2x +x =5; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
4 |
|
3 |
2 |
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−x1 +2x2 +4x3 =−13; |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 1 |
|
2 −1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
−x |
+x =2. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
−1 |
|
3 |
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 2 |
|
1 3 0 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
2 |
3 |
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6. |
a = |
{ |
2,−3,2 |
|
,e = |
{ |
2,−1,4 |
,e |
= −1,3,2 ,e = 1,−2,−1 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
} |
1 |
|
|
|
} |
2 |
{ |
} |
3 |
{ |
|
} |
|
|
|
|
|
|||||
|
x +3x −5x +9x =0; |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 3 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
2x |
−2x −3x −7x =0; |
|
|
|
9. A= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
−1 0 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −5x +2x +3x =0. |
|
|
|
|
|
|
0 |
5 6 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x+λy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
−4 −4 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. |
|
|
−y |
=1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. B = |
|
0 |
3 |
0 |
|
|
|
|
||||
|
µx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x+ y =0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
5 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11. Перевірити, що вектори a =−2i +6 j −9k |
та b =−6i +7 j +6k можуть бути взяті |
за ребра куба; знайти третє ребро.
12.З точки М(–2;3) під кутом α до осі Ох направлено промінь світла. Відомо, що tgα=3. Дійшовши до вісі Ох, промінь від неї відбився. Скласти рівняння прямих,
на яких лежать падаючий та відбитий промені.
13.Дано вершини трикутника: А(4;1;–2), В(2;0;0), С(–2;3;–5) через сторону АВ провести площину, перпендикулярну до площини трикутника.
14.А(–2;0;2); В(4;3;10); С(–5;1;–2); D(5;0;3).
15.Через фокус параболи y2 =4x проходить коло з центром у початку координат. Знайти точки перетину цього кола з асимптотами гіперболи x2 −y2 =6 . Зробити креслення.
16.r =3sin3ϕ.
17.x2 + y2 −2xy−2x+4y−7 =0.
18.y2 =8x+16; z = x2 +3y2 −6y+1.
19
1. z3 −2−i2 3 =0. |
|
|
||||||
|
|
2 |
−6 |
4 |
|
|
||
|
|
11 |
|
|
||||
2. |
|
|
6 |
−1 |
1 |
−1 |
. |
|
|
|
2 |
2 |
−1 |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
4 |
−1 |
3 |
−2 |
|
|
|
−2 |
1 |
2 |
3 |
−1 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
0 |
4 |
1 |
|
||
|
|
0 |
||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
2 |
3 |
1 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
1 |
−1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
0 |
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
1 |
1 |
|
||
0 |
|
X = 2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x +x |
+x |
=1; |
|||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
5. |
|
|
−2x2 −3x3 =2; |
|||
x1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x −x +2x =4. |
|||||
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
6. a ={−2,12,−6},e1 ={1,2,1},e2 ={2,−1,3},e3 ={0,3,−1}.
|
x +3x +9x −x =0; |
||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
7. |
|
|
|
−7x3 |
+2x4 =0; |
2x1 −2x2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5x −16x |
+3x =0. |
|
|
x |
||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
µx+ y+z =0; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
|
|
|
|
|
x+ y +z =0; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
− =
y z λ.
1 |
1 |
1 |
|
|
|
3 |
|
|
9. A= −1 |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
3 |
0 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. B = 4 |
−1 −2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
4 |
−3 |
|
|
|
|
4 |
1 |
−1 |
|
7 |
|||
|
|
|
|
5 |
1 |
2 |
|
8 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
0 |
1 |
|
9 |
11.З’ясувати, чи лежать точки А(2;–1;1), В(5;5;4), С(3;2;–1), D(1;–3;0) в одній площині?
12.Дано дві суміжні вершини квадрата А(2;0) та В(–1;4). Скласти рівняння його сторін. Знайти сторони квадрата.
13. Знайти найкоротшу відстань між двома прямими x−9 = y +2 = z та x =−2t , 4 −3 1
y =9t−7 , z =2t +2 .
14.А(0;–3;–1); В(8;3;1); С(–4;–6;0); D(1;4;–1).
15.Малу вісь еліпса видно з фокуса під прямим кутом. Знайти ексцентриситет цього еліпса ε. Написати рівняння рівнобічної гіперболи, симетричної осі Ох з вершиною
уточці А(ε, 0). Зробити креслення.
16.r =−4cos3ϕ.
17.7x2 −2xy +7y2 −48x−48y +144 =0.
18.z−1=6y2; x2 + y2 =3x−6y−2z−z2 +5.
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. z3 +2 3 −2i =0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 −2 3 4 |
|
|
3 |
−1 |
5 |
6 |
0 |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
= |
|||
|
|
−2 4 1 −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
|
. |
|
5 |
−2 |
6 |
7 |
8 |
||||||
|
3 |
−2 |
2 |
3 |
|
x +3x −5x =10; |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
−1 −2 3 3 |
|
5. |
2x +2x −3x =3; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 1 |
2 1 |
0 1 |
|
|
−5x +2x =−5. |
||||||||
|
x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
2 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 0 3 |
2 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
1 |
−2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
6. a ={1,−6,3},e1 ={2,1,4},e2 ={−1,10,−2},e3 ={2,−3,1}.
|
3x +x −8x +x =0; |
|||
|
|
1 2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
7. |
|
+11x2 −12x3 −5x4 =0; |
||
x1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
−5x +2x +3x =0. |
||
|
x |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
2x+ y−λz =0; |
|
||
|
|
|
|
|
8. |
|
|
|
|
−λx+z =0; |
|
|||
|
|
|
|
|
− =
x y µ.
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
0 |
|
|
9. A= |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
−1 |
−1 |
=4 −1 0
10.B 2 1 0 .
2 −1 2
10 .
−4
11.Визначити роботу сили F ={3;−2;5}, коли її точка прикладання пересувається прямолінійно з точки А(1;1;1) в точку В(3;4;5).
12.Дано рівняння двох сторін прямокутника 3x−2y−5 =0, 2x+3y +7 =0 а одна з його вершин А(–2;1). Написати рівняння інших його сторін та обчислити площу цього прямокутника.
13. Довести, що прямі x−1 = y +2 = z−5 та x =3t +7 , y = 2t +2 , z =−2t +1
2−3 4
лежать у одній площині; скласти рівняння цієї площини.
14.А(1;1;–3); В(4;9;3); С(2;–3;–6); D(1;2;4).
15.Через правий фокус еліпса x2 +2y2 =16 проведено пряму, перпендикулярну до осі
Ох. Знайти точки її перетину з асимптотами гіперболи x2 −2y2 =16 . Зробити креслення.
16.r =−3sinϕ.
17.x2 −y2 −4xy−4x−2y +2 =0.
18.x2 =6z2 +12; x2 + y2 +z2 =6x−4z.