Контр раб 9 вар 1курс
.docxКонтрольная работа №1
Элементы векторной алгебры, аналитической геометрии и линейной алгебры
1.1.59. Найти объем параллелепипеда, построенной на векторах:
, . Сделать чертеж.
Решение
(ед3)
2.1.19. Даны уравнения двух медиан треугольника х-2у+1=0 и у-1=0 и одна из его вершин А(1;3). Составить уравнения его сторон. Сделать чертеж.
Решение.
Пусть т.В имеет координаты (х1;у1), т.к. точка К по условию есть середина отрезка АВ, то ее координаты равны и удовлетворяют уравнению х-2у+1=0, то
. Кроме того координаты точки В(х1;у1) удовлетворяют уравнению у-1=0, получаем систему линейных алгебраических уравнений
, т.В(5;1)
Аналогично найдем координаты точки С(х2;у2). Пусть N – середина отрезка АС, тогда координаты точки находятся по формулам , т.С(-3,-1)
Уравнение АВ: или или х+2у-7=0 (АВ)
Уравнение ВС: или или х-4у-1=0 (ВС)
Уравнение АС: или или х-у+2=0 (АС)
А
В
С
К
N
Ответ: х-у+2=0 (АС), х-4у-1=0 (ВС), х+2у-7=0 (АВ)
2.2.49 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямые:
и . Сделать схематический чертеж.
Найдем на первой прямой две точки, на второй одну точку и проведем через них плоскость.
Пусть t=0, тогда получим точку М1(-1,0,1), пусть t=1, тогда получим точку М2(0,1,3).
Пусть t=0, тогда получим точку М3(0,2,-1).
Оно представляется уравнением:
– искомое уравнение плоскости.
3.1.39. Приведите к каноническому виду уравнения линий второго порядка. Установите тип этих линий и их расположение. Сделайте схематический чертеж.
Решение.
Преобразуем уравнение линии второго порядка
Получаем уравнение - парабола, направленная вдоль оси Оy–получена смещением по ОХ на -1 ед. и вдоль Оу на -3 ед.
у=2х2
3.2.9 Дана (4Х4) –система линейных уравнений. Доказать ее совместность и решить методом Гаусса (методом исключения неизвестных). Сделать проверку
Рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:
=[ умножаем четвертую строчку на -1 и складываем с первой, умножаем вторую на -2 и складываем с первой, умножаем третью на -2 и складываем с первой]=
= [умножаем вторую строку на -3, третью на 5 и складываем их]= =[умножаем третью строку на 5, четвертую на 12 и складываем их]=
Система совместна, значит имеет единственное решение, находим корни, решая систему
Находим решения
х1=-1, х2=3, х3=2, х4=1
Сделаем проверку, подставив в исходную систему уравнений
или
Получаем верные равенства.