II семестр

Механические колебания и волны

Общая черта колебательных процессов – высокая степень повторяемости процесса.

Колебания подразделяются:

• по природе: механические, электромагнитные;

• по степени повторяемости: периодические, непериодические;

• по свойствам: гармонические, ангармонические;

• по способу возникновения: свободные, вынужденные.

Механические колебания

Колебательные системы

Колебания – физические процессы, которые происходят с определённой повторяемостью во времени.

Периодические колебания – колебания, при которых значения характерных параметров системы повторяются через равные промежутки времени.

Полное колебание – процесс, проходящие в системе за период.

Период – минимальный период времени, через который все параметры системы повторяются.

Частота – число полных колебаний, происходящих в единицу времени.

Циклическая частота – число полных колебаний за единиц времени.

Гармонические колебания – колебания, происходящие по закону изменения гармонических функций.

Линейные колебания – колебания, возникающие в линейных системах.

Линейная система – система, реакция которой линейно зависит от воздействия.

Свободные (собственные) колебания – колебания, которые происходят в отсутствие внешних воздействий на колебательную систему и возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы из состояния её устойчивого равновесия под действием внутренних сил системы.

Вынужденные колебания – колебания, возникающие в какой-либо системе под влиянием переменного внешнего воздействия.

Равновесие в механических системах и возникновение колебаний

Условие равновесия точечного тела: , протяжённого тела: , .

Характерным свойством колебательной системы является наличие возвращающей (квазиупругой) силы.

, ; . Необходимое условие колебательной системы: . Достаточность: .

Свободные незатухающие колебания

у

Пружинный маятник: , , , , где .

Математический маятник: . , . , , , , , , где .

Физический маятник: , , , , , , , где.

Приведённая длина физического маятника – длина математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника, .

Центр качания – математическая точка, отстоящая от точки подвеса на приведённую длину и лежащая на маятнике.

Если физический и математический маятники с приведённой длиной колеблются около одной оси, то материальная точка математического и центр качания физического маятника движутся синхронно, если вначале их отклонили на одинаковый угол и одновременно отпустили.

Точка подвеса и центр качания обратимы (можно подвесить за любую из них, период колебаний будет одинаков).

Уравнение колебаний

Все системы описываются уравнением , где (пружинный), (математический), (физический).

Переменная колебаний – параметр, характеризующий отклонение системы от положения равновесия. (x).

Решение уравнения колебаний.

.

Линейный гармонический осциллятор – любая колебательная система, в которой возникают малые линейные гармонические колебания.

Основные характеристики гармонических колебаний

Амплитуда – максимальное значение переменной колебания (максимальное отклонение системы от положения равновесия). Амплитуда всегда положительна. , A – амплитуда.

Фаза – параметр, характеризующий относительное значения отклонения системы от положения равновесия ().

Начальная фаза – значение фазы в начальный момент времени ().

Период: , частота , - циклическая частота.

Свойства гармонических колебаний:

1. Частота и период гармонических колебаний определяются свойствами самой системы.

2. Амплитуда и начальная фаза зависят от способа возбуждения колебаний.

3. Период и частота не зависят от амплитуды.

Скорость и ускорение при колебаниях:

Пусть . Тогда , .

Начальные условие – задание смещение и скорости в начальный момент времени.

1. , , - колебания отсутствуют.

2. , , .

3. , , .

4. , , .

Задание начальных условий определяет амплитуду и начальную фазу.

Кинетическая и потенциальная энергия системы:

. Для пружинного маятника - закон сохранения энергии при свободных незатухающих колебаниях.

., .

Энергия и вычисление периода колебаний:

1. . .

2. Пружинный маятник: .

3. Математический маятник: /

Представление колебаний с помощью векторных диаграмм и комплексных чисел.

Пусть , где . Возьмём , . Тогда , а уравнение описывает движение проекций конца вектора по соответствующим осям. Пусть теперь xy – комплексная плоскость. Тогда .

Фазовая плоскость (пространство) – геометрический образ, представимый множеством состояний системы или .

Фазовая точка – точка фазовой плоскости, определяемая скоростью и координатой и соответствующая определённому состоянию системы.

Фазовая траектория – линия, которую описывает точка на фазовой плоскости при изменении состояния системы.

Фазовый портрет маятника – фазовая траектория маятника: или ( или ­).

Фазовый портрет для гармонических колебаний: .