Матан. М.В.Ишханян
.pdfРис. 6.12.
Задачи
Проведя необходимое исследование, постройте графики следующих функций:
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
27 − 2x |
3 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
242. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
235. |
|
x2 |
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
236. |
y = |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
243. |
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
(x + 4)2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
237. |
y = |
4x2 + 3x |
244. |
y = |
2x2 + 3x − 5 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
2x + 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 4 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x3 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
238. |
y = |
|
|
245. |
y = |
|
x2 |
− 3x −18 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 9 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
239. |
y = |
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
2 |
− 4 |
|
|
|
|
246. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
+ 1)3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
240. |
y = |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
− x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x2 + 1 |
|
|
|
|
|
247. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
y = |
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 1)2 |
|
|
|
|
||||||||||
241. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 1)3 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
(x − 2)2 |
248. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −1)2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
160 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
249. |
y = |
|
|
x |
256. |
y = x e |
− x2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 x2 −1 |
257. |
y = x2 e− x2 |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
250. |
y = e2 x−x2 |
258. |
y = x ln x |
||||||||||||||
251. |
y = x e− x |
259. |
y = x2 ln x |
||||||||||||||
252. |
y = |
ex |
|
|
|
260. |
y = |
ln x |
|
|
|
||||||
x + 1 |
|||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
261. |
y = (x −1) 3 x2 |
|||||||||||||
253. |
y = (x + 1) e |
|
|
|
|||||||||||||
x |
|||||||||||||||||
|
|
9 |
262. |
y = x + arctg ( x) |
|||||||||||||
254. |
y = ( x − 2) e |
x |
263. |
y = x − arctg (2 x) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
255.y = x2 e x
Задачи для самостоятельного решения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 28 |
|
|
|
|
|
|
|
Исследовать функцию и построить ее график: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x |
28.7. |
y = |
2x −1 |
||||||||||
28.1. |
y = (x − 1)2 |
(x − 1)2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y = |
x 3 |
+ 16 |
|
|
|
y = |
4x2 |
||||||||||
28.2. |
|
|
28.8. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
x3 − 1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
28.3. |
y = |
x3 − 1 |
|
|
28.9. |
y = |
x |
|
|||||||||
|
|
|
4x 2 |
|
|
3 + x2 |
|||||||||||
28.4. |
y = |
x −1 |
|
28.10. |
y = |
2x |
|
||||||||||
x2 |
− 2x |
1 + x2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
28.5. |
y = |
|
x3 |
28.11. |
y = |
x 3 |
+ 3 |
||||||||||
2(x + 1)2 |
|
x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
28.6. |
y = |
|
x2 |
+ 1 |
|
|
|
|
28.12. |
y = |
x 2 |
+ 4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
|
|
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
161 |
|
|
|
|
|
|
Ответы
12.(−∞; 0) (5; +∞) .
13.−π ; − π − π ; − 1 − 1 ;1 1; π π ;π .2 2 3 3 2 2
14.(0;1) (1;3) .
15.[−5; 0) (0;1]
16.(−∞; 0) (0; 2) (2; +∞)
17.(−5; −4) (0;5) .
18.Функция четная.
19.Функция не является ни четной, ни нечетной.
20.Функция нечетная.
21.Функция четная.
22.Функция нечетная.
23.Функция четная.
24.Функция нечетная.
25.Функция не является ни четной, ни нечетной.
26. |
|
π . |
|
|
45. |
an |
= |
|
1 |
55. |
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
(2n +1)(2n + 2) |
|
3 |
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
27. |
|
2π . |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
56. |
|
−4 . |
|||||
28. |
2π . |
|
|
46. |
an |
|
= |
3n − 2 |
. |
57. |
-12. |
||||||||||
|
|
|
58. 0. |
|
|
||||||||||||||||
29. |
π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5n + 1 |
|
|
||||||||||||
30. |
3π |
. |
|
|
47. |
|
|
= |
4n − 1 |
. |
59. |
0. |
|
|
|||||||
|
π |
|
|
an |
|
60. 3. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
31. |
|
. |
|
|
|
|
|
|
3n + 2 |
61. |
3 |
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
48. |
an |
|
. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
62. |
|
. |
|
|||||||||
32. |
|
. |
|
|
3n |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n −1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
3 |
|
|
|
49. |
an |
= |
. |
|
5 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
33. |
π . |
= |
1 |
|
50. |
-1. |
|
|
n +1 |
63. |
|
2 |
|
||||||||
44. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
64. |
|
|
|
|
|||||
an |
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|||||||||||
3n |
51. -5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65. |
|
∞ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
52. |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
66. |
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
53. 10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
54. 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
163 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
179. |
− |
1 |
dx3 |
181. |
-5,01. |
|
|
|
182. |
-3,02. |
|||
x |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
180.4,99.
183.f (x) = −1 − (x −1) − (x −1)2 − (x −1)3 − (x −1)4 + o((x −1)4 )
184.f (x) = 1+ 1 (x −1) − 1 (x −1)2 + o((x −1)2 )
28
185.f (x) = 1 + 2x + x2 − 2 x3 + o(x3 ) .
3
186. |
|
′′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (11) =12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
187. |
0 |
|
|
196. |
3 |
|
204. |
− |
1 |
|
|
||
188. |
1/3 |
|
197. |
-0,5 |
|
||||||||
|
|
5 |
|
||||||||||
189. |
3/2 |
|
198. |
0,5 |
|
|
|||||||
|
205. |
1 |
|
|
|||||||||
190. |
3/2 |
|
199. |
-2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
128 |
||||||||||||
191. |
1/3 |
|
200. |
-4 |
206. |
||||||||
|
1 |
|
|
|
|||||||||
192. |
0 |
|
|
201. |
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ln2 2 |
||||||||
193. |
0 |
|
|
202. |
0,5 |
207. |
|
||||||
194. |
− |
7 |
|
203. |
|
1 |
|
90 |
|
||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
195.4,5
208.ymin = y(0) = −1, ymax = y(1) = 1
209.ymin = y(3) = −1, ymax = y(1) = 3
|
|
|
2 |
|
56 |
|
|
|
2 |
|
88 |
||
210. |
ymin |
= y |
|
|
= |
|
, ymax |
= y |
− |
|
|
= |
|
|
9 |
|
9 |
||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
211.ymin = y(0) = 1, ymax = y(1) = 8
212.ymin = y(−1) = 0, ymax = y(−2) = 17
213.ymin = y(−π ) = −2π , ymax = y(π ) = 2π
|
|
|
π |
|
|
|
2 |
|
|
|
π |
|
|
||
214. |
ymin |
= y |
|
= |
|
|
|
, ymax |
= y |
|
|
= 1 |
|||
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
215. |
y |
|
= y(π ) = − |
π (π 2 + 3) |
, y |
|
= y(0) = 0 |
||||||||
min |
|
max |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
167 |
|
|
|
216. ymin = y(1) = 2, ymax = y(0,1) = 10,1
217. ymin = y(1) = −1, ymax = y(−1) = 1 3
218.ymin = y(1) = −1, ymax = y(e) = 0
219. |
x = 0, y = 1 |
|
|
|
|
228. |
Асимптот нет |
|
|||||||||||||||
220. |
y = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
229. |
x = 0, y = − x |
|
|||||||||||
221. |
x = 0, y = −1 |
|
|
|
|
230. |
Асимптот нет. |
|
|||||||||||||||
222. |
x = − |
1 |
, y = −2 |
|
231. |
x = −2, y = |
1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
223. |
x = 0, y = x |
|
|
|
|
232. |
x = 1, y = − |
x + 1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
224. |
x = −1, y = x − 1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
225. |
x = 0, y = x − 1 |
|
233. |
x = 2, x = −2, y = 1 |
|
||||||||||||||||||
|
234. |
x = 1, x = −1, y = − x |
|
||||||||||||||||||||
226. |
x = − |
4 |
, y = − |
5 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
227. |
y = x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
1 − x2 |
|
|
235. |
y = 0 |
|
|
|
- горизонтальная |
асимптота, |
y |
= (x2 + 1)2 |
, |
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
y′′ = |
−2x(3 − x2 ) |
, x |
= −1, x |
= 1 , |
точки |
|
|
|
|
перегиба: |
||||||||||||
|
(x2 +1)3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
min |
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x = ± |
|
|
|
x = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
236.y = 0 - горизонтальная асимптота, x = 0 - вертикальная
асимптота, y′ = 30 |
x −1 |
, |
y′′ = 30 |
7 − 6x |
, |
x = 1 , точка пере- |
|||
x7 |
x8 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
min |
|||
гиба: x = |
7 |
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
237.y = 2x − 1 - наклонная асимптота,
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = |
4x2 + 8x + 3 |
|
, y′′ = |
1 |
|
, |
x = − |
1 |
, x |
|
= − |
3 |
. |
|
2(x + 1)2 |
|
(x + |
1)3 |
|
min |
2 |
|
max |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
168 |
|
|
|
|
|
|
|
238.y = x - наклонная асимптота, x = 0 - вертикальная асим-
птота, y′ = |
x3 − 8 |
, |
y′′ = |
24 |
, |
x = 2 . |
|
x3 |
x4 |
||||||
|
|
|
|
min |
239.y = x - наклонная асимптота, x = ±2 - вертикальные
|
|
|
|
y′ = |
x2 (x2 −12) |
|
y′′ = |
8x(x2 + 12) |
|
x = 2 |
|
|
, |
||||||||
асимптоты, |
, |
, |
3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 − 4)2 |
|
(x2 − 4)3 |
|
|
|
min |
|
||||||
|
xmax = −2 |
|
, |
x = 0 - точка перегиба. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
240. |
y = x |
- |
|
наклонная |
асимптота, |
y′ = |
x2 (x2 + 3) |
|
, |
||||||||||||
(x2 + 1)2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y′′ = |
2x(3 − x2 ) |
|
x = 0; ± |
|
- точки перегиба. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
, |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
(x2 + 1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
241.y = x + 4 - наклонная асимптота, x = 2 - вертикальная
асимптота, |
y′ = |
x2 (x − 6) |
, |
y′′ = |
|
24x |
|
, x |
= 6 , x = 0 - |
||||||
(x − 2)3 |
|
( x − 2)4 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
min |
|
||||
точка перегиба. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
242. |
y = − |
1 |
x |
- наклонная асимптота, |
x = 0 |
- |
вертикальная |
||||||||
|
|||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
асимптота, y′ = −x3 − 27 |
, |
|
y′′ = |
27 |
|
, x |
= −3 . |
|
|
||||||
|
x4 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
3x3 |
|
|
|
|
min |
|
|
|
|
243.y = 1 - горизонтальная асимптота, x = −4 - вертикальная
асимптота, y′ = |
8x |
, y′′ = |
16(2 − x) |
, |
x = 0 , x = 2 - |
|
(x + 4)3 |
(x + 4)4 |
|||||
|
|
|
min |
точка перегиба.
244.y = 2 x + 11 - наклонная асимптота, x = 4 - вертикальная
асимптота, |
y′ = |
2x2 −16x − 7 |
, |
y′′ = |
78 |
, |
|||||||||
|
(x − 4)2 |
( x − 4)3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x = |
8 + |
|
|
|
, x = |
8 − |
|
|
. |
|
|
|
|
||
78 |
78 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
min |
2 |
|
|
|
max |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
169