met_ukazmatem_k_r__1-3
.pdfКОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3
Неопределенный и определенный интегралы. Функции нескольких переменных.
8.2.1–8.2.10. Найти неопределенные интегралы. В п. а) и б) результаты проверить дифференцированием.
|
а) ∫esin2 x sin 2xdx ; |
|
|
|
|
б) ∫arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
8.2.1. |
|
|
|
|
|
xdx; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) |
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
г) ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
3 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ 3 x + 1 |
|||||||||||||||||||||
8.2.2. |
а) ∫ |
|
|
|
xdx |
|
; |
|
|
|
|
|
б) ∫ex ln(1+ 3ex )dx; |
|||||||||||||||||||||||||
|
(x2 + 4)6 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
∫ |
2x2 − 3x +1 |
|
|
|
|
г) ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x3 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x + tg x |
|||||||||||||||||||||
8.2.3. |
а)∫ |
|
|
|
|
x3dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫x3xdx; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1− x8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
в) |
∫ |
|
|
|
|
(3x − 7)dx |
|
|
|
; |
г) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
3 + 4x2 + 4x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
16 |
|
|
|
|
|
|
x + 3 |
+ 3 (x + 3)2 |
|||||||||||||||||||||||||
8.2.4. |
а) ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
; |
|
б) ∫ |
x |
arcsin x |
dx; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos2 x(3tg x +1) |
|
|
|
|
|
1− x2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
в) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
; |
|
г) ∫ |
|
|
x |
|
1+ x |
|
dx . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
3 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x |
+ 2x + 2 |
|
|
|
|
|
|
3 1+ x |
||||||||||||||||||||||||||
8.2.5. |
а) ∫ |
|
cos3xdx |
; |
|
|
|
|
б) ∫x2 e3x dx; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 + sin3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫ |
|
|
|
|
x2dx |
|
|
|
|
; |
||
|
|
|
|
3 + 5x2 + |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
8x + 4 |
|||||||||
8.2.6. |
а) ∫ |
|
sin xdx |
|
; |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
3 cos2 x |
|
|
|
|
|
||||
|
в) ∫ |
|
|
|
(x + 3)dx |
|
|
; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
3 + x2 − 2x |
|||||||||
8.2.7. |
а) ∫ |
(x + arctg x)dx |
; |
||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1+ x2 |
|
|
|
|
|
||
|
в) ∫ |
|
|
(x2 − 3)dx |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||
|
|
x |
4 + 5x2 + |
6 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
г) ∫ |
cos xdx |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1+ cos x |
||||||||||
б) ∫xarcsin |
1 |
dx ; |
|||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
г) ∫ |
(4 |
x |
+1)dx |
||||||||
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|||||||||||
|
( |
x |
+ 4)4 x3 |
б) ∫xln(x2 +1)dx ;
x + 5dx
г) ∫1+ 3x + 5 .
11
8.2.8. |
а) ∫ |
|
|
arctg |
x |
dx; |
б) ∫xsin xcos xdx ; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(1+ x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
в) |
∫ |
|
|
|
|
x2dx |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
г) |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
4 − 81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3cosx + 4sin x |
|
|
|
||||||||||||||||
8.2.9. |
а) ∫ |
|
|
|
|
|
sin xdx |
|
; |
|
б) x2 sin 4xdx; |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
3 3 + 2cosx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
∫ |
(x2 − x +1)dx |
|
∫ |
( |
x |
−1)(6 |
|
x |
+1)dx |
|||||||||||||||||||||||
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
+ 2x2 − 3 |
|
|
|
|
3 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
8.2.10. а) ∫ |
|
|
3 |
4 + ln x |
|
dx |
; |
|
б) ∫xln2 xdx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
в) |
∫ |
|
|
|
(x |
2 − 6)dx |
|
|
; |
|
г) |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin x + cos x + |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x |
4 |
+ 6x2 + 8 |
|
|
2 |
|
|
8.2.21–8.2.30. Вычислить определенные интегралы.
π
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
8.2.21. ∫xsin xdx; |
8.2.22. ∫xarctgxdx. |
||||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
ln x |
1 |
|
5x +1 |
|||
8.2.23. ∫ |
|
dx. |
8.2.24. ∫ |
|
|
|
dx. |
x |
x2 + 2x +1 |
||||||
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
π |
|
|
2 |
|
|
|
|
8.2.25. ∫sin 2xcos2 xdx. |
8.2.26. ∫ |
|
x ln xdx. |
||||
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
π
2dx
8.2.27.∫0 sin x + cosx.
1
dx
8.2.29. ∫0 x2 + x +1.
1
8.2.28. ∫xln(1+ x)dx.
0
2 |
|
|
|
|
|
8.2.30. ∫2 |
|
xdx |
|
|
. |
|
|
|
|
||
1− x |
4 |
||||
0 |
|
|
|
8.2.71–8.2.80. Решить указанные задачи с помощью определенного интеграла.
8.2.71. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у=3х2+1 и прямой у=3х+7.
12
8.2.72.Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды х=а(t–sin t), у=а(1–соs t) (0 ≤ t ≤ 2π) и осью Ох.
8.2.73.Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой
r= 3(1+соs φ).
8.2.74.Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой r=4sin 2φ.
8.2.75.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох
фигуры, ограниченной параболами у=х2 и у= х .
8.2.76. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох
фигуры, ограниченной полуэллипсом у=3 1− х2 , параболой х= 1− у и осью Оу.
8.2.77.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми y=2/(1+х2) и у=х2.
8.2.78.Вычислить длину дуги полукубической параболы y= (х − 2)3 от
точки A(2; 0) до точки B(6; 8).
8.2.79.Вычислить длину кардиоиды r=3(1–соs φ).
8.2.80.Вычислить длину одной арки циклоиды х=3(t–sin t), у=3(1–соs t)
(0 ≤ t ≤ 2π).
9.1.1–9.1.10. Найти производные функции двух переменных.
9.1.1. |
∂z |
, |
если |
z = usin(uv), |
где |
u = |
y |
, |
v = x − y . |
|||
|
|
|||||||||||
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||
9.1.2. |
dz |
, |
если |
z = vcos( |
v |
) , |
где |
u = t2 , |
v = sint . |
|||
|
|
|||||||||||
|
dt |
|
|
u |
|
|
|
|
|
|||
9.1.3. |
∂z |
, |
если xy2 z3 − z2 + xz − y + x = 0 . |
|
||||||||
|
|
|||||||||||
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9.1.4. |
∂z |
, если z = u2vlnv , где u = xy , |
v = x + y . |
|||||||||
|
||||||||||||
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9.1.5. |
dz |
, |
если |
z = uv2 lnu , |
где |
u = t3 , |
v = cost . |
|||||
|
||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.1.6.∂z , если xy2 z2 + z2 x + x − 2y + 3 = 0 .
∂y
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
||
9.1.7. |
|
, если z = u |
u2 − v2 , где |
u = x + 2y , v = −x + y . |
||||||
|
||||||||||
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|||
9.1.8. |
, |
если z = v |
|
u − v , где u = sin 2t , v = t3 . |
||||||
|
||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|||
9.1.9. |
∂z |
|
, если e z 2 − xy 2 z 3 + xz |
− x = 0 . |
||||||
∂y |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
13
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
9.1.10. |
, если z = u 1− uv , где u = xy , v = x + 2y . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
∂x |
|
|
|
||||
9.1.61–9.1.70. Вычислить двойной интеграл. |
|
|
|
|||||
9.1.61. |
∫∫ |
|
|
|
0 ≤ x ≤ 2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2xydxdy ; где область D – прямоугольник |
|
. |
|||||
|
D |
|
|
|
0 |
≤ y ≤ 3 |
|
|
9.1.62. ∫∫xydxdy ; где область D ограничена параболой y = x2 |
и прямыми |
|||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
x =1, y = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
9.1.63. |
∫∫ |
|
|
|
0 ≤ x ≤ 3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
xydxdy ; где область D – прямоугольник |
|
. |
|
||||
|
D |
|
|
|
0 ≤ y ≤ 2 |
|
||
9.1.64. |
∫∫ |
|
|
|
0 ≤ x ≤1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
xy2dxdy ; где область D – прямоугольник |
≤ y ≤ |
. |
|
||||
|
D |
|
|
|
0 |
2 |
|
|
9.1.65. |
∫∫ |
|
|
|
0 ≤ x ≤1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x2 ydxdy ; где область D – прямоугольник |
≤ y ≤ |
. |
|
||||
|
D |
|
|
|
0 |
4 |
|
|
9.1.66. |
∫∫ |
|
|
|
0 ≤ x ≤ 4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
xy3dxdy ; где область D – прямоугольник |
≤ y ≤ |
. |
|
||||
|
D |
|
|
|
0 |
1 |
|
|
9.1.67. ∫∫x2 ydxdy ; где область D ограничена параболой y = x2 и прямыми |
||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
x =1, y = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
9.1.68. ∫∫xy2dxdy ; где область D ограничена параболой y = x2 |
и прямыми |
|||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
x =1, y = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
9.1.69. |
∫∫ |
|
|
|
|
0 ≤ x ≤1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(x +1)ydxdy ; где область D – прямоугольник |
|
. |
|||||
|
D |
|
|
|
|
0 ≤ y ≤ |
2 |
|
9.1.70. |
∫∫ |
|
|
|
|
0 ≤ x ≤1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(x2 +1)y2dxdy ; где область D – прямоугольник |
|
. |
|||||
|
D |
|
|
|
|
0 |
≤ y ≤ 3 |
14