an_geom
.pdf
61
16.8 Написать уравнение плоскости, касающейся поверхности x92 + y2 ¡
z42 = ¡1 в точке (¡6; 2; 6).
16.9 Найти уравнения касательных плоскостей эллипсоида x212 + y62 + z42 = 1, которые параллельны плоскости 2x + 2y ¡ 3z + 13 = 0.
16.10Найти прямолинейные образующие поверхности x92 + y42 ¡ 16z2 = 1, проходящие через точку (6; 2; 8).
16.11Найти прямолинейные образующие поверхности x252 + y92 ¡ 16z2 = 1, параллельные плоскости 2x + 3y ¡ 11 = 0.
16.12Найти прямолинейные образующие поверхности x252 ¡y162 = z, проходящие через точку (10; ¡4; 3).
16.13Найти прямолинейные образующие поверхности x162 ¡y42 = z, параллельные плоскости 3x + 2y ¡ 4z + 13 = 0.
62
Ÿ17 Общая теория кривых второго порядка. Тип кривой. Асимптотические направления. Пересечение кривой второго порядка с прямой. Центр кривой второго порядка.
Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:
a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0; |
(1) |
ãäå a11, a12, a22, a13, a23, a33 - вещественные постоянные и a11, a12, a22 |
||||
одновременно не равны нулю. Знак определителя |
||||
¢ = |
¯a12 |
a22 |
¯ |
|
|
¯ |
a11 |
a12 |
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
определяет тип кривой второго порядка (1). Если ¢ > 0, то кривая имеет эллиптический тип; если ¢ < 0, то кривая имеет гиперболический тип; если ¢ = 0, то кривая имеет параболический тип.
Говорят, что вектор p~(m; n) имеет асимптотическое направление относительно кривой второго порядка (1), если выполняется равенство:
a11m2 + 2a12mn + a22n2 = 0:
Центр симметрии кривой второго порядка (если он есть) называется ее центром. Чтобы найти центр кривой второго порядка (1), нужно решить следующую систему линейных уравнений:
½a11x + a12y + a13 = 0; a12x + a22y + a23 = 0:
17.1Написать уравнение кривой второго порядка, проходящей через
следующие пять точек: (0; 0), (0; 2), (¡1; 0), (¡2; 1), (¡1; 3).
17.2Написать уравнение кривой параболического типа, проходящей через
точки: (0; 15), (3; 0), (5; 0), (2; 3).
63
17.3Как изменится уравнение кривой x2 ¡ 4xy + 3y2 ¡ 2x + 1 = 0, если начало координат перенести в точку (¡2; 6)?
17.4Как изменится уравнение кривой x2 + 6x ¡ 8y + 1 = 0, если начало
координат перенести в точку (¡3; ¡1)?
17.5Найти центры следующих кривых:
1)x2 ¡ 2xy + 2y2 ¡ 4x ¡ 6y + 3 = 0,
2)x2 ¡ 2xy + y2 ¡ 4x ¡ 6y + 3 = 0,
3)x2 + 2xy + y2 + 2x + 2y ¡ 4 = 0.
17.6Упростить уравнение кривой второго порядка 7x2 +4xy+4y2 ¡40x¡
32y + 5 = 0 за счет перенесения начала координат в центр кривой.
17.7Найти асимптотические направления следующих кривых:
1)x2 + 6xy + 2y2 + 6x + 2y ¡ 13 = 0,
2)3x2 ¡ 2xy + 3y2 + 4x + 4y ¡ 41 = 0,
3)x2 ¡ xy + y2 + x + 12y + 7 = 0.
17.8Найти точки пересечения кривой x2 + xy + 2y2 ¡ 7x ¡ 12y + 10 = 0
с осями координат. 2 2
17.9 Найти длину хорды, отсекаемой кривой 2x ¡4xy + 5y ¡8x + 6 = 0 íà îñè OX.
17.10 При каком значении параметра ¸ кривая 2x2 ¡ 3xy + y2 ¡ 7x + ¸y + 4 = 0 отсекает на оси OY хорду длиной 3?
17.11 Найти точки пересечения кривой x2 ¡ 2xy ¡ 3y2 ¡ 4x ¡ 6y + 3 = 0
ñпрямыми:
1)5x ¡ y ¡ 5 = 0,
2)x + 2y + 2 = 0,
3)x + 4y ¡ 1 = 0.
64
Ÿ18 Общая теория кривых второго порядка. Касательная к кривой второго порядка. Диаметр кривой второго порядка.
Это занятие продолжает занятие 17. Будем использовать общее уравнение кривой второго порядка (1) из занятия 17. Прямая называется касательной к кривой второго порядка, если она пересекает кривую в дважды взятой точке. Пусть точка A(x0; y0) лежит на кривой второго порядка (1) (см.
занятие 17), тогда уравнение касательной к кривой (1) в точке A имеет вид:
(a11x0 + a12y0 + a13)x + (a12x0 + a22y0 + a23)y + a13x0 + a23y0 + a33 = 0:
Геометрическое место середин хорд кривой второго порядка, параллельных вектору p~, называется диаметром кривой второго порядка, сопряженным
ñнаправлением вектора p~. Диаметр кривой второго порядка (1), сопряженный
ñнаправлением p~(m; n), имеет уравнение:
(a11x + a12y + a13)m + (a12x + a22y + a23)n = 0:
Диаметры называются сопряженными, если каждый из этих диаметров является геометрическим местом середин хорд параллельных направлению другого диаметра.
18.1Написать уравнения касательных к кривой 3x2+2xy+2y2+3x¡4y = 0 в ее точках, абсциссы которых равны ¡2.
18.2Написать уравнения касательных к кривой 3x2 + 7xy + 5y2 + 4x +
5y + 1 = 0, проходящих через начало координат.
18.3 Написать уравнения касательных к кривой 2x2 ¡ 4xy + y2 ¡ 2x + 6y ¡ 3 = 0, проходящих через точку (3; 4).
18.4Написать уравнения касательных к кривой 2x2+xy+y2+2x+3y¡3 = 0, параллельных оси OX.
18.5Написать уравнения касательных к кривой 2x2+xy+y2+2x+3y¡3 =
0, параллельных прямой 3x + 3y ¡ 17 = 0, и найти точки прикосновения. 18.6 Написать уравнение кривой второго порядка, проходящей через
65
начало координат и касающейся прямой 4x + 3y + 2 = 0 в точке (1; ¡2) и прямой x ¡ y ¡ 1 = 0 в точке (0; ¡1).
18.7 Дана кривая второго порядка: 3x2 ¡ 2xy + 3y2 + 4x + 4y ¡ 4 = 0.
Написать уравнение диаметра данной кривой, проходящего через точку (1; ¡2), и диаметра ему сопряженного.
18.8 Дана кривая второго порядка: 3x2 + 2xy + 2y2 + 3x ¡ 4y = 0 и один из ее диаметров x + 2y ¡ 2 = 0. Написать уравнение диаметра ему
сопряженного. 2 2
18.9 Дана кривая второго порядка: 2x +4xy +5y ¡8x+6 = 0. Написать уравнение диаметра, параллельного прямой 2x ¡ y + 5 = 0.
18.10 Дана кривая второго порядка: 5x2 ¡ 3xy + y2 ¡ 3x + 2y ¡ 5 = 0. Написать уравнение диаметра, проходящего через середину хорды, отсекаемой этой кривой на прямой x ¡ 2y ¡ 1 = 0.
18.11Найти уравнение диаметра кривой 6x2 ¡xy ¡2y2 +4y = 0, который образует угол 45± ñ îñüþ OX.
18.12Найти уравнения диаметров кривой 3x2¡6xy+5y2¡4x¡6y+10 = 0, которые образуют между собой угол в 45±.
66
Ответы |
|
|
¢ |
|
¡ |
¡ |
|
|
|
|
¢ |
|||
1.4 |
¡! |
¡ |
k+1 |
~ |
|
, |
k+1 |
¡k+1 |
||||||
1.3 |
¡! |
|
|
k+1 |
|
¡¡! |
|
|
||||||
|
AP |
|
k |
; |
1 |
|
|
P B |
|
1 |
; |
|
1 |
|
|
|
AB(2; 1) |
|
|
¡¡!( |
|
|
1; 1) |
|
|
|
|
|
¡!(1; 2) |
¡¡!(1; 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
, |
BC |
|
|
, |
|
|
|
AC |
|
|
|
|
, |
AM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1.6 |
|
~c = ~a ¡ 2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.7 |
|
m~ = 2~n ¡ p~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1.8 |
|
¡¡! = jACj+jABj¡! + jACj+jABj¡! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
AD |
|
|
jACj |
|
|
|
AB |
|
|
|
|
jABj |
|
|
AC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1.9 |
|
a) (0; 5; |
¡1; 5), |
|
|
|
b) (4; 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2.1 |
|
¡5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2 |
|
143 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.3 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4 |
|
¡1; 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.7 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.8 |
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.9 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(') = 0; 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2.10 |
® = 40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.11 |
® = ¼ |
|
cos(¯) = |
5 |
|
|
|
|
cos(°) = |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
, |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.12 |
jAMj = 6,5 |
jADj = |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2.14 |
cos(') = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2.15 (¡24; 32; 30) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2.16 (¡3; 3; 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.17 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.18 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.20 |
1) ¼ |
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
3) cos(') = |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3.2 |
|
, |
2) |
3 , |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
(2; 24), ( |
¡ |
1; 1), ( |
2; 2) |
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3 |
|
1) (1; 3), |
|
|
2) (4; ¡3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3.4 |
|
(1; ¡3), (3; 1), (¡5; 7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3.5 |
|
(2; 1) |
è |
|
(3; 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.8 |
|
x = x0 + 3, |
|
y = y0 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
p |
|
p |
|
p |
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|||||||||||||||
3.9 |
a) x = |
2 x0¡ |
|
|
y0, |
y = |
|
|
x0+ |
2 y0; |
b) x = |
|
x0+ |
|
y0, y = ¡ |
|
x0+ |
|
y0 |
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.10 |
60± |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.11 |
¡45± |
15 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.12 |
x = ¡17 x0 ¡ |
|
|
|
|
y0 + 9, |
y = |
|
x0 |
¡ |
17 y0 ¡ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
17 |
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3.13 |
(1; 9), |
|
(1 + p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
3; 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3.14 |
(2; 0), |
|
(1; ¡¼2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3.191) 4; 2) 13; 5
3.201) 1; 4; 2) 3p2
67
3.21 |
1) (32;0) |
4.1 |
A, C лежат, B, D не лежат |
4.2 |
y = 10 |
4.5a) пересекаются, b) параллельны
4.62x + 3y ¡ 7 = 0
4.73x + 4y ¡ 16 = 0, 5x + 3y ¡ 1 = 0, 2x ¡ y ¡ 7 = 0
4.87x ¡ y + 3 = 0
4.9a) лежат, b) не лежат
4.10a) проходят, b) не проходят
4.11a) 4x ¡y = 0, b) 11y ¡16 = 0, c) 11x ¡4 = 0, d) 17x ¡40y + 52 = 0
4.122x ¡ y ¡ 5 = 0
4.14 y = 0, x ¡ 3 = 0, x ¡ y ¡ 6 = 0 4.16 x + 4y ¡ 4 = 0
4.17 6x ¡ 30y ¡ 7 = 0
4.19 2x + y ¡ 8 = 0, x ¡ 3y + 10 = 0, x + 4y ¡ 4 = 0 4.21 (2; ¡1)
4.22a) 3x + 2y ¡ 7 = 0, b) y ¡ 2 = 0, c) x ¡ 1 = 0, d) 4x + 3y ¡ 10 = 0
4.23x ¡ y + 1 = 0
4.242x ¡ 5y ¡ 2 = 0
4.261) p =6 3; 2) p = 3, q =6 2; 3) p = 3, q = 2
4.27m = 127
4.28p = ¡7
4.30 |
вне треугольника |
||
5.1 |
1; 8 |
|
|
5.2 |
2; 5 |
|
3x ¡ 4y + 5 = 0 |
5.3 |
3x ¡ 4y ¡ 25 = 0, |
||
5.4 |
49 |
|
|
5.5 |
8x ¡ 15y + 9 = 0 |
|
|
5.6 |
5 |
|
|
5.8 |
2 : 3 |
|
|
5.9 |
4 |
|
|
5.12 |
8x + 4y ¡ 5 = 0 |
|
|
5.13 |
7x + 56y ¡ 40 = 0 |
||
5.14 |
x + y + 5 = 0 |
|
|
5.16 |
a) ¼ |
¼ |
|
5.17 |
4 , b) |
2 |
|
k = ¡5 |
|
x ¡ 6y + 11 = 0 |
|
5.18 |
x + 2y ¡ 5 = 0 è |
||
5.19 |
x + 4y ¡ 3 = 0 |
|
|
68
5.20 |
22x + 33y ¡ 35 = 0, |
|
5x ¡ y + 3 = 0, 17x + 34y ¡ 38 = 0 |
||||||||||||||||||||
5.22 |
x ¡ y = 3 = 0 (BC), 4x + 5y ¡ 20 = 0 (AC), |
|
|
|
|||||||||||||||||||
5.26 |
3x ¡ 12y ¡ 1 = 0 (CH) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
(10; 21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5.27 |
(2; 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.28 |
x + 7y2¡ 6 = 0, |
x ¡ y ¡ 6 = 0, 7x + y ¡ 10 = 0 |
|
||||||||||||||||||||
6.3 |
x ¡ 38 |
|
+ y2 = 859 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6.4 |
¡(x ¡ 3)¢2 +2 |
(y ¡ 5)2 =2 |
25 |
|
2) точки лежат на одной прямой |
||||||||||||||||||
6.5 |
1) (x ¡ 3) |
+ (y ¡ 4) |
|
= 25, |
|||||||||||||||||||
6.10 |
1) ñ îñüþ OX (8; 0) è (0; 0); ñ îñüþ OY (0; ¡6) è (0; 0); |
||||||||||||||||||||||
|
2) ñ îñüþ OX (3; 0) (касание); с осью OY (0; 9) è (0; 1) |
||||||||||||||||||||||
6.11 |
x2 + (y2¡ 2)2 = 4 |
2 |
= 4 |
è |
(x + 2) |
2 |
+ (y + 3) |
2 |
= 4 |
||||||||||||||
6.12 |
( |
x |
¡ 2) |
|
2+ ( |
y |
+ 3) |
|
|
|
|||||||||||||
6.13 |
x |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
è (x |
|
|
2 |
|
|
2 |
||||||||
( |
¡ |
17) |
|
+ (y |
¡ |
17) |
|
= 17 |
¡ |
5) + (y |
¡ |
5) = 25 |
|||||||||||
6.14 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(x ¡ 6) |
|
+ (y ¡ 7) = 36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6.151) (3; ¡1) è (2; ¡2); 2) прямая касается окружности в точке (¡4; 6)
6.164x ¡ 2y ¡ 9 = 0
6.17x ¡ 2y ¡ 5 = 0
6.181) y ¡ 7x = 0 è x ¡ y = 0, 2) 4x ¡ 3y ¡ 25 = 0 è 3x + 4y ¡ 25 = 0
6.19 |
2x ¡ y§ = 0 |
2 |
|
¡ |
13 |
¢ |
2 |
¡ |
¡ |
13 |
¢ |
2 |
|
25 |
||
6.21 |
(5; ¡6) |
|
|
|
|
|||||||||||
6.20 |
|
|
2 |
= 12; 5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(x ¡ 3; 5) + (y ¡ 3; 5) |
|
x ¡ |
18 |
|
|
+ |
y |
18 |
|
|
= |
162 |
||||
6.22 |
5x + 2y ¡ 7 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6.23 |
x |
y |
¡ 4 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.24 |
1)+¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.25 y ¡ 2 = 0, 4x ¡ 3y ¡ 10 = 0, x ¡ 1 = 0, 3x + 4y ¡ 5 = 0
6.261) 3, 2) точка лежит на окружности
6.271) 2x + 7y + 8 = 0, 2) 4x + 4y + 5 = 0
7.3 |
(§2 |
|
5; §22) |
|
|
|
|||||||||||
7.4 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
+ |
y |
|
|
= 1 |
|
|||||
|
15 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
7.5 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
¢ |
||||
7.8 |
2a2ab |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7.6 |
|
|
3 |
¡ |
3), |
|
|
69 |
; 21 |
||||||||
(3; |
|
|
|||||||||||||||
7.7 |
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
13 |
13 |
||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7.9 |
|
a2+b2 |
y |
|
|
|
|||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7.11 |
4 x2+ 9y2¡ 13 = 0 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
= 1 |
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||
7.12 |
|
|
16 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
||||||
|
|
|
x |
¡ |
y |
|
= 1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
36 |
9 |
|
|||||||||||
69
7.13 |
(10; ¡2), прямая касается гиперболы |
||||||||||||||||
7.14 |
9x § 4p |
34 |
y = 0 |
|
|||||||||||||
7.15 |
3x ¡ 4y ¡ 5 = 0 |
|
|||||||||||||||
7.17 |
(18; 12), |
|
(18; ¡12) |
|
|||||||||||||
7.18 |
(2; ¡6), |
|
(0; 5; |
3) |
|
|
|||||||||||
7.19 |
¡ |
45 ; p |
15 |
|
, |
¡ |
45 ; ¡p |
15 |
¢ |
||||||||
7.20 |
|
¡ |
|
¡¢ |
|
|
|
|
|||||||||
2x |
|
y |
|
|
|
|
3 = 0 |
|
|
|
|||||||
8.1 |
|
y = 3, |
12x + 7y + 51 = 0 |
||||||||||||||
8.2 |
2x ¡ y § 12 = 0 |
|
|||||||||||||||
8.3 |
12x ¡ 13y § 169 = 0 |
|
|||||||||||||||
8.4 |
|
(5; 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8.5 |
§3x § 4y + 15 = 0 |
|
|||||||||||||||
8.6 |
|
x + y § 3 = 0, |
x ¡ y § 3 = 0 |
||||||||||||||
8.7 |
|
x + y = 1 |
|
|
|
|
3x ¡ 2y = 6 |
||||||||||
8.8 |
|
3x + 2y = 6, |
|||||||||||||||
8.9 |
x + y § 3 = 0 |
|
|
|
|
||||||||||||
8.10 |
8x § p |
11 |
y ¡ 20 = 0 |
|
|||||||||||||
8.11 |
x + y + 2 = 0, 2x + 5y + 25 = 0 |
||||||||||||||||
8.12 |
(9; |
¡6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8.13 |
3x + y + 1 = 0 |
|
|||||||||||||||
8.14 |
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
§ 3 + 155=p |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
17 |
|
|||||||||||||
9.1 |
|
a) sin(') = |
21 |
|
|
|
|||||||||||
9.2 |
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.4 |
|
(7; 5; 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9.5 |
|
¡7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.6 |
|
1) äà, |
2) íåò, |
3) äà |
|
||||||||||||
9.8 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.9 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
(0; ¡7; 0) |
|
||||||
9.10 |
(0; 8; 0), |
|
|
||||||||||||||
9.11 |
(¡7; 14; ¡7), |
(10; 13; 19) |
|||||||||||||||
9.12 |
(¡6; ¡8; ¡6) |
|
|
|
|
||||||||||||
10.1 |
x + 4y + 7z + 16 = 0 |
||||||||||||||||
10.2 |
9x ¡ y + 7z ¡ 40 = 0 |
||||||||||||||||
10.3 |
3x + 3y + z ¡ 8 = 0 |
|
|||||||||||||||
10.41) параллельны, 2) непаралëельны, 3) параллеëüíû
10.5l = 3, m = ¡4; l = 3, m = ¡23 ; l = ¡313 , m = ¡115
10.62x ¡ 3z ¡ 27 = 0
70 |
1) d = ¡4, |
¡2) d = 9¢, 3) d = 3 |
||
10.16 |
||||
10.15 |
(2; ¡1; 0), |
34 ; 0; ¡31 |
, (0; 2; ¡1) |
|
10.25 |
l = 3 |
|
|
|
10.26 |
x+4 |
= y+5 |
= z¡3 |
|
11.1 |
3 |
2 |
¡1 |
|
по разные |
|
|
||
11.2 |
пересекает |
|
|
|
11.3 |
1) в смежных углах, |
2) в одном угле. 3) в вертикальных углах |
||
11.4 |
т. лежит внутри тупого угла |
|||
11.7 |
5x + 5z ¡ 8 = 0 |
|
||
11.8не принадлежит
11.9l = ¡5, m = ¡11
11.101) l =6 7; 2) l = 7, m = 3; 3) l = 7, m =6 3
11.12пересекаются
11.13параллельны
11.14прямая лежит в плоскости
11.15(2; ¡3; 6)
11.16x¡2 2 = y+45 = z+13
11.17c = ¡2
11.184x + 6y + 5z ¡ 1 = 0
11.196x ¡ 20y ¡ 11z + 1 = 0
11.20x¡5 3 = y¡+26 = z+49
11.21x = ¡3 + 8t, y = ¡1 ¡ 3t, z = 2 ¡ 4t
11.22a = 133 , d = 233
12.1 x ¡ 2y + 3z + 3 = 0 12.2 x ¡ y ¡ 3z + 2 = 0
12.3 1) (3; ¡5; 1), 2) (1; ¡7; 9), 3) (0; 1; 13)
12.4 1) íåò, 2) äà, 3) íåò
12.7 7x ¡ y ¡ 5z = 0
12.8 4x ¡ y ¡ 2z ¡ 9 = 0
12.91) 60±, 45±, 60±; 2) 120±, 60±, 45±
12.1011x ¡ 2y ¡ 15z ¡ 3 = 0
12.114x + 3y ¡ 5 = 0, 5x + 3z ¡ 7 = 0, 5x ¡ 4y + 1 = 0
12.12x ¡ 8y + 5z ¡ 3 = 0
12.14 |
|
|
|
y¡2 |
x+7 |
|
12.15 |
x ¡ 1 = ¡3 |
= ¡8 |
||||
|
|
x¡2 |
= |
y+1 |
= x+3 |
|
|
6 |
¡1 |
|
7 |
||
12.16 |
x = 3 + 3t, |
y = 1 + 15t, z = ¡3 + 19t |
||||
12.18 |
60± |
|
|
|
|
|