численные методы моделирования

10

Продолжение таблицы 1.2.

Содержание отчета

1.Задание к лабораторной работе.

2.Блок-схема алгоритма расчета.

3.Листинг распечатки текста программы и полученных результатов.

4.Результаты сравнения расчетных значений с табличными.

5.Заключение

Лабораторная работа №2 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ

(ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ) УРАВНЕНИЙ

Цель работы – ознакомиться с методами численного решения транс- цендентных уравнений. Получить навыки в разработке алгоритмов и про- грамм, реализующих методы приближенного решения.

Краткие сведения

Во многих научных и инженерных задачах возникает необходимость решения уравнения вида [7]:

f (x, p1 , p2 ,..., pn ) = 0 ,

где f – заданная нелинейная функция; x – неизвестная величина; p1 , p2 ,..., pn – параметры задачи.

Как правило, исследователя интересует поведение решений в зависи- мости от параметров pi . При каждом фиксированном наборе параметров pi

11

нелинейное уравнение может иметь либо конечное, либо бесконечное коли- чество решений x , что соответствует определенному физическому смыслу конкретной задачи. Нелинейные уравнения, содержащие тригонометриче- ские, экспоненциальные, показательные и другие функции, называются

трансцендентными.

Решениями или корнями уравнения f (x, p1 , p2 ,..., pn ) = 0 (в дальнейшем f (x) = 0 ) называются такие значения x , которые при подстановке в уравнение

обращают его в тождество.

Решение задачи отыскания корней нелинейного уравнения осуществ- ляют в два этапа [1]. На первом этапе необходимо отделить корни уравнения, т.е. найти такие интервалы изменения переменной x , где расположен только один корень. Этот этап носит название этап локализации (отделения) корней. На втором этапе, называемом этапом итерационного уточнения корней, на- ходят корни уравнения с заданной точностью.

Способы локализации корней многообразны, но зачастую о наличии корня на отрезке [a,b] судят по перемене знака функции на концах отрезка.

Основанием для применения указанного способа служат следующие теоремы математического анализа [2].

Теорема 1. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b] и прини- мает на его концах значения разных знаков, т.е. f (a) f (b) < 0. Тогда отрезок [a,b] содержит, по крайней мере, один корень уравнения f (x) = 0 .

Теорема 2. Корень уравнения f (x) = 0 будет единственный, если произ- водная f ′(x) существует и сохраняет знак внутри интервала [a,b].

На втором этапе решения задачи производится уточнение отделенных корней, т.е. находят значения корней с заданной точностью (ε > 0). На этом этапе используют тот или иной итерационный численный метод, позволяю- щий построить последовательность x0 , x1, x2 ,..., xn приближений к корню x .

Число последовательных приближений зависит от шага изменения аргумента x , который, в свою очередь, определяется свойствами используемых для это- го численных методов. Для решения нелинейных уравнений наибольшее распространение получили следующие методы: метод бисекции, метод хорд, метод касательных (Ньютона), метод последовательных приближений и т.д.

Суть метода бисекции (половинного деления, дихотомии) заключается в

Предположим, что функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b] и на его концах принимает значения разных знаков, т.е. f (a) f (b) < 0. Согласно методу бисек-

ции за первое приближенное значение корня принимают середину отрезка x0 = a +2 b (см. рис. 2.1). Затем по приближенному значению x0 определяют значение функции f (x0 ) . Далее делают выбор, какой из двух частей отрезка

12

[a, x0 ] или [x0 ,b] взять для дальнейшего уточнения корня. Если левая часть уравнения f (x) есть непрерывная функция аргумента x , то корень будет на- ходиться в той половине отрезка, на концах которой f (x) имеет разные зна- ки. При f (x0 ) < 0 , задают a = x0 , иначе b = x0 . После чего проверяют условие b − a > ε . Если оно выполняется, то осуществляют новую итерацию прибли-

жения к корню x1 = a +2 b . Итерационный (повторяющийся) процесс продол-

жают до тех пор, пока интервал [a,b] не станет меньше заданной погрешно- сти ε . Если условие b − a > ε не выполняется, заканчивают вычисления и считают, что x = xi с заданной точностью ε . Структурная схема реализации

вышеизложенного алгоритма представлена на рис. 2.2. Число итераций при

использовании метода бисекции значительно и поэтому скорость сходимости его медленная. Однако при любой ширине отрезка [a,b] сходимость его га-

рантирована. Кроме того, простота реализации метода уменьшает число

вспомогательных операций и частично компенсирует увеличение общего времени счета из-за медленной сходимости.

f (b) f

f(xi )

Рис. 2.1. Решение уравнения f (x) = 0 методом бисекции

Метод хорд так же, как и метод бисекции, предназначен для уточнения корня на интервале [a,b], на концах которого левая часть решаемого уравне- ния f (x) = 0 принимает значения разных знаков. Очередное приближение со- гласно методу хорд, в отличие от метода бисекции, задается не в середине отрезка локализации, а в точке x0 , где пересекает ось абсцисс прямая линия, проведенная через точки f (a) и f (b) . Такая линия называется хордой (см.

рис. 2.3).

13

Нет

b −a <ε

Да

вывод xi

окончание

Рис. 2.2. Алгоритм решения нелинейного уравнения методом бисекции

Соотношение, с помощью которого определяется значение последую- щего приближения по методу хорд, можно вывести из обобщенного уравне- ния прямой линии, проходящей через три точки с координатами (a, f (a)) ,

(b, f (b)) , (xi , y) : f (−a) − y = b −−xi . y f (b) xi a

После некоторых преобразований получаем окончательную зависи- мость:

Приведенные выше рассуждения справедливы для случая представлен- ного на рис. 2.3, когда значение функции уменьшается с ростом значения ар- гумента. В случае возникновения обратной ситуации (когда значение функ- ции увеличивается с увеличением аргумента) рекурентная формула метода хорд будет иметь следующий вид:

14

f (a)

f

xi = b(y − f (a)) + a( f (b) − y) f (b) − f (a)

Затем по найденному значению xi определяют значение функции f (xi ) . Если f (xi ) − y < ε , то процесс решения и нахождения корня уравнения закан-

чивают, если же условие не выполняется, то производят сужение интервала поиска так, чтобы значения функции на концах отрезка имели разные знаки. При f (xi ) < 0 задают a = xi ; f (a) = f (xi ) , иначе b = xi ; f (b) = f (xi ) . После чего вы- числяют новое значение приближения и повторяют весь итерационный про- цесс.

Задание к работе

4. По исходным данным, приведенным в табл. 2.1, разработать алго-

ритмы методов бисекции и хорд для определения искомого параметра воды и водяного пара.

2.Каждый из методов реализовать в виде программы на языке Си с ис- пользованием пакета подпрограмм eheat.lib, описание которых приведено в табл. 1.1.

3.Организовать наглядную печать результатов.

4.Выполнить расчетный анализ методов между собой, как по скорости сходимости, так и по точности вычислений.

15

Содержание отчета

1.Задание с исходными данными.

2.Алгоритм расчета, реализующий методы приближенного решения трансцендентных уравнений, в виде блок-схемы.

3Текст программы и результаты расчета.

4.Результат сравнения полученных значений с табличными тестовыми данными.

16

Лабораторная работа №3 МЕТОДЫ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Цель работы – ознакомиться с методами численного решения систем линейных алгебраических уравнений. Получить навыки в разработке алго- ритмов и программ реализующих методы решения систем линейных алгеб- раических уравнений. Закрепить знания по использованию пакета приклад- ных программ на примерах расчета теплообменников ТЭС.

Краткие сведения

Тепловая схема современной тепловой электрической станции включа- ет значительное число агрегатов и устройств, к основному числу которых от- носятся теплообменники поверхностного и смешивающего типов, расшири- тели, эжекторы, испарители и целый ряд другого оборудования. Как правило, задачей расчета теплообменных аппаратов ТЭС является нахождение расхо- дов греющей или обогреваемой сред, которые определяются в рамках едино- го подхода – на основе уравнений балансов. Последние есть не что иное, как уравнения законов сохранения массы, энергии (в термодинамическом виде) и импульса [6]. В основу составления уравнений теплового и материального балансов положено знание принципов действия и процессов, протекающих в той или иной установке тепловой схемы.

Подогреватель поверхностного типа. Предназначен для подогрева ос-

новного конденсата или питательной воды за счет тепла пара отбираемого, из проточной части паровой турбины. Как правило, нагреваемая вода течет внутри трубной системы, греющий пар – в межтрубном пространстве (см. рис. 3.1). Целью расчета подогревателя поверхностного типа является опре- деление расхода греющего пара – Dп . Для этого необходимо составить урав-

нение теплового баланса, заключающееся в равенстве теплоты отдаваемого

греющим паром с учетом коэффициента полезного действия теплообменника и теплоты воспринимаемой нагреваемой средой.

Dп (hп − tд )ηт = Gв (tв′ − tв ) ,

где Gв – расход нагреваемой среды, кг/с; tв , tв′ – энтальпии нагревае-

мой среды соответственно на входе и на выходе из теплообменника, кДж/кг; hп – энтальпия греющего пара, кДж/кг; tд – энтальпия дренажа греющего па-

ра, кДж/кг; ηт – коэффициент полезного действия теплообменника.

Энтальпия греющего пара является функцией его давления и темпера- туры: hп = h(Pп ,tп ) . Энтальпия дренажа греющего пара равна энтальпии насы-

щенной воды, определяемой по давлению греющего пара tд = h′(Pп ).

Рис. 3.1. Принципиальная схема (а) и температурный график (б) работы

подогревателя поверхностного типа

Энтальпия нагреваемой воды на выходе из подогревателя поверхност- ного типа зависит от давления и температуры воды: tв′ = h(Pв ,tв′ ) , где tв′ – тем-

пература нагреваемой воды на выходе из подогревателя, определяемая в свою очередь, как разность температуры дренажа греющего пара и величины недогрева: tв′ = ts (Pп ) −θ . Значение θ в инженерных расчетах для подогревате-

лей высокого давления (ПВД) принимается 2÷4 0С, а для подогревателей низкого давления (ПНД) – 3÷6 0С. Величина энтальпии нагреваемой среды на входе в теплообменник tв определяется типом элемента тепловой схемы

стоящего перед рассчитываемым элементом против хода движения нагре- ваемой среды. Нагрев теплоносителя в таких теплообменниках осуществля- ется в основном за счет скрытой теплоты, выделяющейся при изменении аг- регатного состояния (конденсации) греющего пара. Все теплообменники, ра- ботающие по вышеизложенному принципу, называются собственно подогре- вателями (СП).

Для повышения эффективности работы подогревателей поверхностно- го типа современные установки выполняют многозонными. В общем случае количество зон составляет три, а их классификация осуществляется по прин- ципу теплообмена на охладитель пара (ОП), собственно подогреватель и ох- ладитель дренажа (ОД) (см. рис. 3.2). В охладителе пара происходит охлаж- дение пара до температуры на 10÷15 0С больше температуры насыщения греющего пара: tп′ = ts (Pп ) + (10 ÷15) 0С. В охладителе дренажа нагреваемая сре-

да подогревается за счет тепла, выделяющегося при переохлаждении дрена- жа греющего пара с температуры насыщения до температуры на 6÷10 0С

больше температуры нагреваемой воды на входе в теплообменник

18

tд′ = tв + (6 ÷10) 0С.

Рис. 3.2. Подогреватель поверхностного типа с охладителем пара (ОП), собственно подогревателем (СП) и охладителем дренажа (ОД)

Задачей расчета теплообменника такого типа является определение расхода греющего пара Dп , энтальпий нагреваемой среды на выходе из охла-

дителя пара tоп и охладителя дренажа tод . С целью определения неизвестных

величин составляют уравнения теплового баланса для каждой зоны подогре- вателя:

где hп′ = h(Pп ,tп′ ) – энтальпия греющего пара на выходе из охладителя пара; tд′ = h(Pп ,tд′ ) – энтальпия дренажа греющего пара на выходе из охладите-

ля дренажа.

Если в балансовых уравнениях все слагаемые с неизвестными величи- нами перенести в левую часть, а с известными в правую, то в результате по- лучим совместную систему трех линейных алгебраических уравнений с тре- мя неизвестными, решить которую можно одним из известных численных методов.

19

Подогреватель смешивающего типа. Предназначен для подогрева во-

ды за счет теплоты пара, отбираемого из проточной части турбины. Нагрев

осуществляется путем непосредственного контакта и смешения греющей и нагреваемой сред (см. рис.3.3).

При расчете теплообменников смешивающего типа искомыми величи- нами являются, как правило, расход греющего пара Dп и нагреваемой среды

после подогревателя Gв′ . Для определения неизвестных величин при расчете

подогревателей смешивающего типа необходимо составить два уравнения: материального и теплового балансов. Если уравнение теплового баланса ха- рактеризует равенство отданного и воспринятого количества тепла соответ- ственно между греющей и нагреваемой средой, то уравнение материального баланса выражает равенство всех материальных потоков, поступающих в те- плообменник и выходящих из него.

Рис. 3.3. Расчетная схема подогревателя смешивающего типа

Уравнение материального баланса записывается в следующем виде:

Dп + Gв = Gв′ .

Уравнение теплового баланса:

Dп hпηт + Gв tв = Gв′tв′ ,

где tв′ = h′(Pп ) – энтальпия нагреваемой среды на выходе из подогрева-

теля смешивающего типа равна энтальпии насыщенной воды, определяемой по давлению греющего пара.

Деаэрационная установка. Предназначена для дегазации технологиче- ской воды от растворенных в ней агрессивных газов (СО2, О2), приводящих к химической коррозии металла станционного оборудования. Одновременно деаэрационная установка служит подогревателем смешивающего типа, со- стоящая из бака аккумулятора и деаэрационной колонки, в которой собст- венно и происходит деаэрация (дегазация) воды. Для организации вышена-

званных процессов в деаэратор подается греющий пар из отборов турбины (см. рис. 3.4) и считается, что давление пара Pд по всему объему аппарата ос-

тается неизменным, сам процесс теплообмена происходит в области насыще- ния, причем греющий пар полностью конденсируется. Целью расчета де- аэрационной установки является определение расхода отборного пара Dп и

расхода теплоносителя, поступающего на деаэрацию Gок .