Metodichka_quot_Matematika_quot

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ЗДРАВООХРАНЕНИЮ И СОЦИАЛЬНОМУ РАЗВИТИЮ УРАЛЬСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МЕДИЦИНСКАЯ АКАДЕМИЯ

КАФЕДРА МЕДИЦИНСКОЙ ФИЗИКИ, ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИКИ

БОГИНИЧ А.В., ДВИНИНА М.А., ТЕЛЕШЕВ В.А.

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

г. Екатеринбург

2007

1

3

Предисловие

Знание основных идей и методов высшей математики, умение практически применять эти методы для решения задач своей специальности в настоящее время является обязательным для специалиста любого профиля, в том числе и для врача.

Ввек информационных технологий развитие естественных наук: физики, химии, биологии, математики и информатики привело к стремительному росту современной научной и прикладной медицины. Специалисты, профессиональная деятельность которых связана с изучением и коррекцией органов, сталкиваются в своей работе с необходимостью прогнозировать поведение структур человеческого организма при различных внешних воздействиях. Поэтому исследователи, разрабатывая новые методы лечения и диагностики, используют математическое моделирование, которое представляет собой аналитическое описание идеализированных процессов и систем, адекватных реальным.

Вмедицине и биологии применяются также методы статистической обработки медико-биологической информации, позволяющие извлечь из наблюдений необходимую информацию и оценить надежность полученных данных. Студент – будущий врач – должен освоить эти методы.

Пособие предназначено для первокурсников и соответствует программе курса высшей математики для студентов медицинских вузов. Кроме теоретических сведений и формул, необходимых для решения задач, в каждом разделе пособия приводится значительное число подробно решенных примеров

изадач. Часть заданий рекомендована для самостоятельного решения. Для всех заданий даны ответы.

Вданной работе некоторые задачи заимствованы из книг:

Н.Л. Лобоцкая. Основы высшей математики, Минск, 1973;

Е.В.Кортуков, Ю.К.Павлов. Пособие по элементам высшей математики, ММСИ, 1973;

Е.В.Кортуков, Г.Я.Корогодина, Ю.А.Карагодин. Методические указания по разделу элементы теории вероятностей, ММСИ, 1980.

4

Глава Ι. Основы дифференциального исчисления

1. Производная функции

В 70-х и 80-х годах 17 века известные ученые Ньютон и Лейбниц ввели общие понятия производной и дифференциала, очень облегчавшие вычисления. К вычислению производной функции мы приходим всякий раз, когда требуется определить скорость изменения одной величины (функции), в зависимости от изменения другой величины (независимой переменной).

§ 1. Приращение аргумента и функции ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Величина y называется функцией переменной

величины x , если каждому из тех значений, которые может принимать x , соответствует одно или несколько определенных значений y . При этом переменная величина x называется аргументом.

Разность между двумя значениями аргумента называется приращением аргумента и обозначается символом ∆х. Приращение может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Если первое значение аргумента обозначить через х1, а второе через х2, то

∆х = х2 – х1 Разность между двумя значениями функции называется приращением функции: ∆у = у2 – у1 = f (х2) – f (х1).

Вычисление приращения любой функции у= f (х) удобно проводить в следующем порядке:

1.Даем аргументу х функции у= f (х) приращение ∆х, получаем точку х+∆х.

2.Находим значение функции в точке х+∆х

у+∆у= f (х+∆х)

3.Из значения функции у+∆у вычитаем ее значение в точке х и находим приращение фунции:

∆у= f (х+∆х) – f (х)

5

принимает сначала значение y1 = 32 = 9 , а затем y2 =12 =1.

Приращение функции есть ∆y = y2 − y1 =1 − 9 = −8.

§ 2. Производная функции и ее физический смысл

Cоставим отношение приращения функции к приращению аргумента:

∆y = f (x + ∆х) − f (x)

∆x ∆х

Это отношение показывает, во сколько раз в данном интервале (х, х+∆х) приращение функции больше приращения аргумента, т.е. это отношение есть средняя скорость изменения функции у относительно аргумента х в интервале

(х, х+∆х).

Переходя к пределу ∆∆ух при ∆х→0, получим величину, равную скорости

∆y

изменения функции относительно аргумента в точке х. Этот предел ∆limx→0 ∆x и

называется производной от функции у (или просто производной функции) по аргументу х.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Производной функции у= f (х) при данном значении аргумента х называется предел отношения приращения функции ∆y к

приращению аргумента ∆х, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производная обозначается одним из символов: yx' (читается «игрек штрих по икс»), y′, dydx («де игрек по де икс»), f ′(x) («эф штрих от икс»). Пользуясь обозначением производной, можно написать:

∆y y′= lim ∆

∆x→0 x

6

Таким образом, производная от функции у по аргументу х есть мгновенная скорость изменения функции относительно аргумента.

Следует иметь в виду, что функции и аргументы могут быть самыми различными. В школьном курса объяснялось, что если аргументом является

время, а функцией перемещение тела s=s(t), то производная dsdt = v есть скорость,

если аргумент – время, а функция скоростьv = v(t) , то производная dvdt = a есть

ускорение, т.е. величина, которая показывает, насколько быстро изменяется скорость с изменением времени. Но это лишь частные случаи использования производных.

В медицинской кибернетике, например, определяется так называемый коэффициент чувствительности Ru к лечебному воздействию, который есть

производная от параметра Р по лечебному воздействию U: Ru = dUdP , т.е. этот

коэффициент показывает, насколько быстро меняется параметр организма при увеличении лечебного воздействия и т. д.

§ 3. Геометрический смысл производной

Пусть функция у= f (х) задана графически (рис. 1). Возьмем на кривой точку А(х, у) и дадим аргументу х приращение ∆х.

Рис. 1. Геометрический смысл производной.

7

В результате функция будет иметь значение у+∆у= f (х+∆х) и получит приращение ∆у= f (х+∆х)– f (х). Проведем секущую АВ и обозначим угол наклона секущей к оси Ох через φ. Из рисунка 1:

При ∆х→0 точка В перемещается вдоль кривой, приближаясь к точке А. Секущая поворачивается вокруг точки А и превращается в касательную к графику функции в точке А, имеющей угол наклона α к оси Ох.

Итак, производная функции равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке, в которой находят производную.

§ 4. Общее правило дифференцирования

Нахождение производной от функции называется ее дифференцированием. Общее правило дифференцирования функции вытекает из определения производной. Чтобы найти производную функции необходимо:

1. Придать аргументу х функции у= f (х) приращение ∆х и найти новое,

наращенное значение функции

у+∆у= f (х+∆х). 2. Найти приращение функции:

(у+∆у) – y = f (х+∆х) – f (х)

∆у= f (х+∆х) – f (х).

3. Найти отношение приращения функции к приращению аргумента

∆y = f (x + ∆х) − f (x) .

∆x ∆х

4. Найти предел этого отношения при ∆х→0

8

lim ∆у =У′

∆х→ 0 ∆х

ПРИМЕР. Пользуясь данной схемой, найти производную функции у=х2. РЕШЕНИЕ: 1. Наращенное значение функции:

у+∆у = (х+∆х)2

2. Приращение функции: ∆у=(х+∆х)2 – х 2

∆у= х2 +2х∆х +(∆х)2 – х2 = 2х∆х +(∆х)2

3.Отношение приращения функции к приращению аргумента:

Однако применение общего правила дифференцирования к функциям различного вида – процесс трудоемкий и сложный. Достаточно знать производные от основных функций, полученные по общему правилу.

9

§ 5. Таблица производных функций

10