1. Понятие предела (1 с.) +

11

x

2

3x 2

x 2

1

lim x 2

1

.

lim

lim

x 1

x 1 3x2 x 4

x 1

4

3

4

7

3 x

lim x

3

3

x 1

Задача 1.19. Пользуясь определением непрерывности по Коши, показать, что

функция f x 5x2 5 непрерывна в точке x 8.

0

8 325. По опре-

Р е ш е н и е. Значение функции в точке x0 8 равно f

делению функция будет в точке x0 8 непрерывной, если

0 0 :

x 8

5x2 5 325

.

Решаем последнее неравенство, чтобы найти промежуток числовой оси M такой,

что как только x M , так сразу

5x2 5 325

. Имеем:

5x2 5 325

5x2 320

64

x2 64

5

5

x

.

64

64

5

5

Таким образом,

5x2 5 325

64

,

64

,

x

5

5

а это и означает, что функция в точке x0 8 непрерывна.

Задача 1.20. Найти и классифицировать точки разрыва функции

2 x,

x 0;

f x

cos x,

0 x ;

2

x .

0,

2

Р е ш е н и е. Функция непрерывна в промежутках

, 0 , 0,

,

, .

2

2

Исследуем функцию в точках 0 и

.

2

Так как

lim 2 x 2 ,

f x

lim

f x

lim

lim cos x 1,

x 0 0

x 0 0

x 0 0

x 0 0

чок

f x lim f x 2 .

lim

x 0 0

x 0 0

Далее имеем:

f x lim 0 0 .

lim

f x

lim

cos x 0

,

lim

x 2 0

x 2 0

x 2 0

x 2 0

Так как f

0, то

2

lim

f x

lim

f x f

2

x 2 0

x

2 0

и функция в точке

x

непрерывна. Таким образом, функция непрерывна на

2

всей числовой оси

R , кроме точки x 0, которая является точкой разрыва пер-

вого рода.

Задача 1.21. Найти точки разрыва функции, определённой формулой

1

x 3,

9 ,

f x 3x

2

1,

x 3,

дать их классификацию.

Р е ш е н и е. Вычислим односторонние пределы при x 3:

lim

f x

lim

1

1

;

3x2 9

x 3 0

x 3 0

18

lim

f x

lim

1

1

.

3x2 9

x 3 0

x 3 0

18

lim

f x lim

f x

1

1.

18

x 3 0

x 3 0

что

lim 2x sin x 0, lim 1 cos x 0.

x 0

x 0

lim

sin x

1,

x 0

x

то есть, sin x x при x 0.

Далее, вспоминая, что 1 cos x 2sin2

x

и заменяя sin

x

x

, получим,

2

2

2

что 1 cos x 2sin2

x

2

x2

x2

.

2

4

2

lim

2x sin x

lim

2x x

4.

1 cos x

x2

x 0

x 0

2