ТФКП Половинкин

Вычисляя по формуле {6) коэффициенты сп, в силу теоремы 2 полу­

чае:м сходящийся в круге В1 (О) ряд Тейлора для регулярной ветви

h0 (1 + z):

+z)lt0 (1 + z). Из формулы {15) получаем для нее сходящийся в круге

В1 (О) ряд Тейлора

n=l

Этот ряд (16) интересен тем, что он сходится абсолютно на гра­

нице своего круга сходимости, а и:rv1енно, в каждой точке окружности

lzl = 1.

Перейдеl\,I к рассмотрению функциональных рядов (см. опреде-

ления 10, 11 §2)

Определение 3. Функциональный ряд (17) сходится равномерно

строго внутри области G, если он сходится равномерно в каждом

заl\fкнутом круге B.r(z), r >О, содержащеl\tся в области G.

регулярнъtх функ;циu f n : G -t С, сходится равномерно строго вну­

три области G. Тогда

n=l

при'Че.м 'Каждъtй ряд (18) сходится равномерно строго внутри обла­ сти G (Вторая теоре.ма Веuерштрасса).

r+r1

где 'Yr+r 6. { ( 11(- z0 1 = r + r 1 } - окружность, ориентированная

1

положительно.

В силу равномерной сходимости функционального ряда (17) строго внутри G и непрерывности функций fп(z) из утверждения 5

§ 2 следует, что и сумма ряда S (z) также есть непрерывная функция

r+r1

Выражение справа в равенстве (23) является интегралом типа Коши от непрерывной функции S(() (определение см. в§ 8). По его основ­

ному свойству (теорема 2 § 8) этот интеграл бесконечно дифференци­ руем, т. е. сумма ряда S(z) есть регулярная функция в окрестности

произвольной точки z0 из G, откуда следует, что сумма ряда S(z)

регулярна во всей области G.

Итак, функции SN(z) и S(z) регулярны в области G, т. е. в этой

области G существуют производные S~)(z) и S(k)(z) при Vk Е N (см.

теорему 3 §8).

2. Опять фиксируем произвольную точку z0 Е G и произволь-

ный круг Br(z0 ), r >О, такой, что Br(z0 ) С G. Это значит, что най­

любого k Е N и регулярных функций SN(z) и S(z) получаем (см. формулу (11) из §8)

Таким образом, последовательность частичных сумм s<;)(z) равно­

мерно на Br(z0 ) сходится к функции S(k)(z). В силу произвольно­

сти выбора z0 Е G и круга Br(z0 ) последнее означает, что последова-

Из теоремы 1 Абеля и теорем Вейерштрасса получаем

54 Е. С. Половинкин. Курс лекций по ТФКП

Следствие 2. Су.м.ма степенного ряда (l) в круге его сходимо­

сти ВR (а) представляет собой регулярную функцию, приtttем сте­ пенной ряд (l) в х;руге его сходимости .можно поtttленно дифферен­

цировать произвольное tttиcлo раз.

Следствие 3. Регулярность функции f : G ~ С в области G и возможность представления этой фунх:ции f на всяко.м х;руге

Br(a) С G в виде сходящегося степенного ряда (1) по степеням (z- - а) эквивалентньt.

§ 10. Некоторые свойства регулярных функций

Теорема 1 (единственности). Пусть функция J. : G ~ С ре­

гулярна в области G С С. Пусть существует последовательность

разлиtttньtх тottteк {zn} С G, сходящаяся к некоторой тotttкe а Е G и

n=O

Покажем, что коэффициенты сп =О при всех n =О, 1,.. .. До­

пустим противное. Пусть найдется коэффициент cm # О, при этом т ~ 1 (так как в силу непрерывности f в точке а из условия теоремы

где функция h как сумма сходящегося степенного ряда (в силу след­

ствия 2 §9) регулярна в круге ВРо (а), причем h(a) = cm #О. В силу

этого и в силу непрерывности h существует число r0 Е (0, р0) такое,

о

венства (3) получаем, что f(z) # О при всех z Е Br (а). Но это проти­

о

о

воречит условию, согласно которому f(zп) =О, причем zn Е Br (а)

о

при достаточно больших n. Следовательно, все коэффициенты сп =

=О в ряде (1), а потому f(z) =О на круге Вр0(а).

По условию теоремы справедливо равенство (4), откуда следует ра­

венство

1 j(() d( = L /(()d(.

~az ~az

Итак, интеграл (5) на самом деле есть

< jдzj < r, определим контур ra(z+Llz) такой, что l'a(z+Llz) == l'az U

U [z, z + дz], где [z, z + д.z] - прямолинейный отрезок, соединяю­ щий концевые точки (см. рис. 2).

Вычисляя значения g(z) и g(z + дz) через интегралы (5) по кон­

турам raz и ra(z+Llz)' получаем равенство

Это означает, что существует производпая g'(z), причем справед­ ливо равенство g'(z) = f(z). Так как функция f непрерывна, то в

итоге получаем, что функция g регулярна на области G. -

Следствие 2. Если область G односв.язна, то у вс.ях;ой регуляр­

ной фунх;ции f: G ~<С существует ее первообразна.я вида (5).

Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме Коши (теорема 1 §7) в од­

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1. Пусть область G односвязна. По следствию 2 у функции f

существует первообразная 9 вида (5), откуда в силу теоремы Коши

(§ 7) для любых кусочио-гладких контуров !аь С G и !ас С G полу­

чаем

[!(() d( = [!(() d( -~!(()d( = 9(с)-9(Ь) = 91(с) - 91(Ь).

"'Уьс "'Уас "'Уаь

Последнее равенство получено в силу леммы 1 для данной перво­ образной 91 .

2. Пусть область G неодносвязна, причем пусть Г - граница

области G. Определим р ~ dist (!ьс, Г). Так как по условию теоремы

!ьс С G, тор> О. Как и при доказательстве теоремы 1 разобьем !ьс

на конечное число гладких контуров 11 , ... , Im с концевыми точками

соответственно (0 = Ь, (1 , ... , (m =с, и так, что их длины l(lk) ~ р/2

\:1 k Е 1, т (см. рис. 4). Тогда каждый контур lk содержится в одно­ связной области - в круге ВР ( (k) С G. Поэтому можем воспользо­

ваться результатом пункта 1 и записать

Пример 4. Пусть даны область G =С\ {О} и функция f(z) =

лярна в области G, а функция 9(z) = - (n -11)zn _1 является перво-

образной функции f в области G. Из теоремы 5 следует, что по

формуле Ньютона-Лейбница (10) можно вычислить следующий ин-

теграл:

r d~ = 9(1) _ 9(1) =о.

}1<1=1 (

Пример 5. Пусть дана функция f(z) = !. В области С\ {О} эта

z

функция, очевидно, регулярна. Исследуем вопрос о существовании

первообразной в области С\ {0}. Рассмотрим два случая.