Теория_тервер

44 –(Какие-то левые распределения + ЗБЧ)

47. Гамма-распределение.

48. Распределение Пирсона (χ2).

Если Z1,Z2,...,Zν – ряд независимых стандартных нормально распределенных величин, то распределение их суммы квадратов называется χ2 распределением Пирсона с ν степенями свободы.

М(χ2)=ν D(x2)=2ν

2 ( ) Zi2 i 1

49. Распределение Стьюдента (t-распределение). Связь с другими распределениями.

Z имеет N(0;1), а величина U2 имеет χ2 распределение с ν степенями свободы, причем Z и U2 независимы. Т имеет t-распределение Стьюдента с ν степенями свободы

Функция плотности(выше) связано с хи-квадрат, а оно – частный случай гамма. Связь с другими: распределение сводится к стандартному нормированному М(Т)=0 D(T)=ν/(ν-2) Мо=Ме=М(Т)=0

50. Распределение Фишера-Снедекора (F-распределение). Связь с другими распределениями. Функция плотности вероятности. М.О. и дисперсия.

Пусть 12 ( 1 ) и 22 ( 2 ) - независимые СВ имеющие χ2 распределение с ν1 и ν2 степенями свободы. Тогда F

ЗБЧ

В широком смысле под ЗБЧ понимается свойство устойчивости массовых явлений – средний результат действия большого числа случайных явлений практически перестает быть случайным и может быть предсказан с достаточной определенностью. В узком смысле под ЗБЧ понимают совокупность теорем (Бернулли, Пуассона, Чебышёва, Маркова).

ЗБЧ: Пусть дана последовательность СВ ξ1,ξ2,…,ξn,…(1). Рассмотрим СВ ηn, являющуюся некоторой заданной симметрической функцией от первых n величин последовательности (1). Если существует последовательность постоянных а1,а2,…,аn , что при любом ε>0

то говорят, что последовательность (1) подчиняется ЗБЧ с заданными функциями fn.

51. Лемма Маркова..

Лемма (неравенство) Маркова: Если СВ Х не принимает отрицательных значений и у нее существует мат. ож. М(х), то для любого τ>0 выполняется Р(х≥τ) ≤ М(х)/τ Р(х<τ) ≥ 1 - М(х)/τ .

Условия применимости: х не принимает отрицат значений, существует мх 52 Неравенство и теорема Чебышёва. Теорема Хинчина

Неравенство Чебышёва: Для любой СВ Х имеющей М.О. и конечную дисперсию, при каждом ε>0 имеет место неравенство Р{|x-M(x)|>ε} ≤ D(x)/ε2. Р{|x-M(x)|≤ε} ≥ 1 - D(x)/ε2.

Доказательство: По лемме Маркова (для Y≥0): Р(у≥τ) ≤ М(у)/τ. Возьмём У=(Х-М(х))2 и τ=ε2

11

Теорема Чебышева: Если Х1,Х2,…,Хn,… - последовательность попарно независимых СВ, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной С, т.е. D(xi)≤C, то для любого ε>0

Теорема Хинчина. Если Х1,Х2,…,Хn,… - последовательность независимых в совокупности и одинаково

53, Теорема Бернулли. Теорема Пуассона. Условия применимости.

Теорема Бернулли: Пусть m – число наступлений события А в серии n независимых испытаний, а p – вероятность наступления события в каждом из испытаний. Тогда для любого ε>0

Теорема Пуассона: m- число наступлений события А в серии n независимых испытаний, а рi – вероятность наступления события в i-м испытании. Тогда для любого ε>0

Условия: испытания независимы, их число велико, вероятность наступления события в всех испытаниях одинакова.

54 (Ляпунов + двумерка)

54. Центральная предельная теорема и её значение. Теорема Ляпунова.

Все формы центральной предельной теоремы посвящены установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения. Важнейшей является теорема Ляпунова.

Теорема Ляпунова: рассмотрим n независимых СВ Х1,Х2,…,Хn, удовлетворяющих условиям:

1.Конечные М.О. и дисперсии

2.СВ имеют один и тот же закон распределения (ни одна из величин не выделяется резко от остальных по

своим значениям). Тогда n→∞ распределение 1 n xi приближается к нормальному закону. n i 1

Последовательность центрированных и нормированных сумм СВ сходится к стандартному нормальному закону распределения. Следствие из ЦПТ Ляпунова – предельная теорема Муавра-Лапласса:

Пусть m- чило наступл событие А в серии n незав испыт, а p – вероятн его наступл в каждом из испытаний. Тогда согласно ЦПТ 55. Многомерная СВ. Основные понятия. Двумерные дискретные СВ.

Если на пространстве элементарных событий Ω вероятностного пространства {Ω;s;p} определены n СВ ξi=fi(ω), то случайный вектор (ξ1,ξ2,…,ξn) называется n-мерной СВ.

(ξ;η) – двумерная дискретная СВ, если ξ,η – дискретные СВ.

pij=P(ξ=xi;η=yj)

ξ и η – независимые, если pij=P(ξ=xi;η=yj)= Р(ξ=xi)* Р(η=yj) - одномерные маржинальные распределения

Условным распределением СВ Х при условии, что У=уj называется распределение

56. Многомерная СВ. Основные понятия. Двумерные непрерывные СВ.

12

Если на пространстве элементарных событий Ω вероятностного пространства {Ω;s;p} определены n СВ ξi=fi(ω), то случайный вектор (ξ1,ξ2,…,ξn) называется n-мерной СВ.

Двумерная СВ – непрерывная, если её ф-я распределения F(x;y) – непрерывная, дифференцируемая по каждому аргументу и существует 2-я смешанная производная по ху, которая называется совместной плотностью вероятностей f(x;y) непрерывной СВ ХУ. Геометрически f(x;y) представляет собой поверхность распределения в 3мерном пространстве.

57. Функция распределения двумерной СВ и её свойства.

Функция распределения – вероятность совместного выполнения X<x и Y<у

F(x;y)=P(X<x;Y<y) Геометрически – вероятность попадания случайной точки с координатами (Х;У) в квадрант с вершиной (х;у)

Свойства:

1.0≤F(x;y)≤1

2.Функция распределения не убывающая по каждому аргументу.

3.F(-∞;-∞)=F(-∞;y)=F(x; -∞)=0

F(+∞;+∞)=1 F(x;+∞)=F1(x) F(+∞;y)=F2(y), где F1(x) и F2(y)-маргинальные распределения

4.Непрерывна по каждому аргументу.

5.Вероятность попадания т. (Х;У) в случайный прямоугольник Р(х1≤Х≤х2;у1≤У≤у2)=F(x2;y2)-F(x1;y2)-F(x2;y1) + F(x1;y1)

58.Плотности распределения отдельных величин, образующих двумерную СВ. Условный закон распределения одной из одномерных составляющих двумерной величины. Выражение условных плотностей распределения через безусловные.

Условный закон распределения СВ, входящей в систему называется её закон распределения, вычисленный при условии, что другая СВ приняла определенное значение.

59. Условный закон распределения одной из одномерных составляющих двумерной СВ. Теорема умножения плотностей распределения. Выражение условных плотностей распределении через безусловные. Независимость СВ.

Условный закон распределения СВ, входящей в систему называется её закон распределения, вычисленный при условии, что другая СВ приняла определенное значение.

Теорема умножения плотностей распределения:

Х и У независимы, если условный закон одной из них не зависит от того, какое значение приняла другая.

независимость≠некоррелированность независимость некоррелированность некоррелированность независимость

Центральный момент порядка k+s

13