Задачник Часть 1_
.pdfб) Найдите косинус угла между двумя лучами
|
|
x = 2 −t |
|
x = 2 + 2k |
||
|
|
y =3 −t |
|
|
y =3 |
+ k |
l1 |
|
и l2 |
|
|||
: |
|
: |
|
+ 2k |
||
|
z = −2 + 4t |
|
z = −2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
t [0;+∞) |
|
k (−∞;0] |
x = −2,5 + 2t |
|
|
y =3,1 + 2t |
|
|
2.20 а) Найдите длину отрезка |
z = −1,1 +t |
|
|
|
t [−1;1] |
|
|
|
x =5 |
|
|
y = −2,3 +5t |
|
б) Найдите длину отрезка |
z =5 +12t |
|
|
|
t [−2;−1] |
|
2.21.а) При каком значении параметра a прямая x 1−1 = 3y = z−+12 и
плоскость 2x +(a + 2) y −2z +11 = 0 перпендикулярны?
б) При каком значении параметра a прямая x 2−3 = y 8+ 2 = 6z и
плоскость x +(a +1) y +3z +5 =0 перпендикулярны?
2.22.Найдите точку пересечения прямой x 1−1 = y 4+5 = z 2−1 и
плоскости x −3y + z −8 =0.
2.23.Найдите точку пересечения прямой 1x = y−−23 = z −0 2 и плоскости
3x + y −2z =0 .
2.24. Найдите точку пересечения прямой, проходящей через точки
(1,1,1)и (1,2,3) и плоскости x − y −3z −11 =0.
11
2.25 При каком значении параметра a плоскость x + y +az −4 =0 и
прямая |
x −2 |
= |
y −1 |
= |
z −1 |
пересекаются (параллельны)? |
3 |
−1 |
|
||||
|
|
2 |
|
2.26. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку
M (2;3;−4) и перпендикулярной прямой x −0 2 = y1−1 = 1z .
2.27.Напишите уравнение плоскости, проходящей через прямую x −1 2 = y 2−3 = z −3 4 и точку M (3;4;5) .
2.28.Найдите координаты проекции точки P(-1; 2; 0) на плоскость
4x −5y − z −7 = 0 .
2.29. Найдите координаты проекции точки P( 2; -1; 1) на плоскость x − y + 2z −2 = 0 .
2.30. Найдите расстояние от точки (0;−5;10) до плоскости
5x + 2 y − z −10 =0 .
2.31. Найдите проекцию точки M (2;3;4) на прямую x = y = z .
2.32. Найдите проекцию точки P(0; 2; 1) на прямую x −2 4 = y−+11 = z −3 2 .
2.33. Напишите уравнение перпендикуляра, опущенного из точки
M (1;0;−1) на прямую x 1+1 = y 2−1 = −z3 .
12
2.34. Найдите точку пересечения прямых |
x −1 |
= |
y −2 |
= |
z +1 |
|
и |
|||||||
3 |
|
−2 |
−1 |
|
||||||||||
|
x +6 |
|
y −3 |
|
z +1 |
|
|
|
|
|
||||
|
= |
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.35.Найдите точку пересечения прямых x 2−1 = y−−12 = z +3 2 и x−−21 = y 5−6 = z −1 2 .
2.36.Напишите уравнение плоскости, относительно которой точки
P1(1; -2; -3) и P2 (3; 4; 9) симметричны.
2.37.Напишите уравнение плоскости, относительно которой точки
P1(-2; 1; -3) и P2 (6; 5; 5) симметричны.
2.38.Найдите точку, симметричную точке P(0,−1, 3) относительно плоскости 2x + y −2z −2 =0 .
2.39.Найдите точку, симметричную точке P(2, 1, −1) относительно плоскости 2x − y + z −8 =0 .
13
3. Матрицы
|
|
1 |
7 |
2 |
|
|
|
|
3 |
4 |
0 |
|
|
|
|
||
|
|
−3 |
4 |
−2 |
|
|
|
|
2 |
3 |
1 |
|
|
|
|
||
3.1. Даны матрицы A = |
и B = |
|
. Найдите |
||||||||||||||
|
|
1 |
1 2 |
|
|
|
|
−1 0 |
4 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
матрицу C = 2A −3B . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−2 1 6 |
|
|
−2 1 9 |
0 |
|
||||||||||
3.2. Даны матрицы |
|
8 |
3 |
4 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
6 |
|
4 |
1 |
|
. Найдите |
A = |
|
|
и B = |
|
|
||||||||||||
|
|
−5 |
7 0 4 |
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
4 5 2 |
|
||||||||||
матрицу C = A −2B . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−4 0 |
|
|
|
1 3 7 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
6 |
−2 |
4 |
|
|
|
|
−2 |
0 |
5 |
|
. Найдите |
||||
3.3. Даны матрицы A = |
|
и B = |
|
||||||||||||||
|
|
0 |
8 |
2 |
|
|
|
|
4 |
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
матрицу X, удовлетворяющую матричному уравнению |
|
|
|
||||||||||||||
A +2X −4B =0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
2 1 5 |
|
5 4 |
|
3 0 |
|
||||||||||
3.4. Даны матрицы |
|
3 |
−2 |
4 |
|
−3 |
|
|
|
|
|
−2 |
1 |
|
|
||
A = |
|
B |
= 2 3 |
|
. Найдите |
||||||||||||
|
|
2 |
1 1 1 |
|
|
|
|
|
|
2 4 |
|
|
|||||
|
|
|
|
1 0 |
|
|
|
|
матрицу X, удовлетворяющую матричному уравнению
5A +3X − B =0 .
3.5. Найдите |
f ( A) , если |
|
3 |
2 |
|
и |
f (x) = x2 −3x . |
A = |
1 |
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
3.6. Найдите произведение матриц A и B
а) |
|
1 |
5 |
|
−3 |
1 |
|
|
A = |
3 |
−2 |
|
, B = |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
14
2 |
−1 |
, B = |
4 |
|
0 −3 |
|
|
|||||||||||
б) A = |
7 |
3 |
|
|
−1 |
|
5 |
|
3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
8 |
|
|
|
|
|
6 |
|
−2 |
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
, B |
= |
|
|
|
|
|
||||||||
в) A = |
−1 |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
0 |
|
−2 |
|
|
|
|
5 |
|
4 |
|
|
|
||||
|
1 |
−2 4 |
|
|
|
|
|
2 |
6 |
|
|
|
||||||
г) A = |
, B = |
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
−2 |
5 |
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
||
|
|
, B = |
|
−1 5 |
|
|
|
|||||||||||
д) A = |
2 |
−1 |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
6 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
−2 |
4 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
−2 |
|
|
|||||
|
|
|
3 −2 1 |
|
|
|||||||||||||
е) A = |
3 |
−1 |
7 |
|
, B = |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
−2 |
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
3 −2 |
|
|
|
|
1 3 0 |
|||||||||||
|
−1 −1 |
|
3 |
|
, B |
|
|
2 −1 3 |
|
|||||||||
ж) A = |
|
|
= |
|
||||||||||||||
|
0 |
−2 4 |
|
|
|
|
|
1 −2 3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з) A =(1 2 −3), B = |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
=(1 2 −3) |
|
|
|
|
|
||||||||
и) A = |
−1 , |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
||
к) A = |
−3 |
, B = |
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
0 |
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
−2 |
2 |
|
|
л) A =(1 2 −5), B = |
|
7 |
0 1 |
|
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
3 −2 |
|
|
|
|
6 |
−3 |
|
||
м) |
T |
|
T |
|
|
1 |
3 |
|
|||||
A |
= |
4 |
5 |
1 |
, B |
|
|
= |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.7. Найдите произведения А В и В А матриц А и В и установите, как при этом меняются столбцы или строчки матрицы B.
|
1 |
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
а) A = 0 |
0 |
1 |
, B = 4 5 |
6 |
||
0 |
1 |
0 |
7 8 |
9 |
||
|
1 |
0 |
0 |
5 |
2 |
4 |
б) A = |
0 |
1 |
0 |
, B = 1 |
0 |
3 |
0 |
0 |
8 |
1 |
3 |
2 |
3.8. Используя результат предыдущей задачи, представьте матрицу B в виде произведения матриц A и X. В ответе укажите матрицу X и
порядок сомножителей: B = A X или B = X A.
342 |
211 |
645 |
|
645 |
211 |
342 |
а) A = 457 |
992 |
719 |
, |
B = 719 |
992 |
457 |
123 |
403 |
842 |
|
842 |
403 |
123 |
16
|
342 |
|
|
211 |
645 |
457 |
992 |
719 |
||
б) |
A = 457 |
|
|
992 719 , |
B = 342 |
211 |
645 |
|||
|
123 |
|
|
403 |
842 |
123 |
403 |
842 |
||
|
332 |
|
|
211 |
123 |
996 |
633 |
369 |
||
в) |
A = 457 |
|
|
992 719 , |
B = 457 |
992 |
719 |
|||
|
123 |
|
|
403 |
842 |
123 |
403 |
842 |
||
|
111 |
|
|
203 |
343 |
333 |
812 |
343 |
||
г) |
A = 209 |
|
|
121 514 , |
B = 627 |
484 |
514 |
|||
|
221 |
|
|
106 |
678 |
663 |
424 |
678 |
||
3.9. Возведите матрицу A в степень n |
|
|
||||||||
а) A = 1 |
−2 |
|
, n =3 |
|
|
|
||||
|
3 |
−4 |
|
|
|
|
|
|
||
б) A = 4 −1 |
|
, n =5 |
|
|
|
|||||
|
5 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
||
в) A = 2 −1 |
|
, n =10 , |
n =15 |
|
|
|||||
|
3 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
г) A = 1 1 , |
|
n =10 |
|
|
|
|||||
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
д) A = a |
1 |
|
, |
n - произвольное натуральное число |
||||||
|
0 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
17
3.10. Найдите ранг матрицы
|
2 |
5 |
1 |
|
|
|
|
а) 3 |
8 |
2 |
|
|
|
||
1 |
2 |
0 |
|
|
|
||
|
3 |
1 |
2 |
|
|
|
|
б) 6 |
2 |
4 |
|
|
|
||
9 |
3 |
6 |
|
|
|
||
|
2 |
1 |
4 |
|
−3 |
7 |
|
в) 4 |
15 8 7 1 |
||||||
2 |
17 |
4 |
13 −9 |
||||
|
3 |
1 |
1 |
0 |
−2 |
|
|
г) 1 |
5 0 2 −1 |
||||||
0 |
1 |
3 |
3 |
−1 |
|||
|
3 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) 1 |
3 |
−1 |
|
|
|
||
|
1 |
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
−3 |
|
|
|
|
|
1 |
5 |
−2 |
|
|
|
|
е) |
|
|
|
||||
|
4 |
11 |
−7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
−4 |
−1 |
|
|
18
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
||
|
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
|
||
ж) |
|
|||||||
|
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
|
||
|
|
|||||||
|
4 |
5 |
6 |
−3 |
3 |
|
||
|
|
1 |
0 |
0 |
−5 |
|
||
|
−1 |
−3 |
0 |
|
1 |
|
||
з) |
|
|
||||||
|
−2 |
−9 |
4 |
−2 |
|
|||
|
|
|||||||
|
|
5 |
18 |
−8 −1 |
|
|||
|
1 |
3 |
5 |
|
−1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и) 2 |
−1 |
−3 |
|
4 |
|
|||
|
5 |
1 |
−1 |
7 |
|
|
||
|
|
|
||||||
|
7 |
7 |
9 |
|
1 |
|
|
|
−1 |
1 |
1 |
|
−2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к) 1 |
1 |
3 |
|
0 |
|
|||
|
|
2 |
−1 |
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
1 |
5 |
|
2 |
|
|
3.11. Исследуйте систему векторов на линейную зависимость или независимость
а) ar1 =(−7; 5;19) , ar2 =(−5; 7;−7) , a3 =(−8; 7;14)
б) ar1 =(1; 2;−2) , ar2 =(0; −1; 4) , a3 =(2;−3; 3)
в) ar1 =(1; 8;−1) , ar2 =(−2; 3; 3) , a3 =(4;−11; 9)
г) ar1 =(1; 2; 3) , ar2 =(2; −1;1) , a3 =(1; 3; 4)
19
д) ar1 =(0;1;1; 0) , ar2 =(1;1; 3;1) , a3 =(1; 3; 5;1) , a4 =(0;1;1; −2)
е) arr1 =(−1; 7;1;−2) , ar2 =(2; 3; 2;1) , a3 =(4; 4; 4;−3) , a4 =(1; 6;−1;1)
3.12. Найдите ранг системы векторов и укажите какой-нибудь базис в этой системе векторов
а) ar1 =(1;1; 2) , ar2 =(3;1; 2) , a3 =(1; 2;1) , a4 =(2;1; 2)
б) ar1 =(1;1;1) , ar2 =(−3;−5; 5) , a3 =(3; 4;−1) , a4 =(1;−1; 4)
в) ar1 =(1;1; 0;−1) , ar2 =(1; 2;1; 0) , a3 =(1; 3; 2;1) , a4 =(1; 4; 3; 2)
г) arr1 =(1; 0;1; 0) , ar2 =(−2;1; 3;−7) , a3 =(3;−1; 0; 3) , a4 =(−4;1;−3;1)
3.13. Найти какой-нибудь базис в указанном линейном пространстве
L. Найдите координаты элемента |
|
0 |
2 |
|
в этом базисе. В ответе |
А= |
|
|
|
||
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
укажите координаты А в выбранном базисе.
а) L - линейное пространство всех матриц 2х2
б) L - линейное пространство симметричных матриц 2х2
|
0 |
а |
в) L - линейное пространство матриц 2х2 вида |
|
|
|
а21 |
12 |
|
а22 |
20