ЛЕКЦИЯ 01_Л.А

Покажем, что преобразования (1.10) можно осуществить при помощи умножения матрицы на некоторую квадратную матрицу K . Для определенности займемся преобразованиями 1 – 3 строк заданной матрицы.

Пусть A M m , n , так что определено произведение Em A, равное, очевидно, самой матрице A . В соответствии с равенством (1.8)’’ запишем

Тогда

Л Е К Ц И Я 1

Полученные общие результаты иллюстрируются ниже на простых примерах.

Примеры:

►1 Умножение 1-й строки в A на число , 0 .

Матрица K получена умножением 1-й строки в E3 на .

►2 Перестановка 2-й и 3-й строк в матрице A .

K

Матрица K получена транспозицией 2-й и 3-й строк в E3 .

►3 Прибавление к 1-й строке матрицы A ее 3-й строки.

Матрица K получена заменой в E3 нуля с индексами (1,3) 26 на единицу.

Целесообразно проверить (сделайте это), что в этом примере умножение A слева

26Первый индекс в паре – номер строки, к которой прибавляется строка, номер которой стоит вторым в паре.

ЛЕ К Ц И Я 1

Замечание

Если в матрице A последовательно выполнить несколько элементарных преобразований, то в рамках традиционной терминологии о получившейся матрице можно сказать как о результате действия на исходную матрицу A композиции элементарных преобразований.

Одной из таких наиболее часто используемых композиций является прибавление к строке ai

aj (1 / )aj .

Таким образом, в отличие от элементарного преобразования второго типа здесь нет необходимости требовать отличия множителя от нуля.

Это замечание, конечно, в равной степени относится и к столбцам матрицы.

▲ Предложите и обоснуйте реализацию элементарных преобразований столбцов матрицы при помощи матричного умножения.

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА И ЕЕ СВОЙСТВА. ОБРАТИМЫЕ И НЕОБРАТИМЫЕ МАТРИЦЫ

Определение

27 A 1 нерасчленимое обозначение, символическое возведение в степень « 1», сходное с обозначением обратной функции.

Л Е К Ц И Я 1

вается необратимой. В этом случае будем писать: A 1 .

ВЛекции 3 будет показано, что обратимость матрицы связана с отличием от нуля

ееопределителя (детерминанта) det A важной числовой характеристики квадратных

матриц. Матрицу A M n называют вырожденной при det A 0 и невырожденной в про-

тивном случае, то есть если det A 0 . Таким образом, обратимость и невырожденность матрицы, а также необратимость и вырожденность оказываются равносильными понятиями.

Свойство (1.11) является прямым аналогом связи действительного числа a и об-

ратного к нему числа a 1 1a . Известно, что среди действительных чисел лишь одно, а

именно a 0 , не имеет обратного. Очевидно, нулевая матрица O M n , служащая в M n

венной обратимой идемпотентной матрицей является единичная, а все остальные идемпотентные матрицы необратимы.

Указанное обстоятельство имеет глубокое геометрическое истолкование. Действительно, выше уже отмечалось, что идемпотентные матрицы можно трактовать как некоторые проекторы. Но при проектировании, если оно не является тождественным преобразованием n мерного вектора в пространство n того же числа измерений28, безвозвратно теряется информация о некоторых координатах проектируемого вектора в том смысле, что по проекции невозможно однозначно восстановить его. В самом деле, одну и ту же проекцию на некоторую координатную ось или координатную плоскость имеет бесчис-

28 Общие определения понятий «вектор» и «число измерений» будут даны в Лекции 6, посвященной линейным (векторным) пространствам.

Л Е К Ц И Я 1

Н.Н.БОБКОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ◄ 26 ►

ленное множество векторов. Следовательно, не существует обратного отображения результата проектирования в проектируемый вектор. В противном случае оно реализовалось

ного отображения все идемпотентные матрицы в M n , кроме единичной, являются необ-

ратимыми.

Свойства обратной матрицы

В самом деле, учитывая, что AA 1 A 1 A En , находим

( A) ( 1 A 1 ) ( 1 )( AA 1 ) 1 En En ; ( 1 A 1 ) ( A) ( 1 )(A 1 A) 1 En En .

По определению это означает, что ( A) 1 1 A 1 .

3 . Пусть A M n и A 1 . Покажем, что тогда (AT ) 1 ( A 1 )T .

Вновь проверим выполнение равенств (1.11):

Следовательно, ( AT ) 1 (A 1 )T , что и требовалось доказать.

Л Е К Ц И Я 1

Итак, матрица, полученная транспонированием из обратимой матрицы, также обратима, причем ее обратная матрица получается транспонированием матрицы, обратной по отношению к взятой обратимой матрице. Матрицы AT и ( A 1 )T взаимно обратные.

4 . Пусть A и B обратимые матрицы, то есть A 1 , B 1 . Тогда и AB обратимая матри-

ца, причем обратной для нее служит матрица B 1 A 1 : ( AB) 1 B 1 A 1 .

Действительно,

( AB) (B 1 A 1 ) A (BB 1 ) A 1 A En A 1 ( A En ) A 1 AA 1 En ; (B 1 A 1 ) (AB) B 1 ( A 1 A) B B 1 En B (B 1 En ) B B 1 B En .

На основании (1.11) заключаем, что ( AB) 1 B 1 A 1 .

Как видно, обратимость матриц-множителей A, B влечет обратимость их произве-

дения AB и выполнение указанного равенства.

Обобщение свойства 4 . для любого конечного числа сомножителей выглядит так:

(1.11)’ ( A1 A2 Ak 1 Ak ) 1 Ak 1 Ak 11 A2 1 A1 1 (убедитесь в этом),

где Ai , i 1, k обратимые матрицы одного порядка.

 Можно доказать (см. Лекцию 3), что обратимость произведения матриц влечет обратимость всех сомножителей. Равенства (1.11), (1.11)’ будут по-прежнему справедливы.

5 . Единственность обратной матрицы

При доказательстве приведенных выше соотношений использовался только факт существования обратной матрицы у некоторой заданной обратимой матрицы в соответствии с определением обратимости. Убедимся теперь в том, что любая обратимая квадратная матрица имеет единственную обратную матрицу.

Пусть для матрицы A M n существует две обратных матрицы, которые обозна-

чим как B1 и B2 . Составив произведение C B1 AB2 , усматриваем, что

C (B1 A)B2 En B2 B2 и C B1 ( AB2 ) B1En B1 .

Л Е К Ц И Я 1

ся к доказательству этого утверждения в Лекции 3, когда сможем связать вырожденность квадратной матрицы с линейной зависимостью системы ее столбцов (строк). Пока же заметим, что сформулированное свойство позволяет оставить в определении обратной матрицы лишь одно из равенств (1.11) и использовать только его при проверке правильности решения задач об обращении матриц.

Вскоре найдутся средства доказать, что выполнение обоих равенств возможно лишь для взаимно обратных матриц, когда m n .

▲ Приведите пример матриц указанного вида.

3. В ряде случаев задачу обращения заданной матрицы A M n удается решить, не привлекая систематических средств обращения и критериев обратимости. Например, для матрицы A En равенство En B En , B M n выполняется для матрицы B En . Отсюда в силу единственности обратной матрицы вытекает обратимость единичной матрицы и

матричному уравнению A 2 En , найдем все квадратные корни из En , то есть построим множество инволютивных матриц заданного порядка. Очевидно, попутно будет решена и

задача обращения таких матриц, поскольку A 2 En A 1 A .

Примечательно, что общее решение сформулированной задачи нетривиально и не имеет простого вида A En , аналогичного решению x 1 соответствующего алгебраи-

ческого уравнения x2 1.

Л Е К Ц И Я 1

ные матрицы второго порядка. Найдите в общем виде решение задачи извлечения квадратного корня из E2 и покажите, что оно зависит от двух параметров.

Алгоритм вычисления обратной матрицы

Обсуждаемый алгоритм, который иногда называют методом исключения, позволяет для заданной матрицы A M n найти обратную матрицу A 1 или установить, что матрица A необратима. Этот метод тесно связан с определенными выше элементарными преобразованиями матриц. Как вскоре будет показано, для решения поставленной задачи обращения квадратной матрицы достаточно использовать только элементарные преобразования ее строк29.

ТЕОРЕМА (критерий обратимости квадратной матрицы)

Для того, чтобы матрица A M n была обратимой, необходимо и достаточно, что-

бы ее можно было преобразовать в единичную матрицу En (редуцировать к En ) при по-

мощи конечного числа элементарных преобразований строк.

Доказательство:

1. Пусть заданную матрицу A M n можно преобразовать в матрицу En посредством элементарных преобразований строк в соответствии с изображенной ниже схемой, суть которой состоит в следующем. Позиции на главной диагонали заданной матрицы последовательно, начиная с левого верхнего угла, заполняются ненулевыми числами, которые преобразуются в единицы, с дальнейшим планомерным обнулением или «исключением» всех стоящих под ними элементов30.

Построенная верхнетреугольная матрица с единицами на главной диагонали аналогичным обратным ходом от последней строки к первой окончательно диагонализуется, достраивается до единичной.

29Конечно, возможность практической реализации метода ручным счетом во многом зависит от размера матрицы и образующих ее чисел. Метод часто используется при решении задач учебного характера при n d7 для матриц с целочисленными элементами.

30Аналогичная технология «исключения» применяется в методе Гаусса решения систем линейных уравнений, см. подробности в Лекции 2 и далее.

ЛЕ К Ц И Я 1

Переход от каждой матрицы предыдущего шага к следующей, полученной из нее элементарным преобразованием строк, отмечается на схеме значком « »:

1 1 1

Поясним этапы алгоритма приведения матрицы A к En более подробно:

создаем 1 на 1-м диагональном месте (индексы i j 1 ). Для этого можно переставить строки (если среди них есть начинающаяся с 1), прибавить к некоторой строке другую, умноженную на подходящее число или умножить первую строку на число, обратное ее первому элементу, если он отличен от нуля. При ручном счете рекомендуется избегать таких делений, осложняющих выкладки, до тех пор, пока это возможно;

выбрав 1-ю строку в качестве опорной и умножая ее на подходящие числа, обнуляем в первом столбце все элементы, кроме 1-го, складывая результат умножения с нижележащими строками;

создаем 1 на втором диагональном месте (индексы i j 2 );

Л Е К Ц И Я 1