ЛЕКЦИЯ 02_Л.А

2). Анализируя ход решения однородной системы линейных уравнений, можно придти к следующему важному выводу.

Пусть изначально в системе AX число уравнений m меньше числа неизвест-

ных n . Тогда в ходе преобразований число строк в преобразуемой матрице ( A ) , или A

с учетом соглашения о нулевом столбце правых частей, может только убывать, если отбрасывать нулевые строки. Число же столбцов в зоне A сохраняется, так что в конце прямого хода метода Гаусса всегда будет получаться упрощенная форма (2.8)’. Иными словами, такая система всегда будет иметь бесконечно много решений, среди которых есть нетривиальные, то есть состоящие не из одних нулей. В самом деле, в решении часть неизвестных – свободные параметры, а остальные будут выражены через них линейно. Достаточно одной из параметрических неизвестных придать ненулевое значение, и какими бы ни оказались соответствующие значения всех остальных, получим одно из нетривиальных решений исходной однородной системы линейных уравнений. Таким образом, столбцы матрицы A(m n), m n линейно зависимы.

 Отсюда сразу же вытекает общее заключение: система числовых столбцов размера

(m 1) , содержащая более чем m столбцов, линейно зависима19. В соответствующей мат-

рице, составленной из элементов этих столбцов, высота меньше ширины, то есть в эквивалентной однородной линейной системе число уравнений m меньше числа неизвестных n .

Рассмотренный выше пример системы из 4 х трехмерных векторов полностью подтверждает сказанное.

3). Если система линейных уравнений AX B имеет нулевую матрицу: A O M m,n , то в случае B O M m,1 она несовместна, а при B O M m,1 ее решением является произ-

n

вольный вектор с вещественными компонентами: X (C1 Cn )T Ci ei , Ci , i 1, n

i 1

(свойство 7 ).

19 Это утверждение относится к любой системе, состоящей из n m m мерных векторов, являющихся элементами некоторого m мерного линейного пространства, см. Лекцию 6. В частности, n m строк размера (1 m) линейно зависимы.

Л Е К Ц И Я 1

 Случай A O единственный, когда расширенная матрица линейной системы не мо-

жет быть редуцирована элементарными преобразованиями строк к виду (2.8) или (2.8)’.

ТЕОРЕМА КРОНЕККЕРА – КАПЕЛЛИ О СОВМЕСТНОСТИ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

В терминах линейных оболочек и рангов систем векторов можно сформулировать

фундаментальные критерии совместности линейных систем или равносильных им матричных уравнений вида (2.6)’’’. Доказательство необходимых и достаточных условий разрешимости таких уравнений как раз и составляет содержание теоремы Кронеккера-

Капелли.

ТЕОРЕМА

Для того, чтобы система линейных уравнений AX B , где A M m,n , B M m,1 ,

X (x1 xn )T M n,1 имела решение, необходимо и достаточно, чтобы линейная обо-

лочка системы столбцов матрицы системы A была равна линейной оболочке системы, которая получается из предыдущей добавлением столбца свободных членов. В свою очередь, это равенство линейных оболочек имеет место тогда и только тогда, когда ранги указанных систем столбцов совпадают.

Иными словами, следующие три условия оказываются эквивалентными:

1). Для заданных матриц A(m n) (a 1 a n ), B(m 1) X (n 1): AX B .

2). L(S1 ) L(S2 ) , где S1 {a 1 , , a n }, S2 {a 1 , , a n ; B} .

3). Rg S1 Rg S2 , или в равносильной форме dim L(S1 ) dim L(S2 ) .

Доказательство:

Проведем его по следующей схеме

Система AX B совместна

Л Е К Ц И Я 1

►1). 2). Пусть система линейных уравнений AX B имеет решение. Поскольку AX

a 1 x1 a n xn , то это означает разложимость столбца свободных членов B по системе столбцов матрицы A , то есть принадлежность B линейной оболочке L(S1 ) . Отсюда вы-

текает, что любой столбец системы S2 разложим по столбцам системы S1 : L(S2 ) L(S1 ) .

С другой стороны, S1 S2 , так что L(S1 ) L(S2 ) . Таким образом,

(2.10) L(S1 ) L (a 1 , , a n ) L (a 1 , , a n ; B) L(S2 ) .

►2). 3). Пусть L(S1 ) L(S2 ) . Обозначим посредством B1 , B2 базы систем S1 и S2 соот-

ветственно. На основании теоремы 12 и определения базиса линейной оболочки заключа-

монотонности числа линейно независимых векторов следует, что линейно независимые системы B1 , B2 состоят из одинакового числа векторов. Это означает равенство рангов систем S1 , S2 и равенство размерностей линейных оболочек этих систем, численно равных их рангам:

(2.11) Rg{a 1 , , a n } Rg{a 1 , , a n ; B} ;

dim L(a 1 , , a n ) dim L(a 1 , , a n ; B) .

►3). 1). Если Rg S1 Rg S2 , то базы B1 , B2 системS1 , S2 , как максимальные линейно не-

зависимые подсистемы в них, содержат одинаковое число векторов. В силу того, что

S1 S2 , любая подсистема системы S1 является также и подсистемой в S2 . Следователь-

но, B1 S2 база в S2 . По теореме 12 вектор B разложим по базе B1 , а тогда и по всей системе S1 . Это означает существование таких чисел x1 xn , что a 1 x1 a n xn B , то есть совместность системы линейных уравнений AX B с матрицей A (a 1 , a n ) .

Л Е К Ц И Я 1

в которой выявлен смысл неизвестных xi , i 1, n как коэффициентов линейной комбина-

ции векторов ai , равной нуль-вектору.

1. Допустим, что в результате решения системы (2.12) методом Гаусса в конце прямого хода получается треугольная форма зоны A (2.8)21, размер которой совпадает с числом векторов в системе S .

Это означает, что (2.12) имеет только тривиальное решение x1 x n 0 , то есть система S линейно независима и поэтому Rg S n .

Преобразования (2.7) уравнений системы (2.12), приведшие ее матрицу к виду (2.8), тождественны с элементарными преобразованиями строк в A . Эти преобразования, как было показано в Лекции 1, равносильны умножению матрицы A слева на некоторую квадратную матрицу M m произведение матриц, реализующих каждое из сделанных элементарных преобразований.

Перестановка столбцов в преобразуемой матрице A , которая иногда необходима для получения форм (2.8), (2.8)’, сводится к соответствующей перестановке слагаемых в

n

сумме xi ai и в силу коммутативности матричного сложения не влияет на справедли-

i 1

вость приводимых ниже выкладок.

В соответствии с (2.12)’ запишем

откуда видно, что «под действием» матрицы линейная комбинация векторов ai пере-

ходит в линейную комбинацию их образов ai a i с теми же коэффициентами, а нуль-

вектор – в себя. Образы ai это столбцы зоны A в конфигурации (2.8), если не отбрасы-

вать нулевые строки в процессе преобразований.

21 Напомним, что при решении однородных систем методом Гаусса столбец свободных членов остается нулевым и не выписывается.

Л Е К Ц И Я 1

Однако, это невозможно: максимальная линейно независимая подсистема в S со-

держит только k Rg S r векторов. Следовательно, в системе S нет линейно независи-

мой подсистемы, состоящей более чем из k Rg S векторов. Есть ли в ней линейно неза-

висимая подсистема из k векторов? Ответ утвердительный, как это видно из следующих рассуждений.

Если {bj }, j 1, k база в S , то образы bj , j 1, k ее векторов посредством ото-

бражения будут линейно независимы. Доказательство этого утверждения вполне ана-

k

логично предыдущему. Действительно, пусть j bj равная нуль-вектору линейная

j 1

k

ствия на обе части последнего равенства матрицей 1 получится j bj , что

j 1

возможно лишь если j 0, j 1, k .

Окончательные выводы таковы: система векторов {bj }, j 1, k есть максимальная

линейно независимая подсистема в S , то есть ее база. Она состоит из k векторов, так что

Rg S Rg S k . Доказательство завершено.

▲Докажите, что 1 .

▲Докажите, что под действием оператора линейно зависимая система векторов пере-

ходит в линейно зависимую систему образов и что прообразы линейно зависимой системы образов составляют линейно зависимую систему.

Замечание

Теперь можно охарактеризовать рассматриваемый случай треугольной зоны A ра-

венством Rg S Rg S n . В этом случае линейная независимость образов {ai }, i 1, n 23

23 А тогда в соответствии с только что доказанным и их прообразов {ai }, i 1, n .

Л Е К Ц И Я 1

станет совсем очевидной, если продолжить преобразования до формирования в зоне A

единичного блока En . Соответствующая последовательность действий была неоднократ-

но описана выше. Как и прежде, при получении формы (2.8), всегда можно добиться указанной цели.

меров (n 1) , возможно, «наращенные» некоторым одинаковым количеством нулей снизу

(если m n и нулевые строки при получении (2.8) не отбрасывались). Линейная незави-

симость векторов ei , i 1, n доказана в п. 7 .

▲ Докажите, что «лишние» нули снизу не влияют на справедливость этого вывода.

2. Пусть теперь в результате решения системы (2.12) методом Гаусса получается трапеце-

видная форма зоны A с r n строками и n столбцами. Покажем, что в этом случае

Rg S Rg S r .

Действительно, квадратную часть размеров (r r) зоны A 24 всегда можно преоб-

разовать в единичный блок порядка r . Последовательность действий при этом – та же,

что и описанная выше для первого случая, но «приложенная» к указанной зоне. Она отра-

жена схематически на следующем рисунке

24 Совокупность элементов преобразованной матрицы системы, стоящих в r ее первых строках и в r первых столбцах.

Л Е К Ц И Я 1

ходе преобразований нулевые строки отбрасывались, вернем их и получим r линейно не-

(подробно объясните – почему?), так что большего, чем r количества линейно незави-

симых векторов в S нет. Следовательно, Rg S r n , а тогда и Rg S Rg S r . Посколь-

ку прообразы векторов ai , i 1, r линейно независимы (убедитесь в этом еще раз), то они образуют базу в S .

 Итак, в рассматриваемом случае Rg S Rg S r n , а базу в исходной системе S об-

разуют те векторы, образами которых являются первые r столбцов зоны A в конце преобразований.

Описанный алгоритм попутно позволят решить задачу разложения по базе системы S тех векторов, которые в нее не вошли. Для доказательства обозначим посредством {bm }, m 1, r ту базу в S , для которой образами ее векторов под действием преобразова-

ний являются r первых столбцов упрощенного вида зоны A (матрицы A ) с единич-

части данного равенства оператором , получаем

Равенство (2.14) означает, что коэффициенты разложения вектора a по указанной базе системы S равны r первым компонентам образа этого вектора при преобразовании .

Л Е К Ц И Я 1