Lectures_all
.pdf
ГЛАВА 2. РАНГОВЫЕ ТУРНИРЫ |
22.01.2015 10 |
Есть два сезона, по ходу каждого из которых играет один матч. Прибыль первого сезона 1. Прибыль второго сезона 2, уже скорректиро- ванными на полученную прибыль первого сезона, полученную фирмами.
Как должна распределять прибыль в первом сезоне фирма, чтобы максимизировать 2?
Пусть 1 è 2 прибыль, которая отда¼тся первой или второй фирме из прибыли первого сезона. 1 + 2 = 1.
Решение:
Пусть 1 = 1, 2 = (1 − ) 2, [12 , 1].
Если выигрывает первая команда, то новые бюджеты:
{
1′ = 1 + 1
2′ = 2 + (1 − )
Вероятность наступления случая:
1( 1, 2) =
1
1 + 2
Прибыль второго периода для этого случая:
2 = ( 1 + 2 + 1) − | 1 − 2 + (2 − 1) 1|
Если выигрывает вторая команда, то новые бюджеты:
{
1′ = 1 + (1 − ) 1
2′ = 2 +
Вероятность наступления случая:
1( 1, 2) =
2
1 + 2
Прибыль второго периода для этого случая:
2 = ( 1 + 2 + 1) − | 1 − 2 + (1 − 2 ) 1|
Ожидаемая прибыль:
E 2 = |
|
1 |
( ( 1 |
+ 2 |
+ 1) − | 1 − 2 + (2 |
− 1) 1|)+ |
|
||||||||||||||
1 + 2 |
|
||||||||||||||||||||
+ |
2 |
|
( |
( |
|
|
+ |
|
2 + |
|
1) − |
| |
|
1 − |
|
2 + (1 |
− 2 |
) |
1|) −→ |
|
|
1 + 2 |
|
1 |
|
|
|
|
[ 21 ,1] |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
ГЛАВА 2. РАНГОВЫЕ ТУРНИРЫ |
22.01.2015 11 |
− |
1 |
|
|
1− |
|
|
|
1|)− |
2 |
|
|
1− |
|
2+(1−2 |
|
1|) −→ |
max |
|
|
||||||||||||||||
1 + 2 |
| |
|
|
2+(2 |
−1) |
1 + 2 |
| |
|
|
) |
[ 21 ,1] |
Не меняя общности, предположим, что 1 > 2. Тогда первый модуль раскроется.
− |
1 + 2 |
{ |
|
2 1 |
2 |
, 1 |
+ (1 |
|
2 ) 1 |
6 2 |
−→ [ 21 ,1] |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
+ (1 − 2 ) 1 |
> 2 |
|
||||||
2 1 |
1 |
|
+ |
|
2 1 |
1+ 2 |
, |
|
|
1 |
max |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
{ |
|
|
|
|
|
1+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 1, |
|
|
1 + (1 |
|
2 ) 1 |
6 2 |
−→ |
[ 21 ,1] |
|
|||||||||
|
|
|
2 |
− 1 |
|
|
|
|
− 2 ) 1 |
> 2 |
|
|
|
||||||
|
2 1 1 |
+ 2 , |
1 + (1 |
|
max |
|
|||||||||||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
И получается, что это всегда убывающая функция. И тогда в первом
случае = |
1 |
= min{ |
2+ 1 |
+ 1 |
, 1}. |
2 , а во втором |
2 1 |
|
Глава 3. |
|
Пенальти |
29.01.2015 |
Самая первая статья по экономике спорта в топовом экономическом журнале [?].
3.1.Лирическое отступление: введение в теорию игр
Одновременно или последовательно? Скорее одновременно. Игроки: вратарь и нападающий. А какие у них есть стратегии? Бу-
дем считать, что нападающий может бить влево, вправо или по центру.= { , , }. И у вратаря такие же стратегии, то есть куда он может
прыгать. На основании чего они будут принимать ту или иную стратегию? Нападающий хочет забить, а вратарь отбить удар. В простом варианте будем считать, что если направления удара и прыжка совпадают, то удар отбит, а если в разные, то гол забивается.
( , ) = ( , ) = ( , ) = 1
( , ) = ( , ) = ( , ) = −1
в остальных случаях у голкипера -1, а у нападающего 1. Иначе можно записать как игру в нормальной форме.
|
|
|
Goalie |
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
C |
R |
|
|
|
|
|
|
L |
−1, 1 |
1, −1 |
1, −1 |
Striker |
C |
1, −1 |
−1, 1 |
1, −1 |
|
R |
1, −1 |
1, −1 |
−1, 1 |
Стратегия набор вероятностей, с которой играется каждая чистая стратегия.
12
ГЛАВА 3. ПЕНАЛЬТИ |
29.01.2015 13 |
Определение равновесия Нэша для этой игры: Стратегия вратаря и стратегия нападающего образуют равновесие Нэша, если выполняются два условия:
1)стратегия вратаря оптимальна в ответ на стратегию нападающего,
2)стратегия нападающего оптимальна в ответ на стратегию вратаря
Пусть с вероятностью + + , + + = 1, , , [0, 1], а смешанная стратегия вратаря: + + .
Ожидаемый плат¼ж нападающего будет равен
= − − − + + + + + +
Плат¼ж же нападающего будет равен противоположной величине
= −
Проверяем, является ли равновесием Нэша профиль
( + + ; + + )
если у одного из игроков вероятность удара в каком-то направлении больше двух других, то е¼ и нужно играть другому вратарю с вероятностью 1, а для нападающего в какой-либо другой из углов. Игрокам
надо смешивать свои стратегии, иначе оппонент будет всегда выигрывать. Для равновесия нужно, чтобы каждая чистая стратегия приносила одинаковый плат¼ж.
( , + + ) = − + +
( , + + ) = − +
( , + + ) = + −
Если нападающий смешивает все три свои стратегии, то каждая из них приносит одинаковый ожидаемы плат¼ж.
− + + = − +
− + = − +
+ + = 1
Решив систему, получим, что = = .
Если вратарь смешивает все три свои стратегии, то = = =
1
3 .
ГЛАВА 3. ПЕНАЛЬТИ |
29.01.2015 14 |
Если все игроки смешивают стратегии, то есть равновесие Нэша, в котором оба играют свои чистые стратегии с равной вероятностью. Других равновесий нет. Например, если = 0, но тогда оптимально = 1, и для вратаря никогда не выгодно стоять в центре. Аналогично, легко понять, что никому никогда не выгодно играть не смешанный стратегии, то есть не выгодно выбирать нулевые и .
Но на самом деле в реальности редко вратари оказываются в центре при ударе в центр. И на самом деле матрица выигрышей выглядит немного иначе. Также у игроков есть естественная сторона, в которую они бьют. У правшей лево, а у левшей вправо.
Введ¼м платежи процент забития.
|
|
|
Goalie |
|
|
|
L |
C |
R |
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
Striker |
C |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
бить по центру и не попасть, , вероятность не попасть по воротам при ударе влево и вправо.
1)Assumption SC (sides-center). Эмпирически подтвердилось, что >
, > . > , > .
2)Assumption NS (natural side). Для правши > , > .
3)Assumption KS (kicker's side). Для вратаря легче прыгать в естественную сторону − > − .
Àиграют ли игроки в жизни те стратегии, которые предсказывает такая игра?
Если нападающий смешиваем все стратегии:
( , + + ) = + +
( , + + ) = +
( , + + ) = + +
( − ) + + ( − ) = 0
( − ) + + ( − ) = 0
+ + = 1
ГЛАВА 3. ПЕНАЛЬТИ |
29.01.2015 15 |
||
Решив систему, получим решение: |
|
||
= |
− + + − |
|
|
+ − − + ( − )( − ) |
|||
|
|||
= |
− + − |
|
|
+ − − + ( − )( − ) |
|||
|
|||
= |
( − ) + ( − ) − − |
|
|
+ − − + ( − )( − ) |
|||
|
|||
Докажем, что < .
−2 + 2 . −
è åñëè 2 − > 0
2 − |
< |
|
|
2 − |
|
||
|
знаменатель положительные, что видно из assumptions. Íàéä¼ì − без знаменателя:
2 − − 2 + − +
( − )( − ) + ( − )
и здесь получится некоторое условие.
Но так как выигрыши теперь различны, то могут быть равновесия, когда один из игроков не смешивают какую-либо из стратегий.
( ) = +
( ) =
( ) = +
+ = +
+ >
+ = 1
и можно найти, что
−= − + −
−= − + −
ГЛАВА 3. ПЕНАЛЬТИ |
29.01.2015 16 |
При таком условии существуют равновесия, когда бьют тольк влево
и вправо.
( − ) + ( − ) >− + −
−− + − >
Глава 4.
Дизайн круговых турниров
12.02.2015
Чтобы было возможно разбиение, возьм¼м 8 команд, так как в группах обычно по 4 команды. Задача: разбить на две группыы на 4.
Команды упорядочены по силе , есть две группы 1 è 2, множе- ство матчей в группах . Если -ый матч
мера здесь бессмысленна, так как в |
|
∑ |
|
|
|
Будем использовать метрики: = |
( 1 + 2) качество, но эта |
||
2 |
|
этом случае это константа. |
||
|, и будем делать его минимизировать. |
= ∑ | 1− |
|||
|
Чуть интереснее другая метрика: competitive balance |
|
||
Играются матчи в 2-х группах и вс¼.
В случае competitive balance будет оптимально разделить команда по группа так: четыре наиболее сильные в одной, а наименее сильные в другой.
Если есть 4 команды в группе и 1 > > > , тогда
= 1− + 1− + 1− + − + − + − = 3( 1− )+( − )
что минимизируется при расстановке команд 1-2-3-4, 5-6-7-8.
В таком случае финальный матч не важен, а что если он важен? Теперь у нас 2 группы и победители групп играют финальный матч.
Всего 729 вариантов раскладов, если матч может закончиться 3-мя исходами. Если очень много таких раскладов, то можно применять симуляции методом Монте-Карло.
Рассмотрим простой случай сильнейшая команда всегда побеждает в финале.
Общий competitive balance (group 1: 1-x-y-z, group 2: p-q-r-t):
2 = 3( − ) + ( − )
3 = 1 −
17
ГЛАВА 4. ДИЗАЙН КРУГОВЫХ ТУРНИРОВ |
12.02.2015 18 |
1 + 2 + 3 −→ min
Предельные случаи: = 0 оптимально 1-2-3-4. Начиная с некоторого будет лучше сеять 1 и 2 в разные группы, чтоб был финал, и
в этом случае будет оптимальное остальных сеять как 3-4-5 и 6-7-8 не важно в какую группу. Возможны ли промежуточные значения ?
Глава 5.
Дизайн круговых турниров. Аксиоматический подход. 19.02.2015
Круговой турнир это пара ( , ( , )), где множество участников турниров, а ( , ) характеристическая функция, которая:
1)Определение на множестве пар ( , ), ̸= ; ,
2)( , ) {0, 1} ( , ) возможны только или поражение, или победа
3)Если ( , ) = 0, ( , ) = 1; и наоборот ( , ) = 1, ( , ) = 0
Обозначение: если ( , ) = 1 тогда → . Возможные способы ранжирования:
∙по максимальному числу побед
∙¾Спартак чемпион¿
∙по минимальному числу победа
Но единственный адекватный из этих методов лишь первый. Сформулируем некоторый набор желательных свойств. Результат о том, что Ариэль Рубинштейн (1980) [ ?]
Правило ранжирования функция, которая определена на множестве всех турнирных таблиц (характеристических функций) с участниками и для каждой такой характеристической функции , ставит в соответствие полностью упорядоченное множество ( ) то есть ,( ) либо , , либо и то, и другое.
Будем обозначать, что , если занимает место не ниже, чем , одинаковое, если и строго выше, если .
Аксиомы:
19