Учебное пособие по дисциплине СиСПИ

Ряд (1.3) точно определяет заданный сигнал s(t) в точках отсчета, поскольку коэффициентами ряда являются сами выборки из функции, т. е. величины s(n∆t). Можно доказать, что ряд (1.3) определяет функцию s(t) в любой момент t, а не только в точках отсчета t =n∆t. Воспользуемся для этого общими правилами разложения функции по ортогональной системе. В данном случае разложение производится по функциям вида (1.4), для которых интервал ортогональности равен бесконечности, а нор-

ма ||φn||:

Применим для определения значений коэффициентов ряда общую формулу, справедливую для обобщенного ряда Фурье:

Сам обобщенный ряд Фурье представлен коэффициента-

ми:

При этом исходим из условия, что s(t) — квадратично интегрируемая функция (энергия сигнала конечна).

Для вычисления интеграла в выражении (1.8) воспользуемся формулой , согласно которой

20

Пределы интегрирования здесь приведены в соответствие

s(0), а также в спектре функции φn(t).

Интеграл в правой части (1.9) с коэффициентом 1/2π есть не что иное, как значение s(t) в момент t = n∆t. Таким образом,

из которого следует, что коэффициентами ряда (1.3) являются выборки функции s(t) в точках t = n∆t.

Поскольку ограничение спектра конечной наивысшей частотой обеспечивает непрерывность функции s(t), ряд (1.3) сходится к функции s(t) при любом значении t.

Если взять интервал между выборками ∆t' меньшим, чем ∆t=1/2Fm, то ширина 2F'm спектра Ф'n(Ω) функции φ'n(t) будет больше, чем у спектра S(Ω) сигнала s(t) (рис. 1.8), но это не отразится на величине коэффициентов сп. Модуль функции Ф'n(Ω) изображен на рис.1.8 пунктиром.

При увеличении же ∆t'' по сравнению с ∆t спектр Ф''n(Ω) функции φ''n(t) (на рис. 1.8 показан штрих-пунктиром) становится уже, чем спектр сигнала s(t), и при вычислении интеграла в выражении (1.9) пределы интегрирования должны быть (-2πF''m, 2πF''m) вместо (-2πFm, 2πFm). Коэффициенты сn при этом являются уже выборками не заданного сигнала s(t), а некоторой другой функции s1(t), спектр которой ограничен наивысшей часто-

той F''m.

21

Итак, сокращение интервалов между выборками по срав-

нению с величиной 1/2Fm допустимо, но бесполезно. Увеличение же интервала сверх величины 1/2Fm недопустимо.

Рассмотрим теперь случай, когда длительность сигнала s(t) конечна и равна Т, а полоса частот по-прежнему равна Fm. Эти условия, строго говоря, несовместимы, так как функция конечной длительности обладает теоретически бесконечно широким спектром. Практически, однако, всегда можно определить наивысшую частоту спектра Fm так, чтобы «хвосты» функции времени, обусловленные отсеканием частот, превышающих Fm, содержали пренебрежимо малую долю энергии по сравнению с энергией заданного сигнала s(t). При таком допущении, если имеется сигнал длительностью Т с полосой частот Fm, общее число независимых параметров т. е. значений s(n∆t), которое необходимо для полного задания сигнала, очевидно, равно

Число N иногда называют числом степеней свободы сигнала s(t)

так как даже при произвольном выборе значений s(n∆t) сумма вида (1.13) определяет функцию, удовлетворяющую условиям заданного спектра и заданной длительности сигнала. Число N иногда называют также базой сигнала.

В ряде случаев встречается необходимость представления сигнала с помощью частотных выборок спектральной функции S(Ω), а не временных выборок функции s(t). Для функции S(Ω) можно составить ряд, аналогичный выражению (1.3). Это не-

22

трудно сделать на основании взаимной заменимости переменных t и Ω в преобразованиях Фурье. Применительно к выражению (1.3) это означает, что t должно быть заменено на Ω, 2Ωm на Т, 2Fm на Т/2π; ∆t= 1/2Fт на ∆Ω = 2π /Т. Таким образом получается

Если ранее временной интервал между двумя соседними выборками должен был не превышать 2π/2Ωm,то теперь частотный интервал не должен превышать 2π/Т. При ширине спектра 2 Ωm, охватывающей область частот -Ωm < Ω < Ωm, число выборок

ными числами и в каждой отсчетной точке на оси частот должны быть заданы два параметра — действительная и мнимая ча-

число параметров получается вдвое большим, чем при времен-

ствительные числа. Избыточность представления сигнала в ча-

23

что задание одной из них однозначно определяет другую. Таким образом, число независимых параметров или степеней свободы

временной области.

Энергию и среднюю мощность сигнала нетрудно выразить через заданную последовательность временных выборок.

Из последнего выражения видно, что средняя за время Т мощность непрерывного сигнала равна среднему квадрату выборки. Усреднение производится по всем отсчетным точкам, число которых равно 2FmТ.

1.2 Методы модуляции в системах связи

Для передачи информации на расстояние применяются сигналы, эффективно излучаемые с помощью антенных устройств и обладающие способностью распространяться в виде свободных радиоволн в среде, разделяющей отправителя и получателя информации. Такими сигналами являются высокочастотные колебания. Передаваемая информация должна быть тем или иным способом заложена в высокочастотное колебание, называемое несущим. Частота ω0 этого колебания выбирается в

24

зависимости от расстояния, на которое должна передаваться информация, от условий распространения радиоволн и ряда других технических и экономических факторов. Но в любом случае

частота ω0 должна быть велика по сравнению с наивысшей частотой Ωm спектра передаваемого сообщения.

Это объясняется тем, что для неискаженной передачи сообщений через радиотехнические цепи, а также для устранения искажений, возникающих при распространении радиоволн, необходимо чтобы ширина спектра сообщения Ωm была мала по сравнению с ω0; чем меньше отношение Ωm/ω0, тем меньше проявляется несовершенство характеристик системы. Поэтому чем выше требуемая скорость передачи информации и, следовательно, шире спектр сообщения Ωm, тем выше должна быть несущая частота радиосигнала. Как правило, выполняется неравенство

Любой радиосигнал можно поэтому трактовать как «узкополосный» процесс даже при передаче «широкополосных» сообщений.

Приведем следующие примеры. При передаче речи или музыки спектр сообщения обычно ограничивают полосой от

Fmin= 30—50 Гц до Fmax = 3000—10 000 Гц. Даже на самой длинной волне вещательного диапазона λ=2000м при несущей часто-

передаче тех же сообщений на коротких волнах (при частотах 15—20 МГц) это отношение не превышает сотых долей процента. При передаче подвижных изображений (телевидение) полоса частот сообщения весьма широка и достигает 5—6 МГц, однако и несущая частота выбирается не менее 50—60МГц, так что от-

ношение Fmax/f0 не превышает 10 %.

В самом общем случае радиосигнал, несущий в себе информацию, можно представить в виде

a(t) A(t) cos[ 0t (t)] A(t) cos (t), (1.17)

25

Аналогично можно установить условие медленности функции θ.

Так как мгновенная частота колебания равна скорости изменения фазы то, дифференцируя аргумент выражения (1.17), находим

Производная dθ /dt определяет отклонение частоты ω(t) от частоты ω0. Это отклонение может быть быстрым или медленным. Для того чтобы колебания a (t) можно было считать близким к гармоническому, нужно, чтобы изменение частоты за время Т было мало по сравнению с частотой ω(t) в любой рассматриваемый момент времени.

Таким образом, условие медленности функции θ(t) можно записать в виде следующих неравенств:

Так как обычно ω(t) очень мало отличается от ω0, можно

Для большинства используемых в радиотехнике сигналов неравенства (1.21) обычно выполняются. Это означает, что при

27

любом виде модуляции параметры радиосигнала: амплитуда, фаза или частота — изменяются настолько медленно, что в пределах одного периода Т0 колебание можно считать гармоническим.

Эта предпосылка лежит в основе всего дальнейшего рассмотрения свойств радиосигналов и их спектров.

1.3 .Цифровая обработка аналоговых сигналов

1.3.1 Преобразование аналог—цифра. Шумы кванто-

вания

Погрешности преобразования входного сигнала из аналоговой формы в цифровую возникает при квантовании сигнала на конечное, ограниченное число уровней. Чтобы выявить характер этой погрешности приведем структурную схему (рис.1.10) и выделим из нее два устройства: аналогово-цифровой преобразователь (АЦП) и цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП).

Рис.1.10. Функциональная схема преобразования аналогцифра и обратно – цифра-аналог

Рассмотрим сначала совместную работу этих устройств без учета цифрового фильтра при подаче на вход АЦП постоянного напряжения различного уровня u1 (рис. 1.11, а).

28