Госы 5к Надя / уравнения математической физики / Модуль 3 / ВОПРОСЫ к экзамену
.docВОПРОСЫ
к экзамену по уравнениям математической физики
для студентов 4 курса ФМФ специальности МИ
2 семестр 2008-2009 уч. год.
-
Понятие дифференциального уравнения в частных производных. Задача Коши и теорема Ковалевской. Геометрическая трактовка.
-
Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Свойства их решений. Векторные линии и векторные поверхности, характеристики. Примеры.
-
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка.
-
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка. Понятие специального решения, его геометрический смысл.
-
Классификация дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Примеры. Типы краевых задач для дифференциальных уравнений.
-
Приведение линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка к каноническому виду. Дифференциальные уравнения характеристик.
-
Уравнения гиперболического типа. Канонический вид.
-
Уравнения параболического типа. Каноническая форма.
-
Уравнения эллиптического типа. Каноническая форма.
-
Уравнения гиперболического типа. Вывод уравнения колебаний струны.
-
Уравнения гиперболического типа. Решение задачи Коши для неограниченной струны. Формула Даламбера.
-
Уравнения гиперболического типа. Применение метода Фурье разделения переменных к решению задачи о вынужденных колебаниях однородной струны с подвижными концами. Случай однородного уравнения. Задача Штурма-Лиувилля.
-
Уравнения гиперболического типа. Применение метода Фурье разделения переменных к решению задачи о вынужденных колебаниях однородной струны с подвижными концами. Обоснование метода в случае неоднородного уравнения.
-
Уравнения гиперболического типа. Применение метода Фурье разделения переменных к решению задачи о свободных колебаниях защепленной струны.
-
Уравнения гиперболического типа. Продольные колебания стержня.
-
Осесимметричные колебания круглой мембраны. Применение метода Фурье. Функция Бесселя.
-
Уравнения параболического типа. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности методом разделения переменных. Интеграл Пуассона и фундаментальное решение.
-
Уравнения эллиптического типа. Гармонические функции. Постановка краевых задач.
-
Уравнения эллиптического типа. Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье.
-
Уравнения эллиптического типа. Случай круга произвольного радиуса. Интеграл Пуассона.
-
Уравнение Лапласа в полярных и цилиндрических координатах. Фундаментальное решение уравнения Лапласа на плоскости.
-
Уравнение Лапласа в сферических координатах. Фундаментальное решение уравнения Лапласа в пространстве.
-
Гармонические функции, примеры. Свойства гармонических в круге функций. Теорема о среднем для гармонических функций и ее следствия.
-
Неравенство Харнака. Теорема Лиувилля. Свойства гармонических в шаре функций.