дополнительные вопросы алгебры(матанализа) / Задания к зачету (вычисление особого интеграла, задача о скачке)
.docxЗадания к зачету по спецкурсу.
Раздел 1. Вопросы по ТФКП.
1. Условие Коши-Римана (необходимое условие).
2. Интегральная теорема Коши.
3. Интегральная формула Коши.
4. Теорема Лиувилля.
Задачи к разделу 1.
1.1. Выполнить указанные действия: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
1.2. Найти модули и аргументы комплексных чисел:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ;
1.4. Найти все значения следующих корней и построить их:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 6) .
1.8(1)* Исходя из геометрических рассмотрений, доказать неравенство:
.
1.23. Выяснить геометрический смысл указанных соотношений:
; ; .
1.28. Выяснить геометрический смысл соотношения: .
1.59. Представить в показательной форме числа:
.
1.60. Найти .
1.61. Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел
.
1.68. Найти действительные и мнимые части следующих значений функций:
1) ; 2) ; 3) .
1.109. Определить линию, заданную уравнением .
1.110. Определить линию, заданную уравнением .
1.111. Определить линию, заданную уравнением .
1.121. Для отображения найти:
1) образы линий ; 2) прообразы линий .
1.132. Найти постоянные , при которых функция будет аналитической.
Раздел 2. Интеграл Коши, интеграл типа Коши, особый интеграл.
1. Определение и свойства интеграла Коши.
2. Определение и свойства интеграла типа Коши.
3. Определение и свойства особого интеграла.
4. Основная лемма.
5. Формулы Сохоцкого.
6. Постановка краевой задачи Римана.
7. Решение задачи о скачке.
Задачи к разделу 2.
1. Вычислить интеграл типа Коши , взятый по контуру (, с плотностью , если:
1) , – единичная окружность ;
2) , – единичная окружность ;
3) , – единичная окружность ;
4) , – единичная окружность ;
5) , – единичная окружность ;
6) , – единичная окружность ;
7) , – единичная окружность ;
8) , – единичная окружность ;
9) , – единичная окружность ;
10) , – единичная окружность ;
11) , – единичная окружность ;
12) , – единичная окружность ;
13) , – единичная окружность .
2. Вычислить особый интеграл , взятый по контуру (, с плотностью , если:
1) , – единичная окружность ;
2) , – единичная окружность ;
3) , – единичная окружность ;
4) , – единичная окружность ;
5) , – единичная окружность ;
6) , – единичная окружность ;
7) , – единичная окружность ;
8) , – единичная окружность ;
9) , – единичная окружность ;
10) , – единичная окружность ;
11) , – единичная окружность ;
12) , – единичная окружность ;
13) , – единичная окружность .
3. Решить задачу Римана с краевым условием при условии , считая, что:
1) , – единичная окружность ;
2) , – единичная окружность ;
3) , – единичная окружность ;
4) , – единичная окружность ;
5) , – единичная окружность ;
6) , – единичная окружность ;
7) , – единичная окружность ;
8) , – единичная окружность ;
9) , – единичная окружность ;
10) , – единичная окружность ;
11) , – единичная окружность ;
12) , – единичная окружность ;
13) , – единичная окружность ;