Лекция № 2.Ч1 Система компьютерной математики MathCad.

Вопросы:

1. Общие сведения о СКМ MathCad.

2. Символьные вычисления:

   0. Преобразование алгебраических выражений

   1. Типовые операции математического анализа

3. Векторные и матричные операции

Примерное содержание:

1. Общие сведения о СКМ MathCad

Mathcad— это популярная система компьютерной математики, предназначен­ная для автоматизации решения массовых математических задач в самых раз­личных областях науки, техники и образования. Название системы происходит от двух слов —MATHematica(математика) иCAD(ComputerAidedDesign— системы автоматического проектирования, или САПР). Так что вполне право­мерно считатьMathcadматематическими САПР.

Сегодня различные версии Mathcadявляются математически ориентированны­ми универсальными системами. Помимо собственно вычислений, как числен­ных, так и аналитических, они позволяют с блеском решать сложные оформи­тельские задачи, которые с трудом даются популярным текстовым редакторам или электронным таблицам. С помощьюMathcadможно, например, готовить статьи, книги, диссертации, научные отчеты, дипломные и курсовые проекты не только с качественными текстами разного стиля, но и с легко осуществ­ляемым набором самых сложных математических формул, изысканным графи­ческим представлением результатов вычислений и многочисленными «живы­ми» примерами. А применение библиотек и пакетов расширения обеспечивает профессиональную ориентациюMathcadна любую область науки, техники и образования.

К важным достоинствам новых версий Mathcadотносятся настройка под лю­бой мало-мальски известный тип печатающих устройств, богатый набор шриф­тов, возможность использования всех инструментовWindows, прекрасная графика и современный многооконный интерфейс. В новые версииMathcadвключены эффективные средства оформления документов в цвете, возможность создания анимационных (движущихся) графиков и звукового сопровождения. Тут же текстовый, формульный и графический редакторы, объединенные с мощным вычислительным потенциалом ядра системы. Предусмотрена и возмож­ность объединения с другими математическими и графическими системами для решения особо сложных задач. Отсюда и название таких систем — интегри­рованные системы. Впрочем, в решении задач интеграции создателиMathcadпошли намного дальше — эта система обеспечивает подлинную интеграцию с целым рядом других математических, графических и офисных систем. Однако имевшийся в прежних версиях специальный системный интеграторMathConnexиз новой версииMathcad2001 исключен. Он теперь поставляется как отдельное расширение системы.

Состав системы Mathcad

Как интегрированная система Mathcad2001 содержит следующие основные ком­поненты:

• редактор документов — редактор с возможностью вставки математических выражений, шаблонов графиков и текстовых комментариев;

• центр ресурсов — интегратор ресурсов системы;

• электронные книги — электронные книги с описанием типовых расчетов в различных областях науки и техники;

• справочная система — система для получения справочных данных по тема­тическому и индексному каталогу, а также для поиска нужных данных по ключевому слову или фразе;

• «быстрые шпаргалки» QuickSheets— короткие примеры с минимальными комментариями, описывающие применение всех встроенных операторов и функций системы;

• браузер Интернета — собственное средство выхода в Интернет.

Системы реализуют типовые и весьма обширные возможности Windows95/98/2000/NT, включая доступность множества шрифтов, работу со всеми типами принтеров, одновременное выполнение нескольких разнохарактерных задач и (в последних версиях) реализацию технологии обмена объектамиOLE2. В режи­ме редактирования возможна одновременная работа с рядом документов и пере­нос объектов из одного окна в другое.

Предусмотрен также импорт любых графических изображений — от простых и специальных графиков функций до многокрасочных репродукций художе­ственных произведений. Введены средства анимации рисунков и воспроизведе­ния видеофайлов со звуковым стереофоническим сопровождением. Это, наря­ду с улучшенной визуализацией сложных расчетов, позволяет пользователю готовить электронные статьи и книги высокого качества. Начиная с версии Mathcad8.0, было предусмотрено упрощенное построение двумерных графиков и вращение трехмерных графиков мышью. Теперь в версииMathcad2000/2001 введено упрощенное построение и трехмерных графиков.

Общение с пользователем системы MathCadосуществляется с помощьюматематически ориентированноговходного языка общения с системой, который является типичным языкомвизуального программирования. СистемаMathCadинтегрирует в себе три редактора: текстовый, формульный и графический. Для ввода текстового комментария достаточно ввести символ " (расположение текстовых блоков в документе имеет принципиальное значение – слева направо и сверху вниз); для запуска формульного редактора – в окне редактирования установить курсор ввода (маленький красный крестик).

Алфавит входного языка – это совокупность символов и слов, которые используются при задании команд и функций, необходимых для решения интересующего пользователя класса задач. Алфавит системыMathCadсодержит:

• малые и большие латинские буквы;

• малые и большие греческие буквы;

• арабские цифры от 0 до 9;

• системные переменные;

• математические операторы;

• имена встроенных функций;

• спецзнаки;

• малые и большие буквы кириллицы (при работе с русифицированными документами)

Типы данных:

• константы;

• обычные и системные переменные;

• массивы (векторы и матрицы);

• данные файлового типа.

Константы– имеющие уникальные имена объекты, хранящие некоторые значения, которые определяются в процессе загрузки системы.

Типы констант:

• целочисленные константы (0, 1, 23 и т.д.)

• вещественные числа с мантиссой и порядком (12,3 10^-5);

• восьмеричные числа (идентифицируются латинской буквой О);

• шестнадцатеричные числа, имеющие в конце отличительный признак в виде буквы hилиH;

• комплексные числа: символы iилиjобозначают мнимую единицу;

• системные константы, хранящие определенные параметры системы;

• строковые константы – любые цепочки символов, заключенные в кавычки;

• единицы измерения величин: помимо своего числового значения, они характеризуются еще и указанием на то, к какой физической величине они относятся. При необходимости MathCadвыполняет физические расчеты с соответствующим преобразованием размерных величин.

Переменныетакже являются имеющими уникальные имена объектами. В отличие от констант, они вначале не определены, а после определения могут принимать любые значения в пределах своего типа. В системеMathCadтип переменной определяется ее значением – переменные могут быть числовыми, строковыми, символьными и т.д. имена переменных могут иметь любую длину, и в них могут входить латинские и греческие буквы, а также цифры. Малые и большие буквы в именах различаются.

Системные переменные:

 , e(основание натурального логарифма),, %=0,01,iилиj,TOL(допустимая погрешность для различных численных алгоритмов),CTOL(погрешность для условий ограничения при решении оптимизационных задач с применением функцийMaximize, Minimize, Find, Minerr),ORIGIN(определяет индекс первого элемента массива),FRAME(используется в качестве счетчика при создании анимации).

Задание переменным значений называется присваиванием. Различают локальное и глобальное присваивание. Если переменной присваивается значение с помощью оператора:=, то такое присваивание является локальным. С помощью знакаможно обеспечить глобальное присваивание, когда переменная получает заданное значение независимо от того, в каком месте документа стоит оператор глобального присваивания.

Знаки равенства:

= – назначение: вывод значения переменной или выражения;

= ("жирный" знак равенства) – используется в логических операторах сравнения.

Mathcadпрочитывает документ дважды:

• вначале выполняются все операторы, использующие знак «»;

• затем производятся действия, предписанные оператором локального присваивания.

Примеры:

Пример 1		Пример 2
Выполнение операций точной арифметики
Вычисление фундаментальных констант с произвольной точностью	=3.142 (в численных расчетах используется значение с учетом 15 значащих цифр) Изменить число отображаемых знаков можно с помощью команды Формат\Результат… В символьных вычислениях  выводится как символ:   float,5 3,1416 (число значащих цифр от 0 до 250)

Данные и переменные могут быть и размерными, т.е. характеризоваться не только своим значением, но и указанием физической величины, значение которой они хранят. Для присвоения таким переменным значений используются обычные знаки присваивания, но после численного значения со знаком умножения или через пробел указывается единица измерения.

Дискретные(ранжированные) переменные – используются для создания ряда значений.

Name:=Nbegin, (Nbegin+Step) .. Nend(.. – символ, указывающий на изменение переменной в заданных пределах, вводится знаком точки с запятой)

Если после некоторого выражения с ранжированной переменной поставить знак равенства, то на экран будет выведена таблица значений этого выражения.

Ранжированная переменная существует вся сразу, к отдельным ее значениям доступа нет. При необходимости иметь доступ к каждому значению переменной с несколькими компонентами она должна быть задана в виде массива.

Операторыэлементы языка, предназначенные для создания математических выражений совместно с данными, именуемыми операндами. Это знаки арифме6тических операций, вычисление сумм, произведений, производных, интегралов и т.д.

Встроенные операторы.

x,y– переменные или выражения любого типа

a,b– вещественные числа

m,n– целые числа

z,w– вещественные или комплексные числа

A, B – массивы

i– дискретная (ранжированная) переменная

t– переменная

f– функция

Оператор	Клавиши	Назначение оператора
x:=y	x : y	Локальное присваивание x значения y
xy	x~y	Глобальное присваивание x значения y
x=	x=	Вывод значения x
x+y	x+y	Сложение x с y
x +y	x ctrl+enter y	Сложение x с y
x-y	x-y	Вычитание из x значения y
	x/z	Деление x на z
	z^w	Возведение z в степень w
	z\	Вычисление квадратного корня из z
	n ctrl+\ z	Вычисление корня n-ой степени из z
	| z	Вычисление модуля
n!	n!	Вычисление факториала
Bn	B [ n	Ввод нижнего индекса
An,m	A [ n, m	Ввод двойного индекса
A<n>	A ctrl+6 n	Ввод верхнего индекса
	Ctrl+Shift+4	Суммирование x по i от m до n
	$	Суммирование x по дискретному аргументу i
	Ctrl+Shift+3	Перемножение x по i от m до n
	#	Перемножение x по дискретному аргументу i
	&	Вычисление определенного интеграла
	?	Вычисление производной
	Ctrl+?	Вычисление производной n-го порядка
( )	‘ (апостроф)	Ввод пары круглых скобок
a>b	a>b	Больше чем
a<b	a<b	Меньше чем
	a Ctrl+0 b	Больше или равно
	a Ctrl+9 b	Меньше или равно
z=w	z Ctrl+= w	Булево равенство
	z Ctrl+3 w	Не равно

Функции.

1. Встроенные функции: Вставка\Функция

2. Функции пользователя

Имя_функции (список_аргументов):=Выражение

2. Символьные вычисления.

Системы компьютерной алгебры снабжаются специальным процессором для выполнения аналитических (символьных) вычислений. Его основой является ядро, хранящее всю совокупность формул и формульных преобразований, с помощью которых производятся аналитические вычисления. Чем больше этих формул в ядре, тем надежней работа символьного процессора и тем вероятнее, что поставленная задача будет решена, если такое решение существует в принципе (что бывает далеко не всегда).

Ядро символьного процессора системы MathCAD — несколько упрощенный вариант ядра известной системы символьной математики Maple V фирмы Waterloo Maple Software, у которой фирма MathSoft (разработчик MathCAD) приобрела лицензию на его применение, благодаря чему MathCAD стала (начиная с версии 3. 0) системой символьной математики. Символьные вычисления выполняются столь же просто (для пользователя), как вычисление квадрата х.

Символьные операции можно выполнять двумя способами:

1. в командном режиме (используя операции меню Символы):

   1. символьные операции с выделенными выражениями;

   2. символьные операции с выделенными переменными;

   3. символьные операции с выделенными матрицами;

   4. символьные операции преобразований.

2. с помощью операторов символьного преобразования (используя палитру инструментов Символы).

Для управления выводом результатов символьных операций служит команда Стиль вычислений.

Рассмотрим первый способ.

Чтобы символьные операции выполнялись, процессору необходимо указать, над каким выражением эти операции должны производиться, т. е. надо выделить выражение. Для ряда операций следует не только указать выражение, к которому они относятся, но и наметить переменную, относительно которой выполняется та или иная символьная операция. Само выражение в таком случае не выделяется.

Таким образом, для выполнения операций с символьным процессором нужно выделить объект (целое выражение или его часть) синими сплошными линиями.

Символьные операции разбиты на пять характерных разделов. Первыми идут наиболее часто используемые операции. Они могут выполняться с выражениями, содержащими комплексные числа или имеющими решения в комплексном виде.