Анализ временных рядов и прогнозирование

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

- дисперсия тенденции:

Выдвигается и проверяется гипотеза о том, что подходит или не подходит рассматриваемое уравнение тренда для описания тенденции исходного временного ряда.

Гипотеза проверяется на основе F-критерия Фишера-Снедекора, расчетное значение которого определяется по следующей формуле:

Критическое значение критерия определяется по таблице табулированных значений (приложение) следующим образом:

α

Fкр : ν1 = k −1

ν2 = n −k

Если Fp > Fкр при заданном уровне значимости α и числе степеней свободы (ν1 = k

— 1, ν2 = n — k), то уравнение тренда подходит для отражения тенденции исходного временного ряда.

Анализ необходимо начинать с более простого уравнения к сложным, пока не подойдет.

Пример. Проверим с помощью дисперсионного метода анализа, какое из двух рассмотренных выше (таблица 2.12) уравнений тренда наиболее подходит для описания тенденции исходного ряда динамики объема платных услуг населению РФ. Расчеты приведены в таблице 2.13.

Средний уровень исходного ряда динамики составит:

y = 21,4+ 22,1+...+ 31,9 = 318,6 = 26,55.

12 12

1. Проверим методом дисперсионного анализа, подходит ли уравнение линейного тренда для описания тенденции в изменении объема платных услуг населению РФ:

Vобщ. = Vf (t) + Vε

Vf (t) = Vобщ. − Vε = 112,58 − 5,44 = 107,14

51

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Таблица 2.12.

Расчетная таблица для определения средней квадратической ошибки

52

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

σf2(t) = kV−f (t1) = 1072 −,141 = 107,14

Fp = σσf2(2t) = 107,14 = 196,95 ε 0,544

Fkp : (α; ν1=k-1=1; ν2=n-k=12-2=10); Fkp = 5,32.

Следовательно, c вероятностью 95% можно утверждать, что уравнение линейного тренда подходит для описания тенденции исходного ряда динамики объема платных услуг населению РФ.

Таблица 2.13.

Расчетная таблица реализации дисперсионного метода анализа в оценке трендовых моделей объема платных услуг населению РФ

за период январь-декабрь 2002 г.

2. Проверим методом дисперсионного анализа, подходит ли уравнение параболы второго порядка для описания тенденции в изменении объема платных услуг населению РФ:

53

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Следовательно, c вероятностью 95% можно утверждать, что уравнение параболы второго порядка подходит для описания тенденции исходного ряда динамики объема платных услуг населению РФ.

Отдельно взятый критерий или метод при выборе формы тренда не обеспечивает правильность ее выбора. Необходим обязательно учет специфики объекта исследования, методов прогнозирования и оценки точности и надежности получаемых прогнозов.

После того, как определена форма трендовой модели (уравнения), необходимо проанализировать наличие, характер и закон распределения отклонений эмпирических значений от теоретических, полученных по уравнению тренда.

2.5. Моделирование случайного компонента

Исследование случайного компонента проводится с целью решения двух основных задач:

1.оценки правильности выбора трендовой модели;

2.оценки стационарности случайного процесса.

При верном выборе формы тренда отклонения от него будут носить случайный характер, что означает, что изменение случайной величины εt не связано с изменением t.

Для этого определяются отклонения эмпирических значений от теоретических: εt = yt — f(t) для каждого уровня исходного временного ряда.

Проверяется гипотеза H0: о том, что значения случайной величины εt случайны и величина εt не зависят от времени.

Методами проверки данной гипотезы являются следующие:

–коэффициент корреляции;

–критерий серий, основанный на медиане выборки;

–критерий «восходящих» и «нисходящих» cерий;

–критерий min и max.

Наиболее простой сводится к расчету коэффициента корреляции между εt (отклонениями от тренда) и фактором времени t, и проверке его значимости.

Критерий серий, основанный на медиане выборки.

Этапы реализации метода:

•рассчитываются отклонения эмпирических значений от теоретических, полученных по уравнению тренда: ε1, ε2, ..., εn ( εt = yt −f(t)= yt − yt ).

•εt ранжируются, где:

•ε(1) — наименьшее значение: ε(1), ε(2), ..., ε(n) в порядке возрастания или убывания.

•Определяется медиана отклонений εmed.

•Значения εt сравниваются со значением εmed и ставится знак «+» или «-»:

Таким образом получается ряд «+» и «-».

•Выдвигается и проверяется следующая основная гипотеза H0: если отклонения от тренда случайны, то их чередование должно быть случайным.

54

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

•Последовательность «+» и «-» называется серией.

•Определяется kmax(n) — длина наибольшей серии.

•Определяется V(n) — число серий.

Выборка признается случайной, если одновременно выполняются неравенства

(α = 0,05):

Если хотя бы одно неравенство нарушается, то гипотеза о случайности отклонений уровней временного ряда от тренда отвергается.

Пример. Произведем оценку случайной компоненты в ряду динамики числа зарегистрированных разбоев (в тыс.) (Российский статистический ежегодник, стр. 243. Госкомстат РФ. – М., 2000 г.).

Таблица 2.14.

Необходимо выявить случайную компоненту в данном ряду динамики с помощью критерия серий, основанного на медиане выборки. В качестве трендовой модели рассмотрим линейный тренд и параболу второго порядка.

1. Первоначально оценим отклонения эмпирических значений числа зарегистрированных разбоев в РФ от теоретических, полученных по уравнению линейного тренда:

yt = a0 + a1t

Рассчитаем параметры уравнения прямой, используя метод наименьших квадратов. Промежуточные вычисления отразим в таблице 2.15.

n×a = ∑ya1 ×∑0 t2 = ∑ty

a0 = ∑ny = 32310,7 = 32,37 a1 = ∑∑tyt2 = 381330,9 = 1,16

Таким образом, уравнение линейного тренда имеет вид: yt = 32,37 +1,16t .

Рассчитаем отклонения εt эмпирических значений числа зарегистрированных разбоев от выровненных по тренду (таблица 2.16, гр. 4).

55

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Таблица 2.15.

Расчетная таблица для определения параметров линейного тренда, описывающего тенденцию изменения числа зарегистрированных разбоев в РФ за период 1993-2002 гг.

Проранжируем полученные отклонения в порядке убывания (таблица 2.16, гр. 5). Определим медиану отклонений εmed :

εmed = (−1,25 −1,71)/ 2 = −1,48

Cравним значения отклонений εt с εmed :

—если εt > εmed , то ставим «+»;

—если εt < εmed , то «-».

Получили ряд плюсов и минусов. Отразим результаты в таблице 2.16.

Таблица 2.16.

Расчетная таблица для определения параметров критерия серий, основанного на медиане выборки

числа зарегистрированных разбоев в РФ за период 1993-2002 гг.

56

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Выдвигается следующая гипотеза H0: если отклонения от тренда случайны, то и их чередование должно быть случайным.

Для проверки выдвинутой гипотезы определим длину наибольшей серии:

Kmax (n) = 5

и число серий V(n)=4; n=10.

Гипотеза не отвергается, если справедлива следующая система неравенств.

Kmax (n) < 6,6V(n) > 2,56

Оба неравенства выполняются, гипотеза о случайности отклонений уровней ряда динамики от тренда в виде прямой yt = 32,37 +1,16t не отвергается.

1. Произведем оценку случайности отклонений эмпирическихзначений числа зарегистрированных разбоев в РФ от теоретических, полученных по уравнению параболы второго порядка:

yt = a0 + a1 ×t + a2 ×t2

Для нахождения неизвестных параметров используем метод наименьших квадратов. Параметры данного уравнения определим из следующей системы:

Промежуточные вычисления приведены в таблице 2.17.

57

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Преобразуя исходную систему, получаем:

Подставив в данную систему вычисленные значения, получим следующие значения параметров уравнения параболы.

Полученное уравнение параболы второго порядка выглядит следующим образом: yt = 112,26 +1,16×t − 2,42×t2

Рассчитаем отклонения εt эмпирических значений признака от выровненных по

тренду (таблица 2.18, гр. 4).

Проранжируем полученные отклонения в порядке убывания (графа 5). Определим медиану отклонений εmed : εmed = (−15,56 − 23,26)/ 2 = −19,41.

Сравним значения отклонений εt с εmed :

—если εt > εmed , то ставим «+»;

—если εt < εmed , то «-».

Получили ряд плюсов и минусов (графа 6). Отразим результаты в таблице.

Таблица 2.18

Расчетная таблица для определения критерия серий, основанного на медиане выборки

58

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

Выдвигается гипотеза H0: если отклонения от тренда случайны, то и их чередование должно быть случайным.

Для проверки выдвинутой гипотезы определим:

—длину наибольшей серии Kmax (n) = 5;

—число серий V(n)=3;

—n=10.

Гипотеза не отвергается, если справедлива следующая система неравенств.

Оба неравенства выполняются, следовательно гипотеза о случайности отклонений уровней ряда динамики числа зарегистрированных разбоев от тренда в виде параболы

yt = 112,26 +1,16×t − 2,42×t2 не отвергается.

Пример. Произведем оценку случайности отклонений эмпирических значений объема платных услуг населению от теоретических, полученных на основе трендовых моделей, рассчитанных в таблице.

Промежуточные расчеты приведены в таблице 2.19.

Таблица 2.19.

Расчетная таблица для определения параметров критерия серий, основанного на медиане выборки, для моделей линейного тренда и параболы второго порядка, описывающих тенденцию в изменении объема платных услуг населению РФ

59

РАЗДЕЛ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ

1. Произведем оценку случайности отклонений эмпирических значений объема платныхуслуг населению от теоретических, полученных на основе линейного тренда:

Оба приведенных неравенства выполняются одновременно, следовательно гипотеза о случайности отклонений эмпирических уровней ряда динамики объема платных услуг населению от теоретических, полученных по уравнению линейного тренда не отвергается.

2. Произведем оценку случайности отклонений эмпирическихзначений объема платных услуг населению от теоретических, полученных на основе параболы второго порядка:

Вывод аналогичен, то есть оба приведенных неравенства выполняются одновременно, следовательно гипотеза о случайности отклонений эмпирических уровней ряда динамики объема платных услуг населению от теоретических, полученных по уравнению параболы второго порядка не отвергается.

Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий.

Этапы реализации метода:

•Определяется kmax(n) — длина наибольшей серии.

•Определяется V(n) — общее число серий.

60