Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

Математическая физика

Файл:

[ Зверев ] Дополнительные главы матфизики (лекции Дмитриевой и Суханова)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.08.2013

Размер:

387.87 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Теперь подставим сюда наше новое ядро L(x, t):

ϕ(x) = λ0 Z

K(x, t)ϕ(t)dt − λ0 j=1

ϕ(t)dt

χj(x)

ϕj(t)

(51)

Умножим уравнение (51) на

χk(x)dx.

b ϕ(x)χk(x)dx =

b λ0

K(x, t)χk(x)dx ϕ(t)dt

ϕ(t)dt

χk(x)dx

−

λ0

ϕj(t)

χj(x)

j=1 Z

X a

Теперь учт¼м две вещи: (i)первое слагаемое в правой части можно записать так:

ированность системы решений для союзного уравнения:

χk(x)ϕ(x)dx; (ii) ортонорм-

χj(x)χk(x)dx = δjk. Тогда

ϕ(x)χk(x)dx = Za

ϕ(x)χk(x)dx − λ0 Za

ϕ(x)dx

ϕk(x)

Теперь всем видно, что два члена этого уравнения сокращаются, и в силу λ0 6= 0 мы имеем

ϕ(x)dx = 0

ϕk(x)

(52)

После этого, смотрим на формулу (51) и пишем

ϕ(x) = λ0

K(x, t)ϕ(t)dt

(53)

Таким образом, всякое решение уравнения (51)(с ядром

L(x, t)) удовлетворяет и однородному уравнению (53),

тогда ϕ(x) можно записать как линейную комбинацию:

ϕj(x)

ϕ(x) =

(54)

Покажем, что cj = 0. Умножим (55) на

ϕk(x)dx:

Z ϕ(x)ϕk(x)dx =

cj Z ϕj(x)ϕk(x)dx

j=1

Используя (52) и ортонормированность ϕ, имеем cj = 0. Тогда ϕ(x) ≡ 0 уравнение (51) имеет только нулевое
решение, т.е. λ0 не есть характеристическое значение для уравнения с ядром L(x, t).
Так, едем дальше. Покажем, что союзное для (51) уравнение
	Za	b
χ(x) = λ0		L(t, x)χ(t)dt	(55)
имеет ненулевое решение. Для этого надо расписать (55), подставляя в него выражение для ядра			L(t, x), затем

подставить χ(x) = χk(x) ïðè k > m и учесть ортонормированность χ. После всех этих процедур, каторые вы, наверное, уже сделали сами, мы получим:

χk(x) = λ K(x, t)χk(t)dt

Откуда видно, что χ(x) = χk(x) ïðè k > m удовлетворяет уравнению (55).

И мы наконец-то получили противоречие с теоремой из параграфа 4.4: уравнение (51) имеет только нулевое решение, а союзное для него уравнение (55) имеет ненулевые решения.

Случай n < m доказывается аналогично. Тогда Докаательство закончено.

Теорема 4.

Пусть λ0 характеристическое число уравнения тогда, когда

n = m.

ϕ = f +λKϕ. Тогда это уравнение разрешимо тогда и только

			Z
			f(t)χk	(t)dt = 0,			(56)
			0
			a
ãäå χ	k	(t) собственные функции союзного уравнения χ			k	˜	k
ãäå χ		(t) собственные функции союзного уравнения χ				= λ Kχ	0уравнения:.
Условие0			(56) может быть также записано и для сопряженного0 0				0уравнения:.

f(t)ψ0k(t)dt = 0,

ãäå ψk(t) собственные функции сопряженного уравнения ψk = λ0K ψk Доказательство0 теоремы 4. 0 0 .

Мы докажем только достаточность. Введ¼м вспомоготельное ядро:

L(x, t) = K(x, t) − ϕj(t) · χj(x)

j=1

ãäå ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕm(x) собственные функции оператора K, соответствующие характеристическому числу

χ (x), χ (x), . . . , χ (x) собственные функции оператора K, соответствующие характеристическому числу Составим1 уравнение2 сmядром

L(x, t):

λ0; λ0.

	Za	b
ϕ(x) = f(x) + λ0	Za	L(x, t)ϕ(t)dt	(57)

Подставим в уравнение (57) выражение для ядра L(x, t):

ϕ(x) = f(x) + λ0	b	K(x, t)ϕ(t)dt − λ0		χj(x) Z	b
ϕ(x) = f(x) + λ0	Z	K(x, t)ϕ(t)dt − λ0	m	χj(x) Z	ϕj(t)ϕ(t)dt	(58)
			X

Умножим это выражение на b

χk(x)dx:

ϕ(x)χk(x)dx = f(x)χk(x)dx + λ0

j=1 a

b	b	K(x, t)χk(x)dx − λ0		b		b
Z	ϕ(t)dt Z	K(x, t)χk(x)dx − λ0	m	Z	χj(x)χk(x)dx Z ϕj(t)ϕ(t)dt
			X

a a a a j=1 a a

Ó÷ò¼ì òðè âåùè: (i) b	b										b
R	b										R
f(x)χk(x)dx = 0 по условию (56); (ii) второе слагаемое в правой части равно λ0 χk(x)ϕ(x);
a											a
	R
(iii) ортонормированность χ:	R	χj(x)χk(x)dx = δjk. Тогда
(iii) ортонормированность χ:		χj(x)χk(x)dx = δjk. Тогда
	a
		b		b					b
	Za		ϕ(x)χk(x)dx = Za		ϕ(x)χk(x)dx − λ0 Za						ϕ(t)dt
	Za		ϕ(x)χk(x)dx = Za		ϕ(x)χk(x)dx − λ0 Za					ϕj(t)	ϕ(t)dt
Учитывая, что λ0 6= 0, имеем				b
				λ0 Za			ϕ(t)dt = 0
				λ0 Za		ϕj(t)	ϕ(t)dt = 0
Подставим это в (58):				ϕ(x) = f(x) + λ0 Za				b
								b
Доказательство закончено.								K(x, t)ϕ(t)dt
Доказательство закончено.

5.2 Уравнения с вырожденным ядром. Обоснование теорем Фредгольма.

Определение. Ядро K(s, t) интегрального уравнения называется вырожденным, если его можно представить

в виде конечной суммы произведений двух функций, одна из которых зависит только от							t, а другая только от
s.
				n
		K(s, t) =		=1	aj(t)bj(s)		(59)
				=1
			Xj
Рассмотрим интегральное уравнение с вырожденным ядром:
ϕ(t) = f(t) + λ Z			b	n	aj(t)bj(s)ϕ(s)ds
ϕ(t) = f(t) + λ Z				n	aj(t)bj(s)ϕ(s)ds		(60)
				X
Введем обозначения:		a		j=1
Введем обозначения:		b			b
		b			b
xj := Za		bj(s)ϕ(s)ds,			fj := Za	bj(s)f(s)ds
Kij := Z	b
Kij := Z	bi(s)aj(s)ds,				K = {Kij}n×n матрица
a
Пусть a è b будут любые, но такие, чтобы все интегралы сходились. Тогда перепишем (60):
					n
	ϕ(t) = f(t) + λ aj(t)xj						(61)
					=1
					Xj
Домножим (61) на b
bi(t)dt:
a
R					n
		xi = fi + λ			Kijxj		(62)
					=1
				Xj

Это система линейных неоднородных алгебраических уравнений. В матричном виде е¼ можно записать следующим образом:

~	(63)
(I − λK)~x = f,

ãäå ~x = (x1, x2, . . . , xn), f = (f1, f2, . . . , fn), что эквивалентно формуле ϕ = f + λKϕ.

Если нам известно ~x, то решение уравнения Фредгольма (60) восстанавливается однозначно по формуле (61).

Все вопросы о существовании и единственности перекладываются на систему алгебраических уравнений (63). В традиционной записи

	Нашу систему можно записать так:	(A − µI)~x = ~g, µ = 1/λ
	Нашу систему можно записать так:	~
		~
		M~x = f
	Рассмотрим полином7 степени не выше n
		D(λ) = det(I − λK),

который может иметь не более, чем n корней в комплексной плоскости.
Утверждение. Корни полинома D(λ) являются характеристическими числами уравнения Фредгольма с
вырожденным ядром (60).
Доказательство.
Пусть существует такое λ0, ÷òî D(λ0) = 0, тогда существует нетривиальное решение однородной системы
(I − λ0K)~x0 = 0
Тогда ϕ0(t) 6= 0, а это есть решение однородного уравнения
ϕ0 = λ0Kϕ0
Причем ϕ0(t) ищется из формулы
n
ϕ0(t) = λ0	aj(t)xj
=1
Xj

Таким образом λ Доказательство0 являетсязаконченохарактеристическим. числом уравнения Фредгольма с вырожденным ядром.

7Вспомните знаменатель Фредгольма из параграфа 4.1

5.2.1 Комментарии к теоремам Фредгольма. Теорема 1.

Уравнение Фредгольма на любом компакте по λ имеет не более конечного числа характеристических чисел, которые могут накапливаться на бесконечности.

Эта теорема становится очевидной после рассмотренного выше утверждения (число характеристических чисел может быть не больше n).

Теорема 2. Альтернатива Фредгольма.

Либо неоднородное уравнение разрешимо при любой неоднородности f(x)(это решение единственно), либо соответствующее однородное уравнение имеет нетривиальные решения (тогда неоднородное уравнение разрешимо

не при любой f(x)).

Рассмотрим подробнее эти два случая для уравнения с вырожденным ядром

(I − λK)~x ϕ = f + λKϕ

1. Åñëè λ0 характеристическое число, т.е. ~x0 :	(I − λK)~x0 = 0 (det(I − λ0K) 6= 0), то алгебраическое
~	~	и интегральное уравнение разрешимо не при любом
уравнение (I −λK)~x = f разрешимо не при любом f

f(t).

2. Åñëè λ0 не характеристическое число, т.е. существует только тривиальное решение (det(I − λ0K) = 0), то алгебраическое и интегральное уравнение разрешимо при любом f(t).

	Теорема 3.
	Однородное уравнение ϕ = λ0Kϕ и сопряженное с ним уравнение ψ = λ0K ψ имеют одинаковое число
	линейно независимых решений, т.е. размерности их пространств совпадают.
	Прежде всего, нам надо более подробно рассмотреть сопряженное уравнение с вырожденным ядром.
	Исходное уравнение:	b
	ϕ(t) = f(t) + λ Za
		K(s, t)ϕ(t)dt ϕ = f + λKϕ

Сопряженное к нему уравнение:

¯ ¯

ψ(t) = h(t) + λ K (s, t)ψ(t)dt ψ = h + λK ψ

Введем для этого уравнения обозначения, как мы это делали в начале параграфа:

K (s, t) =

bj(t)

aj(s)

yj := Za

ψ(s)ds,

hj := Za

h(s)ds

aj(s)

Kij := Z

= Kij

n×n , Kij

bi(s)

aj(s)

ds, K

Тогда систему линейных неоднородных алгебраических уравнений для решения сопряженного уравнения с

вырожденным ядром можно записать так:

λK )~y = ~h

−

Решение сопряженного уравнения после нахождения

~y восстанавливается однозначно по формуле

ψ(t) = h(t) +

bj(t)

Теперь рассматриваем саму теорему 3. Итак, имеем два однородных уравнения:

ϕ = λ0Kϕ,

ψ =

K ψ

λ0

(64)

Как мы только что показали, для их решения используются однородные системы:

λK)~x = 0,

(65)

−

λK )~y = 0

Замечание. Нам понадобится такая теорема: если определитель системы равен нулю, то однородная система A~x = 0 и сопряженная A ~y = 0 имеют каждая p = n − r линейно независимых решений, где n × n размерность

матрицы A, r ранг матрицы (наименьшая размерность минора, не равного нулю). p здесь можно обозвать
геометрической кратностью (размерность пространства решений однородной системы). По-модному эту теорему
можно написать так: dim ker(A) = dim ker(A ). Тогда надо знать такое определение: ker(A) = ~x		X : A~x = 0		}
ядро оператора.	{
Тогда обе системы (65) имеют одинаковое число линейно независимых вектор-решений	nx1(l), x2(l), . . . , xn(l)o		è

no, ãäå

y1(l), y2(l), . . . , yn(l)	l = 1, 2, . . . , p. Значит и однородные уравнения (64) имеют одинаковое число линейно
независимых решений.

Теорема 4.

Пусть λ0 характеристическое число уравнения ϕ = f + λKϕ с вырожденным ядром. Тогда это уравнение
разрешимо тогда и только тогда, когда
Za	b
	f(t)		(t)dt = 0,
		ψ0		(66)
ãäå ψ0(t) собственные функции сопряженного уравнения ψ0 =					K ψ0.
				λ0
Замечание. В курсе линейной алгебры рассматривалась система				A~x = ~y, доказывалось, что im(A) = ker(A ),

ãäå im(A) = {~y Y : A~x = ~y} образ оператора. Затем утверждалось, что для того, чтобы система A~x = ~y áûëà

разрешима необходимо и достаточно, чтобы вектор ~y	ker(A ). Это также равносильно тому, что (~y, ~z) = 0, ãäå
~z решение системы A ~z = 0.

Пусть λ0 характеристическое число. Рассмотрим системы
(I − λ0K)~x = f,~	(I −		K )~y = 0
		λ0

Тогда

− − ~

im(I λK) = ker(I λK ), è (f, ~y) = 0

Распишем подробнее (f, ~y).

(f, ~y) =

nn Zb

fj	yj	=	bj(t)f(t)dtyj
j=1			j=1 a

Вспомним, что решение однородного сопряженного уравнения с вырожденным ядром да¼тся формулой:

	n	n	1

	Xj	X


ψ0(t) = λ bj(t)yj		= yjbj(t) = λψ0(t)
=1		j=1

Тогда		b
				f(t)ψ0(t)dt = 0
(f,~ ~y) = λ Za
Z	1
	b
	f(t)				(t)dt = 0
			ψ0
a
Здесь мы в отличие от параграфа 5.1 доказали только необходимость.
Замечание. Выражение (66) представляет собой скалярное произведение, которое в L2 определяется так:
(f, g) = Za				b
					f(t)		dt.
						g(t)

Свойства скалярного произведения:

1.	(f, f) = 0 f ≡ 0;
2.	(f, g) =	(g, f)	;

n будет называться

(67)

3. (cf, g) = c(f, g); 4. (f, cg) = c(f, g);

5. (f + h, g) = (f, h) + (h, g);

Упражнения.

Решить интегральные уравнения с вырожденным ядром.

π/2

1. ϕ(t) − 4 R sin2 t · ϕ(s)ds = 2t − π;

2. ϕ(t) − λ R (t ln s − s ln t)ϕ(s)ds = 65 (1 − 4t);

3. ϕ(t) − λ sin(t − s)ϕ(s)ds = cos t.

Найти характеристические числа и собственные функции.

1. ϕ(t) − λ R (cos2 t cos 2s + cos 3t cos3 s)ϕ(s)ds = 0;

2. ϕ(t) − λ (3t − 2)sϕ(s)ds = 0;

3. ϕ(t) − λ R (5ts3 + 4t2s)ϕ(s)ds = 0.

−1

5.3Конечномерные и компактные операторы. Примеры компактных интегральных операторов.

Определение. Пусть существует два линейно независимых набора

{µk}nk=1 , {γk}nk=1 ,

принадлежащих евклидовому пространству E. Тогда конечномерным оператором ранга оператор T , действующий по правилу

T ϕ = (ϕ, γk)µk

k=1

Оператор T называется конечномерным, т.к. размерность его линейной оболочки dim im T = n, ãäå im T =

Z(µ1, µ2, . . . , µn) линейная оболочка. Векторное пространство со скалярным произведением называется евкли-
довым векторным пространством.
Пример. Примером конечномерного оператора может служить интегральный оператор с вырожденным
ÿäðîì èç ïàраграфа 5.2.	b
Z	b	n	n
Z		n	n
		X	X
Kϕ(t) =			ai(t)bi(s)ϕ(s)ds = (ϕ,	bi	)ai
a		i=1	i=1

Утверждение 1. Конечномерный оператор ограничен. Доказательство.

kT ϕk =	n	n		n	n	!
kT ϕk =	X(ϕ, γk)µk		≤ X	\|(ϕ, γk) kµkk ≤ X kϕk kµkk kγkk =	X kµkk kγkk kϕk

k=1

Теперь надо вспомнить определение ограниченного оператора из параграфа 3.3. Доказательство закончено.

Определение. Оператор K называется компактным, åñëè

ε > 0 T : kK − T k < ε,

ãäå T конечномерный оператор.
Компактный оператор может быть представлен в виде:
K = T + Kε, ãäå kKεk < ε	(68)

действующий из L2[a, b] â L2[a, b], ò.å. ϕ(t) L2[a, b] è K(t, s) L2([a, b] × [a, b]).	b
	R
Пример. Примером компактного оператора может служить оператор Фредгольма Kϕ(t) =	K(t, s)ϕ(s)ds,
	a

Далее нам читался небольшой рассказ про то, что интеграл Римана это хорошо,а интеграл Лебега это ещ¼ лучше! Но мне кажется, что про интеграл Лебега на экзамене лучше даже не заикаться (не говори того, чего не знаешь), поэтому я про него писать не буду. Также на экзамене вас могут в этом месте спросить про про-

странство L2, про которое знать надо обязательно, поэтому прочитайте сейчас приложение.

Утверждение 2. K : L2[a, b] −→ L2[a, b]

Доказательство.

Рассмотрим v(t) ≡ Kϕ(t) = K(t, s)ϕ(s)ds. Этот интеграл определ¼н, т.к. ядро из L2.

Оценка для v(t):

kvk = kKϕk ≤ kKk · kϕk ≤ B kϕk

Z Z

|K(t, s)|2dtds = B2 < ∞

По теореме Фубини это означает, что

b b

B2 = dt |K(t, s)|2ds

	b
При фиксированном t функция	\|K(t, s)\|2ds принадлежит L2 данное действие является определенным
выполняется утверждение.	R
	a
Доказательство закончено.
Из этого утверждения можно сделать вывод, что оператор K ограничен8.
Утверждение 3. Оператор Фредгольма с ядром из			L2
Фредгольма с непрерывным ядром является			L2
		компактным. является компактным. В частности любой оператор

Доказательство.

Рассмотрим интервал [a, b] = [−π, π]. Тогда ядро оператора Фредгольма можно представить в виде ряда
Фурье:
	∞
K(t, s) =	X
K(t, s) =	Kmneimteins	(69)

m,n=−∞

Этот ряд сходится в среднем (по норме L2[Q]), причем

Kmn = dt K(t, s)e−imte−insdtds

Обрежем ряд (69), для этого рассмотрим конечную сумму:

T (t, s) =					X−	Kmneimteins			(70)
T (t, s) =						Kmneimteins			(70)
				m,n= N
Таким образом, у нас есть два оператора	T	è	K		, которым отвечвют ядра (69) и (70).		T (t, s)	сходится в	L2 êàê
è	T		K				T (t, s)		L2 êàê

K(t, s), тогда

Z Z

ε > 0 N(ε) : |K(t, s) − T (t, s)|2dtds < ε,

ò.å. kK(t, s) − T (t, s)kL2 < ε. Из этого следует, что kK − T kL2 < ε

T конечномерный оператор, т.к. ядро T (t, s) вырождено. Тогда из определения компактного оператора

ε > 0 T : kK − T k < ε

мы можем заключить, что K компактный оператор. Доказательство закончено.

8Вообще говоря, всякий компактный оператор ограничен.

K = K , причем (ϕ, Kψ) = (Kϕ, ψ).

5.4Сведение интегральных уравнения с компактным оператором к уравнению с конечномерным оператором. Теоремы Фредгольма для произвольных компактных ядер.

Рассматривается неоднородное интегральное уравнение Фредгольма с компактным оператором:

ϕ = f + λKϕ		(71)
Из параграфа 5.3 мы знаем, что компактный оператор может быть представлен в виде:
K = T + Kε,	kKεk < ε,	(72)
ãäå T конечномерный оператор. Подставим (72) в (71):
ϕ = λ(T + Kε)ϕ + f
(I − λKε)ϕ = λT ϕ + f		(73)

Будем рассмативать только такие λ, ÷òî |λ| ≤ k 1 k, ò.å |λ|·kKεk ≤ 1. Используя в наших рассуждениях оператор

Kε

(I − λKε)−1, нам надо помнить, что он существует, когда |λ| · kKεk ≤ 1, а норма k(I − λKε)k ≤ (1 − |λ| · kKεk)−1. Применим этот оператор к уравнению (73):

ϕ = λ(I − λKε)−1T ϕ + (I − λKε)−1f								(74)
Теперь делаем такой фокус:			)−1f = g,	(I			) = I + λRε
(I	−	λK	)−1f = g,	(I	−	λK	) = I + λRε	,
	−	ε			−	ε	λ
ãäå Rλε резольвента для Kε. Тогда продолжаем (74):
		ϕ = λT ϕ + λ2Rε T ϕ + g						(75)
				λ

Докажем, что Rε T конечномерный оператор.
	λ		(t, s, λ), при этом ядро резольвенты Rε(t, s, λ), а ядро оператора T
Ядро этого оператора обозначим Bε
n		λ
n
T (t, s) =	aj(t)bj(s), т.к. ядро конечномерного оператора может быть представлено как вырожденное.
=1
jP
Ядро композиции операторов является св¼рткой ядер этих операторов:
	Bλε(t, s, λ) = Z	b	n		b	n
			n			n
		Rε(t, s, λ)T (τ, s)dτ = j=1 bj(s) Z			Rε(t, τ, λ)aj(τ)dτ = j=1 bj(s)cj(t),
	a		X	a		X
	b
ãäå cj(t) =	Rε(t, τ, λ)aj(τ)dτ. Таким образом, Bλε(t, s, λ) является вырожденным = оператор Rλε T конечном-
ерный.	a
ерный.	R
Теперь, возвращаясь к уравнению (75), окончательно получаем:
			ϕ = λ(T ϕ + λRε T ϕ) + g,				(76)
				λ

где в скобках стоит конечномерный оператор.

Отвечая на этот вопрос на экзамене, надо в заключение сформулировать теремы Фредгольма из параграфа 5.2 и сказать, что они верны и для произвольных компактных ядер.

6 Самосопряженные интегральные уравнения.

6.1Свойства характеристических чисел и собственных функций самосопряженного интегрального уравнения.

Вспомним то, о чем мы говорили в начале параграфа 4.4. Самосопряженное уравнение записывается так:

ϕ = f + λKϕ,

åñëè

Определение. Если K (x, t) = K(x, t) K(t, x) = K(x, t), то ядро называется самосопряженным.

Теорема 1. Пусть A компактный самосопряженный оператор, действующий в гильбертовом пространстве H. Тогда у такого оператора существует хотя бы одно собственное число.

Ax = µx, |µ| = kAk

Без доказательства.

Следствие. Если существует интегральное уравнение Фредгольма с компактным самосопряженным ядром, то у него всегда найдется хотя бы одно характеристическое число.

ϕ = λKϕ, |λ| = kKk

Теорема 2. Характеристические числа самосопряженного оператора вещественны. Доказательство.

Пусть λ0 характеристическое число уравнения ϕ0 = λ0Kϕ0, тогда рассмотрим скалярное произведение

(ϕ0, ϕ0) = (ϕ0, λ0Kϕ0) = λ0(ϕ0, Kϕ0) = λ0(Kϕ0, ϕ0) = λ0	λ0 , ϕ0		=	λ0 (ϕ0, ϕ0)
		ϕ0		λ0

Это может быть только, если λ = λ λ Доказательство закончено. 0 0 0 вещественное.

Òàê êàê λ вещественные, то их можно пронумеровать.

|λ1| ≤ |λ2| ≤ . . . ≤ |λn|

↓	↓	↓
ϕ1	ϕ2	. . . ϕn

Теорема 3. Собственные функции, отвечающие разным характеристическим числам ортогональны. Доказательство.

Пусть ϕi = λiKϕi ϕj = λjKϕj λi 6= λj. Тогда

(ϕi, ϕj) = (ϕi, λjKϕj) = λj(Kϕi, ϕj) = λj (ϕi, ϕj) λi

Значит (ϕi, ϕj) = 0. Доказательство закончено.

Åñëè λ не простые, то ϕ могут быть не ортогональны, тогда необходима ортогонолизация.

6.1.1 Ортогонализация по Шмидту.

Цель ортогонолизации: из линейно независимой системы {ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn} построить ортонормированную

{e1, e2, . . . , en}.

1.	Рассмотрим ϕ1		h1
	h1 = ϕ1, e1 =		h1
	h1 = ϕ1, e1 =		kh1k
			kh1k
2.	Рассмотрим ϕ2			h2
	h2 = ϕ2 − (ϕ2, e1)e1, e2 =			h2
	h2 = ϕ2 − (ϕ2, e1)e1, e2 =			kh2k
	Ïðè÷¼ì h2 e1
3.	Рассмотрим ϕ3				h3
	h3 = ϕ3 − (ϕ3, e2)e2 − (ϕ3, e1)e1, e3 =				h3
	h3 = ϕ3 − (ϕ3, e2)e2 − (ϕ3, e1)e1, e3 =				kh3k
	Ïðè÷¼ì h3 e2, è h3 e1
4.	Рассмотрим ϕn					hn
	hn = ϕn − (ϕn, en−1)en−1 − . . . −	(ϕn, e1)e1, en =				hn
	hn = ϕn − (ϕn, en−1)en−1 − . . . −	(ϕn, e1)e1, en =				khnk

Таким образом, мы получили ортонормированную систему {e1, e2, . . . , en}.

6.2 Билинейное разложение для самосопряженных ядер.

Утверждение 1. Билинейное разложение. Пусть существует единственное характеристическое число λ1: ϕ1 = λ1Kϕ1, причем kϕ1k = 1. Тогда самосопряженное ядро может быть представлено в виде:

K(t, s) =	1	ϕ1(t)
			ϕ1(s)	(77)

	λ1

Доказательство.

Рассмотрим такое самосопряженное ядро:

K(t, s) = K(t, s) −

ϕ1

(t)ϕ1(s)

λ1

Пусть ϕ это собственные функции оператора K, ò.å.

ϕ = λKϕ

Подставим ядро K(t, s):

K(t, s)ϕ(s)ds − λ1

ϕ1(s)ϕ(s)ds

(78)

ϕ(t) = λ Za

ϕ1(t) Za

Домножим это выражение на b

ϕ1(t)dt.

(ϕ, ϕ1) = λ(Kϕ, ϕ1) −

kϕ1k2 (ϕ, ϕ1) =

(ϕ, ϕ1) −

(ϕ, ϕ1) = 0

λ1

(ϕ, ϕ1) = Za

ϕ(s)ds = 0

ϕ1(s)

Подставим это в (78):

ϕ(t) = λ Z

K(t, s)ϕ(s)ds

ϕ = λKϕ

Таким образом, ϕ является также собственной функцией оператора K, у которого есть одна собственная функция, отвечающая характеристическому числу λ1, тогда

ϕ(t) = Cϕ1(t)

Но, с другой стороны, эти собственные функции ортогональны: (ϕ, ϕ1) = 0. Тогда ϕ ≡ 0. Это означает, что у

оператора K нет характеристических чисел. Однако, K является самосопряженным компактным оператором, т.е. у него по теореме 1 из параграфа 6.1 должно быть хотя бы одно собственное число. Мы пришли к противоречию. Чтобы его избежать ядро K(t, s) = 0 билинейное разложение.

Доказательство закончено.

Утверждение 2. Пусть

λ1, λ2

. . . , λn конечное число характеристических чисел. Пусть им соответствуют

собственные функции

ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn. Тогда самосопряженное ядро может быть представлено в виде:

K(t, s) =

ϕk(t)

ϕk(s)

(79)

k=1

λk

Доказательство.

Рассмотрим такое самосопряженное ядро:

K(t, s) = K(t, s) − k=1

λk

ϕk(t)

ϕk(s)

Пусть существует нетривиальная собственная функция, отвечающая оператору

ϕ 6= 0 :

ϕ = λKϕ

Тогда подставим ядро K(t, s):

ϕ(t) = λ Z	b	m λ

		K(t, s)ϕ(s)ds − k=1		ϕk(t)
			λk
a		X

Домножим это выражение на b

ϕj(t)dt.

ϕk(s)ϕ(s)ds

(80)

m	λ
X
(ϕ, ϕj) = λ(Kϕ, ϕj) − k=1	λk	(ϕk, ϕj)(ϕ, ϕk)	(81)

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математическая физика

#
22.08.2013658 Кб145[ Грикуров, Аленицын ] Обобщённые функции в матфизике.pdf
#
22.08.2013387.87 Кб38[ Дмитриева, Суханов ] Дополнительные главы матфизики.pdf
#
22.08.2013387.87 Кб35[ Зверев ] Дополнительные главы матфизики (лекции Дмитриевой и Суханова).pdf
#
22.08.2013611.71 Кб60[ Лялинов, Пожарский ] Методы математической физики в основном потоке в 5 семестре и система письменного экзамена.pdf
#
22.08.20131.41 Mб64[ Лялинов, Пожарский ] Методы математической физики. Программа упражнений, 5 семестр, основной поток.pdf
#
22.08.2013799.62 Кб147[Аленицын, Благовещенский] Задачник (5 сем).pdf
#
22.08.201316.26 Mб12Матфизика (6 сем) - Суханов.djvu