[ Буслов, Яковлев ] Введение в численный анализ

Отнош ни N (z) = QN =PN н ы тся N-ой и он льной ппроксим ци й П ря f. сно, что N (f(1=z); z) =

N (f(z); 1=z).

Åñëè ëÿ ëþ îé N-îé ï ðû Ï degQN = N, то ин кс N н ы ют норм льным ( ля ря f). Мно ст о нор- м льных ин ксо о о н чим (f). Уст но им т рмин нтный крит рий норм льности. Пусть H0 = 1 è

Äîê ò ëüñò î. Èí êñ N = 0 ñ íîðì ë í (HN = 1). При N > 0 пиш м я ном и сист му лин йных ур н ний ля опр л ния коэффици нто qk ìíî î÷ë í QN . Пусть QN (z) = qkzk , то усло ия р нст нулю коэффици нто при ст п нях (1=z)n, n = 1; 2; : : : ; N приним ют и

deg N = N .

Сл ующ ут р ни полностью описы т структуру посл о т льности и он льных ппроксим ций П

сно, что r N (поскольку ин кс r норм л н), прич м (P; Q) т к и N- я п р , и, сл о т льно, N = J . Ç ì òèì, ÷òî í ì í ò ëü Ï QN (z) ìî íî ïèñ òü è îïð ëèò ëÿ

При этом сли сущ ст у т т к я о л сть F R и кон чн я м р (н помним, что м р сть сч тно ити н я н отриц т льн я функция мно ст , кон чность м ры о н ч т что н ч ни н с м мно ст F , он опр -л н , кон чно: (F ) < 1) , что личины fk ïð ñò ëÿþò ñî îé ìîì íòû, òî ñòü fk = R xkd (x), k = 0; 1 : : : , òî

F

ìíî î÷ë íû QN я ляются орто он льными с м рой :

По ро н о орто он льных полином х см. л "Числ нно инт риро ни ". С м ч о н хо нии м рыпо нной посл о т льности чис л fk н ы тся про л мой мом нто . В исимости от о л сти инт риро ния

Fû ëÿþò 3 êë ññè÷ ñêèõ ñëó÷ ÿ:

1)F = R ïðî ë ì ìîì íòî Ã ì óð ð ;

2)F = [0; 1) про л м мом нто Стильть с ;

3)F = [0; 1] ïðî ë ì ìîì íòî Õ óñ îðô .

Îòì òèì êëþ÷ íè , ÷òî ñëè ÷èñë ffkg10 я ляются мом нт ми н которой м ры то с опр лит ли Х нк ля Hn ольш нуля. Если посл о т льность ffkg10 ò êî , ÷òî ñ Hn > 0 , òî ïðî ë ì ìîì íòî à ì óð ð ð ð øèì .

32

Ãë 3

×èñë ííî èôô p íöèpî íè

Ест ст нным спосо ом при ли нно о ифф р нциро ния я ля тся ифф р нциро ни н с мой функции, ин- т рполяционно о полином или спл йн постро нно о по т личным н ч ниям, мо но т к ифф р нциро тьппроксим ции П и оо щ прои ольны ппроксим ции функции, прои о ны от которой мы хотим опр лить. Вопрос лишь том, к ко ы тр ты и к ко точность т ко о ифф р нциро ния.

3.1Дифф р нциро ни инт рполяционно о полином

С мым простым спосо ом при ли нно о ифф р нциро ния функции я ля тся ифф р нциро ни инт рполяционно о полином , постро нно о по н которой с тк н ч ний, который у о но пр ст ить форм Ньютон

то сть, к о ифф р нциро ни н о ин поря ок сни т точность. Если (1) ост ить только п р ый чл н, то

33

к кой точк он ппроксимиру т точн с о. т точк опр ля тся усло и м р нст нулю п р о о от рош нно о

x0; x1; : : : ; xn . В этой точк поря ок точности при ли нной прои о ной n- о поря к н иницу ыш и р н O(h2) . Если (1) ост ить п р ых чл н , то поря ок точности т кой формулы при ли нно о ифф р нциро ния

j>iP0

точность у т н поря ок ыш . Ан ло ично, k-чл нн я формул им т поря ок точности O(hk) , точки по ыш нной

точности сть корни ур н ния k- о поря к . Р ш ть т ко ур н ни ря ли ц л соо р но, о н ко, к к н тру ном тить, сли точк x т ко , что у лы x0; x1; : : : xn+k 1 р споло ны относит льно н ¼ симм трично и k н ч тно, то эт точк я ля тся точкой по ыш нной точности. Р ум тся ля прои ольной с тки, т ко усло и , к к пр ило, н р ли у тся. О н ко т к я точк омо сущ ст у т (при прои ольном k ), сли ш с тки постоянный и н хо ится он пос р ин м у кр йними у л ми: x = (x0 + xn+k 1)=2 .

3.2Кон чны p ности

Ест ст нным спосо ом опис ния при ли нно о ифф р нциро ния н ря у с р л нными р ностями я ля тся исполь о ни кон чных р ност й.

è ò ê ë .

34

З м тим, что эти с ойст н ло ичны соот тст ующим с ойст м р л нных р ност й: p01:::N = const , = 0 . Ук нно схо ст о р л нных и кон чных р ност й н о р ничи тся этим. Пусть ш h по-

стояный, о о н чим k = khh : : : h, òî

( сяких ычисл ний!).

Ит к н оп p тоp йст ующий н функцию f(x) по пр илу f(x) f(x+h) f(x) . Отм тим льн йши с ойст кон чных р ност й:

1)Лин йность: ( f + g) = f + g ;

2)k( lf) = k+lf = l( kf);

3)Ñ ÿ ü ñ ïpîè î íîé: dxd = 1x ln(1 + ) :

Посл н р нст о форм льно и поним ть о ну но сл ующ м смысл

f = expfh dxd gf f ;

по р ум тся, что f н литич ск я, т. ., ч стности, р скл ы тся ря Т йлор и со п т с ним н котором кру н компл ксной плоскости

Т ким о р ом оп р тор ифф р нциро ния мо но с лю ой ст п нью точности ппроксимиро ть кон чными р - ностями:

k

4) Выp ни посл о т льных н ч ний функции ч p кон чны p ности: f(x+kh) = P Cks sf(x).

s=0

Äîê ò ëüñò î: Ä éñò èò ëüíî

f(x + h) = f(x) + f(x) = (1 + )f(x) ;

35

f(x + 2h) = (1 + )f(x + h) = (1 + )2f(x) ;

: : : ;

f(x + kh) = (1 + )kf(x) ;

k

kf(x) = [(1 + ) 1]kf(x) = XCks(1 + )k s( 1)sf(x) =

s=0

k

= XCks( 1)sf(x + (k s)h);

s=0

или p списы я по pо но:

kf(x) = f(x + kh) Ck1f(x + (k 1)h) + Ck2f(x + (k 2)h)+

+: : : + ( 1)kf(x):

6)Ôîpìóë êîí ÷íûõ ïpèp ù íèé Ë p í :

kf(x) = ( x)kf(k)(x + k x) ;

0 < < 1 è f 2 Ck .

Äîê ò ëüñò î. Док т льст о мы у м про о ить по ин укции. Б ин укции f = xf0(x + x) им т м сто силу т оp мы Л p н о сp н м н ч нии пpои о ной (н помним, что ля ифф р нциру мой н отр к

36

3.2.1Îï ð òîð è î î ù íí ÿ ñò ï íü

Îïð ë íè . Î î ù ííîé ñò ï íüþ ÷èñë x í û òñÿ ûp íè

x[n] x(x h)(x 2h) : : : (x (n 1)h) ; x[0] 1:

Ç ì òèì, ÷òî ñëè h = 0, òî x[n] = xn.

Ñ îéñò î. kx[n] = n(n 1) : : : (n (k 1))hkx[n k] :

Äîê ò ëüñò î.

x[n] = (x + h)[n] x[n] =

=(x + h)x(x h) : : : (x (n 2)h) x(x h) : : : (x (n 1)h) =

=x(x h) : : : (x (n 2)h)[x + h (x (n 1)h)] = nhx[n 1] ;

прим няя щ р , получ м

2x[n] = ( x[n]) = (nhx[n 1]) = nh(n 1)hx[n 2] = = n(n 1)h2x[n 2] ;

è ò ê ë .

Т ким о р ом йст и оп р тор н о о щ нную ст п нь н ло ично ифф p нциpо нию о ычных ст п н й:

dkxn = n(n 1) : : : (n (k 1))xn k(dx)k :

3.2.2Инт pполяционный мно очл н Ньютон ля p ноотстоящих у ло

Пусть точк х x0 ; x1 ; : : : ; xN : xi = x0 + ih, íû í ÷ íèÿ f0 ; f1 ; : : : ; fN . Р шим чу инт pполяции, то сть постpоим полином

Ç ì òèì, ÷òî ñ ìè óñëî èÿ (4) ìî íî ò ê ï p ïèñ òü è : kp(x)jx=x0 = kf0 : Ä éñò èò ëüíî è ñ îéñò 5) êîí ÷íûõ ð íîñò é

kp(x0) = p(x0 + kh) Ck1p(x0 + (k 1)h) + : : : + ( 1)kp(x0) = = fk Ck1fk 1 + : : : + f0 = kf0 :

Пpо pим, что постро нный полином p(x) йст ит льно у о л т оpя т усло иям инт pполяции: 1) p(x0) = f0 ; что сл у т и формы писи полином ;

37

Поскольку xk x0 = kh , òî

(xk x0)[m] = kh(kh h) : : : (kh (m 1)h) = hmk(k 1) : : : (k (m 1)) ;

è, ñë î ò ëüíî,

m=0

ïî ñ îéñò ó êîí ÷íûõ p íîñò é.

= q(q 1) : : : (q m + 1) :

38

Ãë 4

×èñë ííî èíò pèpî íè

4.1Í î ÿùè ñîî ð íèÿ

При при ли нном ычисл нии инт р ло и

b

I = Z f(x) (x)dx ;

a

f инт риру м я функция, с или со я функция со с ойст ми

1)2 C(a;b);

2)èíò ðèðó ì ÿ í [a; b];

3)> 0,

ст ст нно исполь о ть сл ующий при м.

39

н ы тся к р турной формулой. Ест ст нно, что ля то о что ы мо но ыло исполь о ть к р турную формулу н о хо имо ы р ть ч ыш скую сист му т ким о р ом, что ы с i к р турной формулы мо ли ыть сосчит ны я но. О ычно к ч ст т кой сист мы исполь уются полиномы.

З м ч ни . В принцип лю я пись и (4) (с прои ольными с ми i) я ля тся к р турной формулой, о н ко ц нность т кой формулы мо т и о с отсутст о ть, сли числ ( с ) i ы р ны н р умно. Кром то о,ополнит льной точности мо но о иться сч т эфф кти но о р споло ния у ло xi к р турной формулы.

Во ник т ст ст нный опрос: А что я ля тся м рой точности к р турной формулы, ь при инт риро нии р личных функций f по р шность RN (f; ) мо т ыть сущ ст нно р ной? В с я и с этим ст ст нно ы лить н который кл сс функций, н котором и про ря тся личин по р шности. Если к ч ст т ко о кл сс исполь у- ются полиномы, то о орят о л р ич ской точности к р турной формулы.

Îïð ë íè . Ал p ич ской ст п нью точности к p туpной фоpмулы н ы тся м ксим льно число M т ко , что при инт риро нии лю ых полиномо ст п ни н пр осхо ящ й M при ли нно р нст о (4) пр р - щ тся то ст о (т. . н я к (по р шность RN (f; )) к р турной формулы р н нулю сли f = pk полином ст п ни k M ).

З м тим, что сли к ч ст ч ыш ской сист мы исполь о ть полиномы, то при усло ии, что с i сосчит ны точно (по формул (3)), к р турн я формул (4) им т л р ич скую ст п нь точности M н ни N , посколькуля полиномо ст п ни о N н я к rN (x) то ст нно р н нулю, т к к к этом случ инт рполяционный полином просто со п т с f.

4.2К p туpны фоpмулы Ньютон -Êîò ñ

Пусть с 1 ; x0 = a ; xN = b : Исполь у м к ч ст ч ыш ской сист мы 'i(x) полиномы Л p н :

4.2.1Случ й p ноотстоящих у ло

Получим ыр ния ля со случ р ноотстоящих у ло . В этой ситу ции xk = x0 + kh ; k = 0; 1; : : : ; N ; è

Y(x xj) = (x x0)[i](x xi+1)[N i] ;

j6=i

ò ê