И.И. Романенко Линейные электрические цепи постоянного тока. Методические указания и контрольные

11

R2 = 2 Ом, R3 = 8 Ом, R4 = 2 Ом, R5 = 2 Ом, R6 = 6 Ом.

Определить: I1, I2, I3, I4, I5, I6.

Ориентирующая основа действия 1. Обозначить на схеме арабскими цифрами узлы, в которых

сходятся как минимум три ветви.

2.Проставить условное направление токов в каждой ветви (количество токов равно числу независимых ветвей).

3.Выбрать количество независимых контуров и указать в них направление обхода.

Направление обхода по контуру рекомендуется выбирать либо по часовой, либо против часовой стрелки. Независимый контур – это замкнутая часть разветвленной цепи, которая имеет хотя бы одну ветвь, не входящую в остальные контуры. Контуры следует обозначать римскими цифрами.

Решение

По I закону Кирхгофа составим систему уравнений из К-1

По правилу II закона Кирхгофа падение напряжения на участке цепи и ЭДС положительны, если направление тока и ЭДС совпадают с направлением обхода по контуру, отрицательны, если их направления не совпадают с направлением обхода по контуру.

При постановке исходных данных в уравнения, составленные по I и II законам Кирхгофа, получим систему независимых уравнений с постоянными коэффициентами:

12

Решая данную систему, определим токи I1, I2, I3, I4, I5, I6.

Задание № 2. Метод контурных токов

Методом контурных токов рассчитать токи I1, …, I6 (рис. 2.1).

Ориентирующая основа действия

1. Обозначить контурные токи: II, III, IIII.

2. Контурные токи численно равны соответствующим токам независимых ветвей

II = I2, III = I3, IIII = I5 (I1, I2, I5 - внешние токи).

3. Токи зависимых ветвей (внутренние) выразить через контурные

I1 = II - III, I4 = II – IIII, I6 = IIII – III (I1, I4, I6 - внутренние токи).

Если контурные токи направлены в этих ветвях встречно, то от контурного тока, совпадающего по направлению с внутренним током, необходимо вычесть контурный ток, направление которого встречно внутреннему. Если контурные токи в ветвях совпадают по направлению, тогда их необходимо складывать.

4.Если при расчете получим отрицательное значение тока, то необходимо изменить на схеме направление тока на противоположное (определяется не только величина, но и положительное направление тока, которое может не совпадать с предварительно выбранным условным направлением тока).

5.Проверить правильность расчета токов с помощью баланса мощностей, потенциальной диаграммы или уравнением для внешнего контура.

6.По методу контурных токов составить систему уравнений для независимых контуров.

13

I контура; R12 = R1 + r01 – взаимное сопротивление между I и II контурами; R13 = R4 – взаимное сопротивление между I и III контурами;

EI = E1 + E2 – суммарная ЭДС первого контура.

Правило знаков: собственное сопротивление всегда положительное; взаимное – отрицательное, если обход по контурам одинакового направления и положительное, если обход разного направления.

где R21 = R12 = R1 – взаимное сопротивление между II и I контурами; R22 = R1 + R3 + R6 + r01 – собственное сопротивление II контура; R23 = R6

– взаимное сопротивление между II и III контурами; EII = E3 – E1 – суммарная ЭДС II контура.

где R31 = R13 = R4 – взаимное сопротивление между III и I контурами; R32 = R23 = R6 – взаимное сопротивление между III и II контурами; R33 = R4 + R5 + R6 – собственное сопротивление III контура;

EIII = 0 – суммарная ЭДС III контура.

Решение 1. Определим собственные сопротивления

R11 = 5 + 2 + 2 + 0,9 + 1,2 = 11,1 Ом; R22 = 5 + 8 + 6 + 0,9 = 19,9 Ом;

R33 = 2 + 2 + 6 =10 Ом.

2. Определим взаимные сопротивления

R12 = R21 =5 Ом;

R13 = R31 = 2 Ом;

R23 = R32 = 6 Ом.

3. Определим суммарные ЭДС контуров

EI = 14 + 25 = 39 B;

EII = 28 – 14 = 14 B; EIII = 0.

4. Подставим значения сопротивлений и ЭДС в уравнения (2.7–

2.9)

15 где Рист – суммарная мощность источников

Pист = E1I1 + E2I2 + E3I3 = 279,366 BA;

Рпр – суммарная мощность приемников

Pпр = I12(R1+r01) + I22(R2+r02) + I32R3 + I42R4 + I52R5 + I62R6 = 279,36 Вт.

8. Рассчитаем и построим потенциальную диаграмму Расчет и построение потенциальной диаграммы необходимо

выполнить для контура, не вошедшего в систему уравнений, т.е. для внешнего контура исходной схемы (рис. 2.1).

Выделим внешний контур и представим на рис. 2.2. На данном контуре проставим дополнительные потенциальные точки между E2 и

R2 - "а", а также между E3 и R3 – "б". Потенциальную точку "1" заземлим и относительно "1" определим потенциалы остальных точек внешнего контура

16

Потенциальная диаграмма – есть графическое изображение прямыми линиями участков между соседними потенциальными точками внешнего контура. Координаты потенциальных точек соответствуют рассчитанным потенциалам и величине сопротивления. По вертикальной оси необходимо откладывать потенциалы точек, а по

ϕ , в

Проверка правильности расчета методом контурных токов выполнена с помощью баланса мощности и потенциальной диаграммы. Таким образом, расчет всех токов исходной схемы выполнен верно.

Задание № 3. Метод узловых потенциалов

Методом узловых потенциалов рассчитать токи I1, I2, I3 преобразованной схемы.

Ориентирующая основа действия 1. Преобразовать исходную схему (рис. 2.1), заменив

электрическую схему соединения треугольник (R4, R5, R6)∆ звездой (R45, R56, R46)Υ .

2.Упростить преобразованную схему, заменив последовательно соединенные сопротивления в каждой ветви одним.

3.Определить напряжение между двумя узлами преобразованной

схемы.

17

4.Определить токи по закону Ома для активных и пассивных

ветвей.

5.Сравнить полученные величины токов с токами, рассчитанными по методу контурных токов (погрешность не должна превышать два процента).

2.Представим на рис. 2.4 преобразованную схему после замены треугольника на эквивалентную звезду.

3.Представим на рис. 2.5 окончательно преобразованную схему, заменив в каждой ветви последовательно соединенные сопротивления одним.

4.На рис. 2.5 проставим напряжение между узлами U10, приняв за опорный узел "1" (направление U10 от опорного узла 1 к 0)

R1' = R1 + R46 + r01 = 5 + 1,2 + 0,9 = 7,1 Ом;

R2' = R2 + R45 + r02 = 2 + 0,41 + 1,2 = 3,6 Ом;

R3' = R3 + R56 = 8 + 1,2 =9,2 Ом.

18

где g1, g2, g3 – соответственно проводимости первой, второй и третьей ветвей.

Произведения E1g1 и E3g3 берем с плюсом, так как ЭДС направлены к опорному узлу 1, а E2g2 – с минусом, так как E2 направлена от узла 1.

6. По закону Ома для активных ветвей (все ветви содержат ЭДС) определим токи

I1 = (E1 – U10)g1 = [14 – (-3,69)] 0,14 = 2,477 A; I2 = (E2 + U10)g2 = [25 + (-3,69)] 0,28 = 5,967 A;

I3 = (E3 – U10)g3 = [28 – (-3,69)] 0,11 = 3,486 A.

Найденные значения токов I1, I2, I3 близки к величинам I1, I2, I3, рассчитанные методом контурных токов. Их погрешность не превышает двух процентов:

Задание № 4. Метод эквивалентного генератора напряжений

Методом эквивалентного генератора напряжения (ЭГН) рассчитать ток в i –й ветви.

Ориентирующая основа действия

Согласно теореме об ЭГН, относительно i –й ветви оставшуюся часть схемы можно заменить одной ветвью, содержащей источник с каким-то эквивалентным ЭДС (Eэ), и каким-то внутренним сопротивлением (Rвн).

1. Заменить исходную схему (рис. 2.1) на преобразованную схему по теореме об ЭГН.

2. Для преобразованной схемы по закону Ома для всей цепи записать выражение для тока в i –й ветви.

19

3.Рассчитать ЭДС (Eэ) эквивалентного генератора напряжения. Величина Eэ численно равна напряжению холостого хода в i –й ветви (Uх.х.). Определить напряжение Uх.х. по II закону Кирхгофа по схеме, в которой отсутствует сопротивление в i –й ветви.

4.Рассчитать внутреннее сопротивление (Rвн) эквивалентного генератора напряжения. Величина Rвн численно равна эквивалентному сопротивлению схемы относительно i –й ветви, при этом в схеме исключаются все источники ЭДС, т.е. схема должна быть пассивной.

5.Сравнить полученную величину тока в i –й ветви с аналогичным током, рассчитанным по методу контурных токов (погрешность не должна превышать два процента).