В.Д. Моисеенко Расчет статически неопределимых шарнирно-стержневых систем при растяжении-сжатии

Рис. 7. Расчетная схема для расчета на температурные воздействия

2.2.1. Статическая сторона задачи

При построении плана сил направление усилия в одном из стержней предполагаем. Направление усилия во втором стержне принимаем в соответствии с принятым в первом, чтобы обеспечить равновесие балки. При этом надо помнить, что оба стержня одновременно растянутыми быть не могут (см. рис. 8). В рассматриваемом примере стержни сжаты.

NМ

Рис.8. План сил при температурном воздействии

Запишем уравнение равновесия:

∑mc = 0 ;

−NСТ 2 + N М sin 60o 4 =0

Полученное уравнение равновесия запишем через напряжения в стержнях, для чего разделим его на равноценные величины FСТ и

0,75FМ, (по условию задачи FСТ = 43 FМ =0,75FМ ):

11

После выполнения арифметических действий получим:

2.2.2. Геометрическая сторона задачи

Строим план перемещений, на котором изображаем заданную шарнирно-стержневую систему до нагрева и предположительное положение её после нагрева (рис. 9).

Рис. 9. План перемещений при температурном воздействии

На плане перемещений кроме полной, т.е. окончательной, деформации стержней (∆lм и ∆lст) показаны виртуальные деформации от нагрева (∆lt) и от усилий в стержнях (∆lN). Причем в сжатых стержнях температурная деформация выходит за пределы полной деформации, а в случае растянутого стержня эта деформация будет в пределах полной деформации.

Из плана перемещений составим уравнение совместимости деформаций.

Из подобия треугольников АА1С и СВВ1 запишем отношение перемещений точек:

где

Это и есть уравнение совместимости деформаций при температурном воздействии на стержневую систему.

2.2.4 Cинтез

Решаем совместно уравнения (2.7) и (2.11)

σCT = 2,31σM

0,6σCT +1,1σM =66,4 .

15

Это и есть уравнение совместимости деформаций.

Полученное уравнение совместимости деформаций (2.14) не решается с уравнением равновесия (2.12), так как в них различные неизвестные.

2.3.3.Физическая сторона задачи

Вуравнение (2.14) деформации стержней выразим через усилия по

Проведем числовую подстановку согласно исходным данным.

После арифметических действий получим:

σCT =0,95 40,3 = 38,3 МПа.

Положительный результат подтверждает наше предположение растяжения обоих стержней. Следовательно, от монтажных ошибок в стержнях возникают напряжения:

σC∆Т = 38,3 МПа,

σM∆ =40,3МПа.

2.4.Определение суммарных напряжений

Встальном и медном стержнях определим суммарные напряжения от всех влияющих на них факторов: внешних нагрузок Р, q, от изменения температуры и неточности изготовления одного из стержней (например, стального).

σCT =σCTp +σCTt +σCT∆ = −112,4 −61,71 + 38,3 = −142,8 МПа

σM =σMp +σMt +σM∆ =63 − 26,31 + 40,3 =76 ,59 МПа

Подводя итог, можно отметить, что в стержнях с площадями поперечных сечений, подобранных из условия прочности от внешнего загружения, дополнительные факторы снижают или увеличивают напряжения.

Проверим прочность стержней.

σCT = −142,8 МПа > [σ]CT− = −120 МПа,

что недопустимо. Стальной стержень непрочен.

σM =76,59 МПа < [σ]M+ =84 МПа,

что отвечает требованию условия прочности. Медный стержень прочен.

2.5. Расчет по предельному состоянию

Метод расчета по предельному состоянию или по разрушающим нагрузкам при едином коэффициенте запаса прочности сводится к двум этапам:

I этап. В каждом случае необходимо установить, какое состояние конструкции должно быть принято за предельное. За предельное состояние принимаем превращение системы в механизм.

18

Итак, по предельному состоянию площади стержней равны:

FM = 1,9 10−4 м2

FCT = 1,43 10−4 м2 ,

а по допускаемым напряжениям:

FM = 2,27 10−4 м2

FCT = 1,7 10−4 м2

Необходимые площади поперечных сечений, полученные при расчете по предельному состоянию меньше, чем при расчете по допускаемым напряжениям. Метод расчета по предельному состоянию позволяет в определенных случаях учитывать пластические деформации, позволяет вскрыть резервы прочности пластических материалов, не используемые при расчете по допускаемым напряжениям. Конструкция получается легче и экономичней.

Вместе с тем этот метод не может полностью заменить метод расчета по допускаемым напряжениям, так как во многих машиностроительных конструкциях недопустимо, по условиям их эксплуатации, появление хотя бы местных пластических деформаций.

Поэтому согласно принятым в России и в некоторых других странах нормам и правилам он является обязательным лишь при расчете строительных конструкций.

3.Список рекомендуемой литературы

1.Беляев Н.М. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1976.

2.Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1974.

3.Смирнов А.Ф. Сопротивление материалов / А.Ф. Смирнов, Л.В. Александров, Н.И. Монахов. – М.: Высш. шк., 1975.

4.Степин П.А. Сопротивление материалов. – М.: Высш. шк., 1973.

5.Ицкович Г.М. Руководство к решению задач по сопротивлению материалов / Г.М. Ицкович, А.И. Винокуров, Л.С. Минин. – М.: Высш.

шк., 1970.

19

Составитель Валентина Дмитриевна Моисеенко

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ШАРНИРНО-СТЕРЖНЕВЫХ

СИСТЕМ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ – СЖАТИИ

Методические указания по выполнению расчетно-графического задания по сопротивлению материалов для студентов всех специальностей

Редактор З.М. Савина

ИД № 06536 от 16.01.02.

Подписано в печать 03.10.01.

Формат 60×84 / 16. Отпечатано на ризографе. Бумага офсетная. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 480 экз. Заказ

Государственное учреждение Кузбасский государственный технический университет.

650026, Кемерово, ул. Весенняя, 28.

Типография Государственного учреждения Кузбасский государственный технический университет.

650099, Кемерово, ул. Д. Бедного, 4А.