А.В. Бирюков Методы анализа и обработки наблюдений

20

К модели можно было бы добавить слагаемое Н123z1z2z3. Однако эффект тройного взаимодействия факторов чаще всего оказывается незначимым.

Для проверки значимости коэффициентов модели (кроме свободного члена) необходимо иметь дисперсию случайности S02 , которую мож-

но найти лишь при наличии параллельных наблюдений по крайней мере в одном из опытов. В этом случае коэффициент признается значимым, если он по абсолютной величине превосходит значение

∆Н =tS0 / n ,

где n – число опытов, которое в нашем случае равно 8, а t – критическое значение Стьюдента с числом степеней свободы таким же, как у дисперсии случайности.

Найденная регрессионная модель является адекватной, если ее остаточная дисперсия не превосходит дисперсию случайности.

8.Примеры статистического оценивания

1)Имеется выборка 1, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 8 объемом n=10 с размахом R=8-1=7. Требуется проверить ее на нормальность и установить, является ли наибольший элемент 8 ошибочным.

_

Находим основные параметры выборки: среднее х=4, дисперсию S2=5,33, стандарт S=2,31. Вычисляем статистику N=R/S=3,03. В табл. 4 для n=10 находим критический интервал (2,7; 3,7). Найденное значение статистики принадлежит этому интервалу и, следовательно, данную выборку можно признать нормальной.

_

Вычисляем статистику С= X − X / S = 8 −4 / 2,31 =1,73 и сравниваем

ее с критическим значением (табл.5), равным 2,3. Поскольку 1,73<2,3, то наибольший элемент выборки не является ошибочным.

2) У двух выборок 1,2,2,3,4,6,6,8 и 3,5,7,7,9,10,10,13 сравнить дис-

персии по критерию Пиллаи и средние по критерию Лорда.

Объемы выборок n=8, а размахи R1=7, R2=10. Значение статистики Пиллаи П=10/7=1,43 меньше критического, равного 2,0 (табл.7). Следовательно, дисперсии выборок отличаются незначимо.

равного 0,37 (табл.8), т.е. средние отличаются друг от друга значимо (неслучайно).

3) Случайная величина – интенсивность автомобильного движения, т.е. число автомобилей, проходящих за минуту через фиксированный участок дороги. Две серии наблюдений проведены в начале и конце ра-

бочего дня: (31, 18, 6, 9, 3, 2, 2, 9, 27, 30) и (19, 4, 23, 22, 2, 4, 5, 50, 1, 10). Сравним эти выборки объемом n1=n2=10 по критерию Вилкоксона.

В объединенной совокупности расположим элементы по возрастанию, приписывая им ранги и помечая штрихом элементы второй выборки:

Находим суммы рангов элементов каждой выработки А1=108, А2=102 и величины u1=47, u2=53. Искомая статистика U=47 превосходит критическое значение 27 (табл.10). Следовательно, обе выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности. Другими словами, интенсивности автомобильных потоков в начале и конце рабочего дня отличаются незначимо (случайно).

4) имеются пары наблюдений (1;2), (2;1), (3;4), (4;4), (5;9). Требует-

ся найти коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Проводя ранжировку, получим:

r0=1-6 2,5/120=0,875. Это значение больше критического, равного 0,800, т.е. ранговая корреляция значима.

5) Методом последовательных разностей выделить тренд у временного ряда

2,1,3,3,2,4,5,6,7,7

22

Первый и второй разностные ряды имеют внд: -1,2,0,-1,2,1,1,1,0 3,-2,-1,3,-1,0,0-1

Вычисляем дисперсию исходного ряда S2(0)=4,67 с 9 степенями свободы и дисперсии разностных рядов S2(1)/2=0,64, S2(2)/6=0,59 с 8 и 7 степенями свободы. Сравнивая их по критерию Фишера, устанавли-

ваем, что F=4,67/0,64=7,3 больше критического, а F=0,64/0,59=1,08

меньше критического. Следовательно, временной тренд существует и является линейным. Методом наименьших квадратов находим соответствующую регрессию:

z=0,63t+0,54

6) Построить трехфакторную регрессионную модель (функцию отклика) по результатам эксперимента:

Вычисляя коэффициенты модели, получим: Н0=5; Н1=1; Н2=1; Н3=2,75; Н12=0,25; Н13=0; Н23=0.25. Искомая регрессионная модель имеет вид:

у=5+Х1+Х2+2,75Х3+0,25Х1Х2+0,25Х2Х3.

Придавая значения факторам (+1) и (-1) в соответствии со строками матрицами планирования, найдем расчетные значения выходного параметра и сопоставим их с экспериментальными значениями:

Отсюда получаем остаточную дисперсию S2=0,5 с одной степенью свободы. Допустим, что первый опыт проведен три раза с результатами 9,8; 10; 10,2. Эти параллельные наблюдения позволяют получить оцен-

ку дисперсии случайности S02 =0,04 с двумя степенями свободы. Срав-

нивая остаточную дисперсию с дисперсией случайности по критерию Фишера, устанавливаем, что найденная регрессионная модель является

23

адекватной. Для оценки значимости коэффициентов модели находим доверительный интервал ∆Н=0,21, откуда следует, что все линейные эффекты и эффекты парных взаимодействий факторов (кроме эффекта Н13=0) являются значимыми.

24

Составитель Альберт Васильевич Бирюков

Методы анализа и обработки наблюдений Методические указания к использованию математической статистики

в научной работе студентов и аспирантов всех направлений

Редактор З.М.Савина

ГУ Кузбасский государственный технический университет 650026, Кемерово, ул.Весенняя, 28.

Типография ГУ Кузбасский государственный технический университет 650099, Кемерово, ул.Д.Бедного, 4А.