Логинов Избранные разделы курса Векторный анализ (теория и примеры) 2009
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.1. Вычислить интеграл первого рода ∫ x 3 + y 3 |
ds , |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где γ – дуга астроиды x 3 + y 3 = a 3 . |
|
|
|
|
||||||||||
Решение. Выпишем параметрическое уравнение астроиды |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
x = a cos |
|
t |
, t [0,2π] . |
|
|
|
|
|||||||
y = a sin |
3 |
t |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
На рис. 2.2 показан график этой кривой в декартовой системе координат.
Рис. 2.2
Воспользуемся формулами для вычисления криволинейного интеграла
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ x |
3 |
+ y |
3 |
ds = |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
π / 2 4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= 4 ∫ |
a |
|
cos4 t + a |
|
|
sin 4 t |
|
|
a2 9 cos4 t sin 2 t + a2 9 sin 4 t cos2 t dt = |
|||||||||||||
3 |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
7 π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(cos4 t + sin4 t )sin t costdt = |
||||||||||
|
|
|
∫(cos4 t + sin 4 t ) |
sin t cos t |
|
dt |
= 12a 3 ∫ |
|||||||||||||||
= 4a 3 |
||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
31
|
|
|
π |
7 |
|
π |
|
|
|
||
7 |
|
|
2 |
7 |
0 |
||||||
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
= −12a 3 |
|
∫cos5 td cos t +12a 3 |
|
∫sin5 td sin t = −12a |
3 |
∫u5du + |
|||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
7 1 |
|
7 |
|
|
7 |
|
7 |
|
||||
|
|
|
12 |
a 3 + |
12 |
a |
3 |
|
|
|
|||
+ 12a 3 ∫u 5du = |
= 4a 3 . |
||||||||||||
6 |
6 |
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.2. Вычислить интеграл ∫ x2 ds , где γ – окружность
γ
x2 + y 2 + z 2 = a 2 , x+y+z=0.
Решение. Сделаем поворот системы координат на угол 45 градусов вокруг оси Oz. В этом случае, преобразование координат задается формулами
x =
y =
1
2 1
(u
(u
2
z = w
− v)
+ v) .
Расположение осей при повороте на угол α показано на рис. 2.3.
Рис. 2.3 |
Согласно свойству инвариантности интеграла относительно поворотов, будет выполнено равенство:
∫x2ds = |
1 |
∫(u2 − 2uv + v2 )ds , |
|
2 |
|||
γ |
|
||
|
32
где - окружность u2+v2+w2=a2, 2u + w = 0 . Отметим, что этим поворотом мы «избавились» от одного переменного в уравнении плоскости. Попробуем избавиться таким же способом от второго
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
||||
переменного. Так как |
2 u+w = = 3 |
|
|
u + |
w |
, то этого |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
можно добиться, сделав поворот осей координат, определяемый отображением
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
p = |
|
|
|
|
|
|
|
( 2u + w) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
q = |
1 |
|
|
(−u + |
|
w) . |
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
3 |
r = v |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Обратное отображение будет иметь вид: |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
u = |
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 p − q) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
w = |
|
|
|
( p + |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2q) . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
v = r |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это соответствует повороту на угол β, для которого cosβ = |
2 |
, |
||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin β = − 1 . В новых координатах p, q, r уравнение плоскости бу-
3
дет иметь уравнение p = 0 . Подынтегральная функция равна
u 2 − 2uv + v2 = 1 q2 + 2 qr + r 2 . Кривая лежит в плоскости p=0,
3 3
поэтому в качестве параметризации возьмем полярные координаты
33
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q = a cos t , t [0,2π] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = a sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
∫ |
|
1 |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∫ |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x2 ds = |
|
|
|
(u 2 − |
2uv + v2 )ds = |
|
|
q2 + |
|
|
|
|
|
qr + r 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ds |
= |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
γ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
a3 2π 1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 t + |
|
|
|
sin t cos t + sin 2 t dt = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 0 3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
a3 2π 1 + cos 2t |
|
|
|
sin 2t 1 − cos 2t |
|
|
|
|
|
a3 1 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π a3 . |
||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
dt |
= 2π |
|
|
|
|
+ |
|
= |
|
|||||||||||
|
2 |
0 |
6 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
6 2 |
3 |
|
|
|
Пример 2.3. Вычислить интеграл ∫xdy − ydx , где γ представля-
γ
ет собой (рис. 2.4):
1)отрезок γ1=OA, O=(0,0), A=(1,2);
2)параболу γ2 ={y=2x2} , от O до A;
3)два отрезка γ3 + γ4 : по оси Ox и вертикально вверх до точки A.
Рис. 2.4 |
34
Решение. В первом случае кривая имеет параметризацию:
x = t
, t [0,1], и интеграл будет равен y = 2t
1
∫ xdy − ydx =∫(2t − 2t)dt = 0 .
γ |
0 |
Во втором случае кривая параметризуется следующим образом: x=t, y=2t2, t [0,1], и можно записать для интеграла
∫xdy − ydx = = ∫1 |
(4t 2 − 2t 2 )dt = |
2 |
. |
|
|
||||
γ |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
2.3.Формула Грина
2.3.1.Использование формулы Грина для вычисления интегралов
Рассмотрим область D. Границу этой области с положительным направлением обхода обозначим . Пусть в области D задано векторное поле (P, Q) с непрерывными частными производными
∂Q , ∂P . Тогда справедлива формула Грина
∂x ∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Q |
|
|
∂P |
|
||
|
|
|
− |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
∫Pdx + Qdy = ∫∫ |
∂x |
∂y |
dxdy . |
||||||
|
D |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 2.4. Вычислить интеграл ∫ |
xdy |
− ydx |
, где контур C ори- |
||||||
2 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
C |
x |
+ y |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ентирован положительно. Рассмотреть два случая: контур не содержит начала координат, контур содержит начало координат.
Решение. Обозначим через D область, ограниченную контуром C. Вычислим частные производные
∂Q |
|
∂ |
|
|
x |
|
|
|
x2 |
+ y2 − 2x2 |
|
y 2 − x2 |
|
|
||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
|
|
( x |
2 |
+ y |
2 |
) |
2 |
|
( x |
2 |
+ y |
2 |
) |
2 |
|
||
∂x ∂x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35
|
∂P |
|
∂ |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
x2 + y 2 − 2 y 2 |
|
y 2 − x2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
− |
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ y |
2 |
|
|
|
( x |
2 |
+ y |
2 |
) |
2 |
|
|
|
( x |
2 |
+ y |
2 |
) |
2 |
|
|||||
|
∂y ∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdy − ydx |
|
|
|
|
|
∂Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда, в первом случае ∫ |
= = ∫∫ |
|
|
− |
|
∂P |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdy =0. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
x |
|
+ y |
|
|
|
|
D |
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Во втором случае формула Грина не может быть использована, так как поле (P,Q) имеет особенность в начале координат, и эта точка (0,0) попадает в область интегрирования D. Выберем круг с центром в начале координат и достаточно малого радиуса r так, чтобы он содержался в области D. Границу этого круга, ориентированную положительно, обозначим Cr .
Произведем два разреза кусочно-гладкими кривыми, соединяющими какие-либо две точки границы контура C с какими-либо точками окружности Cr (рис. 2.5).
Отметим, что C=C1+C8 , Cr− =C3+C6 , C2= C7− , C4= C5− . Внутри
контуров C1+ C2+ C3+ C4 и C5+ C6+ C7+ C8 особенностей нет и, как было доказано, для этих контуров интеграл будет равен нулю. Поэтому справедливо равенство
0= |
∫ |
+ |
∫ |
= |
|
C1 +C2 +C3 +C4 |
|
C5 +C6 +C7 +C8 |
|
= ∫ + ∫ + ∫ + ∫ + ∫ + ∫ + ∫ + ∫ = ∫ + ∫ + ∫ = ∫ − ∫ .
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C C3 C6 C Cr
Рис. 2.5
36
Таким образом,
∫ |
xdy − ydx |
= ∫ |
xdy − ydx |
2π r cos t(r cos t) − r sin t(−r sin t) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
dt = 2π . |
||
x |
2 |
+ y |
2 |
x |
2 |
+ y |
2 |
r |
2 |
||||
C |
|
|
C |
|
|
0 |
|
|
r
Пример 2.5. Вычислить интеграл
∫(sin ye x − my)dx + (cos ye x − m)dy ,
AmB
где AmB – верхняя полуокружность x2+y2=ax , начало – A(a,0), ко-
нец – B(0,0) (рис. 2.6).
Решение. Вычислим частные производные координат векторного поля
∂Q = ∂ (cos ye x − m)= cos ye x , ∂P = ∂ (sin yex − my)= cos yex − m .
∂x ∂x ∂y ∂y
Тогда ∂Q − ∂P = m и для контура интегрирования получается
∂x |
∂y |
|
равенство |
|
|
∫ |
Pdx + Qdy + ∫ Pdx + Qdy = |
∫ Pdx + Qdy = |
AmB |
BA |
AmB + BA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
∂Q |
|
∂P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πa |
|
|
|||
= ∫∫ |
|
− |
|
|
|
dxdy = m∫∫dxdy = mµD = m |
|
|
. |
||||||||||
|
∂y |
|
|
||||||||||||||||
D |
∂x |
|
|
|
D |
|
8 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Отсюда следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∫ Pdx + Qdy = m |
πa 2 |
− ∫ Pdx + Qdy = m |
πa 2 |
+ |
∫Pdx + Qdy . |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
AmB |
|
|
|
8 |
|
BA |
|
8 |
|
|
AB |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Контур AB имеет параметризацию |
|
x = t |
|
. Тогда |
|||||||||||||||
|
|
, t [0, a] |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πa |
2 |
|
a |
πa |
2 |
|
|
|
||
|
|
∫ Pdx + Qdy = m |
|
|
+ ∫(0)dt = m |
|
|
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
||||||||||
|
AmB |
|
|
|
|
|
8 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37
|
|
Рис. 2.6 |
Пример |
2.6. Вычислить |
∫( f ( y)e x − my)dx + ( f '( y)e x − m)dy , |
|
|
AmB |
где функция f(y) – непрерывно дифференцированная на проекции |
||
кривой AmB |
(проекция на ось Oy), AmB – кривая, соединяющая |
|
точки A, B, ограничивающая вместе в отрезком AB область D (рис. |
2.7).
}
Рис. 2.7
Решение. Для частных производных имеем равенства
38
|
|
|
|
|
∂Q |
= |
∂ |
(f ' ( y)ex − m)= f ' ( y)e x , |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
∂x |
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∂P |
= |
∂ |
(f ( y)e x − my)= f '( y)e x − m, |
∂Q |
− |
∂P |
= m . |
|||||||||||||
|
∂y |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
∂y |
|
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ Pdx + Qdy + ∫Pdx + Qdy = |
∫Pdx + Qdy = |
|
|||||||||||||||||
|
AmB |
|
|
|
|
|
|
BA |
|
AmB+BA |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
∂Q |
|
∂P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= ∫∫ |
∂x |
|
|
|
dxdy = m∫∫dxdy = mµD . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
D |
|
|
∂y |
D |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∫ Pdx + Qdy =mµD − ∫Pdx + Qdy = mµD + ∫Pdx + Qdy . |
|
||||||||||||||||||||
AmB |
|
|
|
|
BA |
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
||||||
Контур AB имеет параметризацию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x = x0 + |
x t |
[0,1] , A=(x0,y0), B=(x1,y1), x=x1 - x0 , |
|
||||||||||||||||||
y = y0 + |
y t , t |
y=y1 - y0. |
|||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫Pdx + Qdy = ∫((( f ( y0 + y t)ex0 + x t |
− m( y0 + |
y t)) |
x + |
||||||||||||||||||
AB |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+( f '( y0 + y t)ex0 + x t − m) y)dt = ∫(( f ( y0 + y t)ex0 + x t ) x)dt +
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
+ ∫(− m( y0 + y t) x)dt + ∫( f '( y0 + y t)ex0 + x t y)dt − |
||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
y |
|
− ∫m ydt = ∫( f ( y0 + |
y t)ex0 +Δx t )d (x0 + |
|
||||
xt) − m x y0 |
+ |
|
− |
|||
|
||||||
0 |
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
−∫( f '( y0 + y t)ex0 + x t )d ( y0 + y t) − m y = |
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
39
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
u − x |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||
|
|
|
= ∫ |
f ( y0 |
+ |
y |
|
0 |
)eu du − m x y0 |
+ |
|
|
+ |
|||||||||
|
|
|
x |
|
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u − y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
x + |
x |
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u − x |
|
|
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||||
+ ∫ |
e |
|
|
|
|
|
|
df (u) − m y = |
∫ |
f ( y0 |
+ y |
|
|
|
|
)eu du − |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− m
y1 x0 +
− ∫ e y0
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
+ |
|||||
x y |
0 |
+ |
|
|
|
− |
y |
+ |
|
e |
|
||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u − y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
= ∫ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f (u)du |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 |
u− y |
0 |
|
|
|
u= y1 |
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
f (u) |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u= y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x + |
x |
(v− y |
|
) |
|
|
|
||||
|
0 |
y |
0 |
|
||
f (v) |
|
e |
|
|
|
dv − |
|
|
|
|
|||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− m |
|
|
|
|
y |
|
1 |
x0 + |
− ∫ |
e |
y0 |
|
|
x
x
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
+ |
||||
y |
0 |
+ |
|
− |
y |
+ |
|
e |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u − y |
0 |
|
|
|
x |
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
y |
|
|
( ) |
f u
u= y1
−
u= y0
u − y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x y |
|
|
y |
|
|
f (u)du |
= −m xy0 + m |
|
− m y + |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
y |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ex1 f ( y ) − ex0 |
f ( y |
0 |
) . |
||
|
1 |
|
|
|
|
В результате получим: |
|
|
|
|
|
∫Pdx + Qdy = mµD − m xy0 |
+ m |
x y |
− m |
|
y + ex1 f ( y1 ) − ex0 f ( y0 ) . |
|
|
||||
AmB |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.3.2. Использование формулы Грина для вычисления площадей
Если в качестве функций P, Q взять функции, для которых
∂Q − ∂P ≡ 1, то получится формула для вычисления площади об-
∂x ∂y
ласти, ограниченной кривой γ:
40