Кнопова Избранные главы математики в примерах и задачах.Учебное пособие 2009

lim C =C .

(2.1)

x→x0

Если lim f (x) = a , а lim g(x) =b , то

x→x0

x→x0

lim ( f (x) ± g(x)) = lim

f (x) ± lim g(x) = a ±b ,

(2.2)

x→x0

x→x0

x→x0

lim f (x) g(x) = lim

f (x) lim g(x) = a b .

(2.3)

x→x0

x→x0

x→x0

Если b ≠ 0 , то

lim f (x)

f (x)

= a .

lim

=

x→x0

(2.4)

lim

g(x)

x→x0

g(x)

b

Для непрерывной функции

x→x0

lim f (x) = f (x0) .

(2.5)

x→x0

Замечательные пределы

lim sin x =1.

(2.6)

x→0

x

1

lim(1+ x)

x

= e ≈ 2, 72 .

(2.7)

x→0

1 x

+

= e .

(2.8)

lim 1

x→∞

x

Если lim

f (x) = 0 , то

f (x)

называется бесконечно малой вели-

x→x0

чиной при x → x0 .

Если lim

f (x)

= +∞ , то f (x) называется бесконечно большой

x→x0

Если f (x) – бесконечно большая величина при x → x

0

, то

1

f (x)

Пример 2.1. Найти

lim

3x +1

.

x→2

x2 −1

3x +1

lim(3x +1)

lim 3x + lim1

Решение. lim

=

x→2

=

x→2

x→2

=

x2 −1

lim(x2 −

x→2

1) lim x2 − lim1

x→2

x→2

x→2

lim 3 lim x +1

3 2 +1

7

1

=

x→2

x→2

=

=

= 2

.

22 −1

4 −1

3

3

1

Пример 2.2. Найти

пределы функций

y = x2

и

y =

при

x2

x →0 и x →+∞.

Решение.

lim x2 = 02 = 0 ,

x→0

x2 является бесконечно малой величиной при x →0 . Тогда

lim

1

= +∞,

x2

x→0

1

так как обратная к

x2

величина

будет бесконечно большой

x2

при x →0 ;

lim

x2

= +∞,

x→+∞

Решение. lim

2x

= +∞ – бесконечно большая величина.

(x −1)2

x→1

Этот результат

следует из того, что предел числителя равен

lim 2x = 2 , а предел знаменателя lim(x −1)2 = 0 – бесконечно малая

x→1

x→1

x2 −1

lim (x2 −1)

0

lim

=

x→−1

=

,

x +1

lim (x +1)

0

x→−1

x→−1

т.е. получаем неопределенность вида 0 .

Подойдем к примеру иначе:

0

lim

x2 −1

= lim

(x −1)(x +1)

,

x +1

x +1

x→−1

x→−1

так как x только стремится к (−1) ,

x ≠ −1 , точка x = −1 может во-

обще не входить в область определения функции, то при x ≠ −1

lim

(x −1)(x +1)

= lim (x −1) = −1−1 = −2 .

x→−1

(x +1)

x→−1

Пример 2.5. Вычислить lim

3x2

+4

.

−1

x→∞ 5x2

x

2

3

+

4

3

+

4

lim 3x

2

+4

x2

x2

= lim

= lim

=

1

1

x→∞ 5x2 −1

x→∞

x

2

5

−

x

→∞

5

−

x2

x2

+

4

lim

3

3

+

0

3

x2

=

x→∞

=

=

.

−

1

5

−

0

5

lim

5

x2

x→∞

1.

lim

2x +4 .

2.

lim

x +1

.

x→5

x −3

x→−1 x3 −1

3.

lim

x4 +2

.

4.

lim sin x .

3x3 −1

x→−2

x→0

5.

lim (−x3 +9x2 + x −1) .

6.

lim

x2 −5x +4

.

x→−1

2 −10x +3

x→1 x2 −3x +2

7.

lim

3x

.

8.

lim

2x2 −3x +1

.

5x

2 −

16x +3

(x −1) x

x→3

x→1

9.

lim

(x −4)(x +3)

.

10.

lim

3x2 −8x +4

.

x2 + 2x −3

8 −14x +

5x2

x→−3

x→2

11.

lim

x − 5

.

12.

lim

1

.

(x −2)2

x→5

x −5

x→2

13. lim

x

.

14.

lim

1

.

(x −1)2

x→1

x→0

x

15.

lim

1

.

16.

lim

2x2

−3x + 2

.

+2x +3

−x2

−

4x +1

x→+∞ x2

x→+∞

17.

lim

4x

4 +1000x2 +1

.

18.

lim

x5 +2x2 −1

.

2x4

−100x3

3x5

−2x +1000

x→+∞

x→+∞

19.

lim

x2 −2x

.

20.

lim

(1+ x)(1+2x) −1

.

x

3 +2x

x

x→0

x2 −1

x→0

21.

Вычислить

lim

, если:

2x2 − x

−1

x→x0

а) x0 = 0 , б) x0 =1, в) x0 = +∞ .

22.

lim

5x3 − x +1

.

23.

lim

2sin x

.

3x3 +100x2

x

x→+∞

x→0

1

1

1

2x

24.

lim

(1+ x) x .

25.

lim

+

2

1

.

x→0

x→+∞

x

26.

lim

2

+1−

sin x

27.

lim

sin x

3x

x

.

1+

.

x→0

x→0

2x

1

4x

2

28.

+

29.

lim 4 (1+ x)

x

.

lim 3 1

.

x→+∞

x

x→0

30.

а) lim ex ;

б) lim ex .

x→+∞

x→−∞

(ax)′ = ax ln a ,

a ≠1, a > 0 ;

(ex)′ = ex ;

(log

a

x)′ =

1

,

a ≠1, a > 0 ;

x ln a

(sin x)′ = cos x ;

(cos x)′ = −sin x ;

(tg x)′ =

1

;

cos2 x

(ctg x)′ = −

1

;

sin2 x

(xa)′ = a xa−1 ,

рассмотрим частные случае:

a =1, (x)′ =1 ;

a = −1,

1

′

= −

1

;

x2

x

a

=

1 ,

( x)′

=

1

.

2

2

x

Основные правила дифференцирования

[c f (x)]′ = c

f ′(x) .

(3.1)

[ f (x) ± g(x)]′ = f ′(x) ± g′(x) .

(3.2)

[ f (x) g(x)]′ = f ′(x) g(x) + f (x) g′(x) .

(3.3)

f (x)

′

′

′

=

f (x) g(x) − f (x) g (x)

.

(3.4)

g

2

(x)

g(x)

Производная сложной функции y = f (ϕ(x))

y′ = fϕ′(ϕ(x)) ϕ′(x) .

(3.5)

Пример 3.3. y =

x −5

. Найти y′.

2x −5

Решение. Обозначая

f (x) = x −5 , g(x) = 2x −5 , по формуле (3.4)

получим

y′ =

(x −5)′ (2x −5) −(x −5)(2x −5)′

=

(2x −5)2

=

1 (2x −5) −(x −5) 2 = 2x −5 −2x +10

=

5

.

(2x −5)2

(2x −5)2

(2x −5)2

32.

y = ln(2 +sin x2) .

33.

y = tg

6x .

34.

y =sin4

3x .

35.

y = esin2 x.

36.

y =sin(sin(sin x)) .

37.

y = x tg 3x .

38.

y = x esin2 x.

39.

y = (1+sin 3x) cos 3x .

40.

y =

sin 2x

.

41.

y =

(1+ x3)2

.

x3

(1

− x3)2

46.

y = x5, n =

7 .

47.

y =sin x,

n = 4 .

48.

y = ln x,

n =5 .

49.

y = e−x2 ,

n = 2 .

50.

y =sin 3x,

n = 2 .

51.

y = e2x,

n =3.

52.

y = ex sin x,

n = 2 .

53.

y = x ln x, n =3 .

f (x) =

1

x

3

−4x + 2 .

3

Решение.

f ′(x) = x2 −4 . Функция

f (x) строго возрастает там,

где

f ′(x) > 0

и строго убывает при

f ′(x) < 0 . f ′(x) = x2 −4 > 0 на

промежутке

x (−∞, −2) (2,

+∞)

– область возрастания функ-

ции;

x2 −4 < 0 при x (−2, 2) , на этом промежутке функция убы-

вает.

f (x) = x3 + x2 −8x +1.

Решение. Вычисляем

f ′(x) = (x3 + x2 −8x +1)′ =3x2 +2x −8 . Точ-

ки экстремумов находим из уравнения

f ′(x) = 0 .

3x2 +2x −8 = 0 при

x =

4 и x

2

= −2 .

1

3

Далее ищем f ′′(x) = 6x +2 .

Так как f ′′ 4

=10 >

0 , то x

= 4

– точка минимума функции;

1

3

3

f ′′(−2) = −10 < 0 ,

x2 = −2 – точка максимума.

fmin = f

4

149

= −5

14

;

fmax = f (−2) =13 .

= −

27

27

3