Гришин Зачет по математическому анализу.1семестр 2009
.pdfЗачет по математическому анализу. 1 семестр
Вариант 8
1. Сформулировать понятие: lim f (x) = A . 2. Теоретический вопрос. Найдите предельные точки (частичные пре-
x→a
делы) последовательности an = (−1)n n n+1 + 21n−+n1 .
Вычислить пределы:
3. lim |
2n +3n |
;4. lim |
|
3n+1 −2n−1 |
|||
n→∞ |
x→0 |
|
|
|
|
|
1−sinx −cos2x |
|
|
|
1 |
|
|||
sin5x sin4x |
|
tg(2πx) −tg(πx) |
|
|
|
ex |
|
|
|||||
|
|
|
arctgx−arctg3 |
|
|||||||||
|
|
;5. lim |
|
;6. lim |
|
|
|
;7. lim ln |
|
|
. |
||
sin3x (2x+1 −2) |
x→1 |
sin(2πx) +sin(5πx) |
x→π |
|
tgx |
x→3 |
|
3 |
|
|
8. Найти производную функции y = arctg(2x +1) sin 3x |
в произвольной допустимой точке x . |
2cos x |
|
В ответ записать ее значение в точке x0 = 0 .
9. Вычислить эластичность функции f (x) = xcos x в произвольной точке.
10. Функция y = y(x) задана соотношением arcsin(x y)+sin y = 0 неявно. Найти ее дифференциал в точке
(x,y).
11. Найти радиус кривизны кривой y = tg 2 x в точке x0 = (π4).
12.Провести исследование функции и построить график: y = x3 e1x .
13.Числа x ≥ 0 и y ≥ 0 удовлетворяют условию: x − y = a . Какое наибольшее и наименьшее значения может
принимать величина x3 − y3 ?
11
Зачет по математическому анализу. 1 семестр
Вариант 9
1.Сформулировать понятие: lim f (x) = A . 2. Теоретический вопрос. Найдите предельные точки (частичные пре-
x→∞((−1)n +1) n ( n +1 − n ).n
Вычислить пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
||
3. lim |
5n3 +(−1)n |
; 4. lim |
2x −2 |
;5. limsin2x +sin3x |
;6. lim |
2x −2x |
;7. lim (sin 2x)(sin x −cos x )−2 . |
||
(n2 +1)(2n +3) |
ln(1 +sinπx) |
x −2sinπx |
|||||||
n→∞ |
x→1 |
x→π |
tg5x |
x→2 |
x→π 4 |
8.Найти производную функции y = cos(2x 1+ x2 ) в произвольной допустимой точке x. В ответ записать ее значение в точке x0 = 0 .
9.Вычислить эластичность функции f (x) = (sin x)x 2 в произвольной точке.
10. |
Функция y = y(x) задана соотношением |
arccos(xy)−cos x = 0 неявно. Найти ее дифференциал в допусти- |
||
мой точке (x,y). |
x |
|
|
|
11. |
Найти радиус кривизны кривой y = |
|
в точке x =1. |
|
|
|
|||
|
|
1 + x2 |
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
12.Провести исследование функции и построить график: y = 12 (2x2 − x −1) e( x −1)(2 x +1) .
13.Числа x и y удовлетворяют условию: x + y = a, x ≤ 2a . Какое наибольшее значение может принимать
величина x3 + y3 ?
12
Зачет по математическому анализу. 1 семестр
Вариант 10
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2nsin πn |
||
1. Сформулировать понятие: lim |
f (x) = A . 2. Теоретический вопрос. Найдите |
|
|
|
2 |
. |
||||||||||||||||
lim |
||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
Вычислить пределы: |
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
n +1 |
|||||||||
|
|
πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3n n +1 −sinn |
|
|
sin |
−cos(2πx) |
|
|
2cos x −0,5 |
|
x2 −sinx |
;7. lim(1 + x2 )(cos 3x −cos x)−1 . |
|||||||||||
3. lim |
; 4. |
lim |
2 |
; 5. lim |
; 6. lim |
|||||||||||||||||
n→∞ |
n3 +5n +1 |
x→2 |
sinπx |
|
|
|
|
x→π |
sin2 x |
x→0 |
tg2x |
x→0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в произвольной допустимой точке x . В ответ записать его зна- |
||||||||||||
8. Найти производную функции y =sin |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
log |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
чение в точке x0 = 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. Вычислить эластичность функции |
f (x) = (x2 +1)ln 2x в произвольной точке. |
|
|
|||||||||||||||||||
10. Функция y = y(x) заданасоотношением |
x |
1 + xy = y неявно. Найтиее дифференциалвдопустимойточке (x,y). |
11.Найти радиус кривизны кривой y = x (x +1) в точке x0 =1.
12.Провести исследование функции и построить график: y = 3 (x −1)(x −4)2 .
13.Числа x и y удовлетворяют условию: x + y2 =1. Какое наименьшее значение может принимать сумма их квадратов?
13
Зачет по математическому анализу. 1 семестр
Вариант 11
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 cos πn |
|
||
1. |
Сформулировать понятие: lim f (x) = +∞. 2. Теоретический вопрос. Найдите |
lim |
|
3 |
|
. |
||||||||||||||
|
+ n +1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ 2n2 |
|
|||||
|
Вычислить пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;7. lim( |
x −1)(tgx −tg 4)−1 . |
||||||
3. |
lim |
n n +(−1)n |
|
; 4. lim sin 2x −tgx |
; 5. lim |
2x2 −1 −1 |
|
; 6. |
lim |
x2 −2x |
|
|||||||||
|
x + 2 −1 |
|
||||||||||||||||||
|
n→∞ 4n3 +3n −1 |
x→0 |
x2 +3x |
|
x→−1 |
|
x→2 sinπx |
x→4 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 + 4x sinπx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8. |
Найти производную функции y = tg |
|
|
|
|
в произвольной допустимой точке x . В ответ записать |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
log2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ее значение в точке x0 |
= 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.Вычислить эластичность функции f (x) = xesin 2x в произвольной точке.
10.Функция y = y(x) заданасоотношением x2 + y2 = ln(xy) неявно. Найтиеедифференциалвдопустимойточке(x,y).
11. Найти радиус кривизны кривой y = (x +1) x в точке x0 =1.
12.Провести исследование функции и построить график: y =1 3 (x +1)2 (x −5).
13.Числаx иy удовлетворяютусловию: y − x2 =1. Какоенаименьшее значение можетприниматьвеличина 2(x + y)?
14
Зачет по математическому анализу. 1 семестр
Вариант 12
1. Сформулировать понятие: lim f (x) = −∞. 2. Теоретический вопрос. Может ли функция быть ограниченной в
x→a
окрестности какой - либо точки, но не иметь предела в этой точке? Ответ обоснуйте. Вычислить пределы:
3. lim( n + 2 − n )(n +1);4. |
|
sin(2x −2 |
x |
) |
|
ln |
2 |
(2 + x) |
|
arctgx − x |
|
lim (x |
|
|
x −1 |
|
|||||||
lim |
|
; 5. lim |
|
;6. lim |
;7. |
3 |
ln − |
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+9) |
2 |
|||||||||
n→∞ |
x→1 |
|
x −1 |
|
|
x→−1 1 +cosπx |
x→0 |
|
x −tgx |
|
|
x→−2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
8. Найти производную функции y = 3 |
log3 x arctg x |
в произвольной допустимой точке x . В ответ записать |
|||||||||||||||||||||
ее значение в точке x0 = 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Вычислить эластичность функции |
f (x) = x2ecos 2 x в произвольной точке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
10. |
Функция y = y(x) задана соотношением x2 + xy + y2 |
= 2xy |
неявно. Найти ее дифференциал в допустимой |
|
|||||||||||||||||||
точке (x,y). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
Найти радиус кривизны кривой y = (x2 +1) |
|
x в точке x |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
Провести исследование функции и построить график: |
y = 3 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(x −1)(x −2) x − |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
Числа x и y удовлетворяют условию: y2 + x2 |
= 4 . Какое наименьшее и наибольшее значения может прини- |
|
||||||||||||||||||||
мать величина (x −3)2 + y2 ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
Зачет по математическому анализу. 1 семестр
Вариант 13
1. Сформулировать понятие: lim f (x) = +∞. 2. Теоретический вопрос. Может ли функция быть в одной точке
x→∞
бесконечно малой, а в другой точке - бесконечно большой? Ответ обоснуйте. Вычислить пределы:
|
|
|
5n +sin(n2 ) |
|
|
tgx +sin 2x |
|
|
|
|
|
3x +1 −2 |
|
x2 −2x |
tg 2 |
3 x |
|
|||||||
3. |
lim |
|
|
; 4. |
lim |
|
|
|
|
|
|
; 5. |
|
lim |
|
|
|
|
; 6. lim |
|
;7. lim (sin x) |
|
. |
|
|
n2 +3n +1 + 2n |
x(2x +3) |
|
|
2x |
2 |
−2 |
x −2cosπx |
|
|||||||||||||||
|
n→∞ |
|
x→0 |
|
|
|
x→1 |
|
x→2 |
x→π / 2 |
|
|
||||||||||||
8. |
Найти производную функции y = x2 x |
в произвольной допустимой точке x . В ответ записать ее значение в |
||||||||||||||||||||||
точке x0 |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9. |
Вычислить эластичность функции f (x) = |
|
|
|
ex |
в произвольной точке. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x2 +1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10. Функция y = y(x) заданасоотношением |
xy2 |
|
= sin |
|
неявно. |
Найтиеедифференциалвдопустимойточке(x,y). |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11. Найти радиус кривизны кривой |
y = |
x2 + |
1 |
в точке x |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.Провести исследование функции и построить график: y = x2 +1x .
13.Числа x и y удовлетворяют условию: y + x =π . Какое наименьшее и наибольшее значения может принимать
величина sin2 x +sin y ?
16
|
|
|
|
|
Зачет по математическому анализу. 1 семестр |
|
|
|
|
|||||||
1. Сформулировать понятие: lim f (x) = −∞. |
|
Вариант 14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. Теоретический вопрос. Докажите, исходя из определения произ- |
||||||||||||||||
|
|
|
′ |
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2cos 2x в любой точке x? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
водной, что (sin 2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вычислить пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. lim |
(n |
+1)(2n +5) |
|
|
arcsin3x −sin x |
|
|
cosπx −1 |
|
|
x −cosπ(x +1) |
|
2 (sin x−sin1)−1 |
|||
|
|
;4. lim |
|
;5. lim |
|
;6. lim |
|
|
|
;7. lim |
|
|
|
|||
|
n2 +n +1 |
x(x +5) |
log2 (x +2) −2 |
|
x −1 |
|
|
|||||||||
n→∞ n |
|
x→0 |
|
x→2 |
x→1 |
x→1 1 |
+ x |
|||||||||
8. Найти производную функции y = x2 x в произвольной допустимой точке x . В ответ записать ее значение в |
||||||||||||||||
точке x0 |
= 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Вычислить эластичность функции f (x) = x3ex 2 в произвольной точке.
10. |
Функция y = y(x) задана соотношением x + y =1 cos(xy)неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке |
||||||||||||
(x,y). |
|
|
|
|
|||||||||
11. |
Найти радиус кривизны кривой y = xex2 −1 в точке x |
=1. |
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
(x −1)(x +3) |
|
||||||||
12. |
Провести исследование функции и построить график: |
y = |
|
. |
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
x |
|
13. |
Числа x и y удовлетворяют условию: |
|
|
+ |
|
|
=1. Какое наименьшее и наибольшее значения может прини- |
||||||
|
|
|
|
мать величина y + x2 ?
17
Зачет по математическому анализу. 1 семестр
Вариант 15
1. Сформулировать понятие: lim f (x) = +∞. 2. Теоретический вопрос. Может ли функция быть непрерывной в |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
какой-либо точке, но не иметь в этой точке производную? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Вычислить пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
||||
|
n +1 + |
n −1 |
|
3x+3 |
−9 |
|
arcsin 3x |
|
2x −2x |
|
1 |
||||||
|
|
|
|
x3 |
−x |
||||||||||||
3. lim |
|
|
|
;4. lim |
|
|
|
; 5. lim |
|
;6. lim |
|
; 7. lim 2 − |
|
|
. |
||
|
2n |
+1 |
|
+ 2) |
|
arctgx + arctg4x |
3 −2x − x2 |
|
|||||||||
n→∞ |
|
x→−1 ln(x |
|
x→0 |
x→1 |
x→0 |
cos x |
|
|
||||||||
8. Найти производную функции y = xsin x |
в произвольной допустимой точке x . В ответ записать его значение в |
||||||||||||||||
точке x0 |
=π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Вычислить эластичность функции y = ex 2 x в произвольной точке.
|
|
|
x |
|
|
|
|
10. |
|
|
|
неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке |
|||
|
|
||||||
Функция y = y(x) задана соотношением x + y = sin |
|
|
|||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
(x,y). |
|
|
|
|
|
|
|
11. |
Найти радиус кривизны кривой y = ex 2 −1 x |
в точке x |
=1. |
|
|||
|
|
|
0 |
|
x |
|
|
12. |
Провести исследование функции и построить график: |
y = |
|
. |
|||
|
x2 +1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
Числа x и y удовлетворяют условию : xy = a, |
a > 0, |
x > 0 . Какое наименьшее значение может принимать |
||||
величина 2 y + x ? |
|
|
|
|
|
|
18
|
|
|
Зачет по математическому анализу. 1 семестр |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. Сформулировать понятие: |
lim f (x) = +∞. 2. Теоретический вопрос. Докажите, исходя из определения произ- |
||||||||||||||||||||
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
водной, что |
(x3 )′ = 3x2 в любой точке x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычислить пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||
|
n2 −2 |
n +1 +n n2 +1 |
|
sin 3x −sin x |
|
|
sinπx |
|
|
x −cosπx |
|
x +1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
−x−2 |
||||||||||||||
3. lim |
|
|
;4. lim |
|
|
|
|
;5. |
lim |
|
|
;6. lim |
|
|
|
;7. lim |
|
|
. |
||
|
n +3 |
x(x − |
4) |
ln(x −1) |
|
2x−1 −1 |
|
||||||||||||||
n→∞ |
|
x→0 |
|
x→2 |
x→1 |
x→2 |
2x −1 |
|
|
||||||||||||
8. Найти производную функции y = xln x |
в произвольной допустимой точке x . В ответ записать ее значение в |
||||||||||||||||||||
точке x0 = e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9. Вычислить эластичность функции y = e−x |
x2 +1 в произвольной точке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
10. Функция y = y(x) задана соотношением |
|
x |
= tg(xy) неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке (x,y). |
||||||||||||||||||
|
y |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Найти кривизну кривой y = x x2 +1 в точке x |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. Провести исследование функции и построить график: y = |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(x −1)(x +3) |
|
|
|
|
|
|
13. Прямой круговой конус имеет объем V. Какое минимальное значение имеет длина образующей конуса?
19
Зачет по математическому анализу. 1 семестр
Вариант 17
1. Сформулировать понятие: lim f (x) = −∞. 2. Теоретический вопрос. Может ли функция быть ограниченной
x→−∞
на множестве M, если ее производная не ограничена на этом множестве? Ответ обоснуйте. Вычислить пределы:
3. lim |
n +1 +3 n + 2 |
; 4. lim |
(x + 2)sinπ(x +1) |
; 5. lim |
ln(x +3) |
; 6. |
lim |
x −3x−1 |
; 7. |
lim( |
|||||
n + 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n→∞ |
x→0 |
sin(x + x2 ) |
|
x→−2 |
5 − x2 −1 |
x→1 log3 x |
|
x→3 |
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
Найти производную функции y = (ln x) |
|
в произвольной допустимой точке x . В ответ записать |
||||||||||||
x |
|||||||||||||||
в точке x0 = e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9. |
Вычислить эластичность функции |
f (x) = ln x |
x2 в произвольной точке. |
|
|
|
|
4 − x )ctgπx .
его значение
|
|
|
x |
|
|
|
|
10. |
Функция y = y(x) задана соотношением |
|
|
|
|
||
|
|
|
|||||
xy = ctg |
y |
неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
(x,y). |
|
|
|
|
|
||
11. |
Найти кривизну кривой y = ln x x2 |
в точке x |
=1. |
|
|
||
|
|
0 |
|
|
x |
||
12. |
Провести исследование функции и построить график: |
y = |
|||||
|
. |
||||||
3 (5 − x)(5 + x) |
|||||||
13. |
Длина образующей прямого кругового конуса равна L. Какое наибольшее значение |
||||||
|
имеет объем конуса? |
|
|
|
|
|
20