Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

Математический анализ

Файл:

[ Благовещенский, Пламеневский ] Математический анализ. Задачи для самостоятельной работы студентов 1 курса

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

300 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

9Предел функции нескольких переменных. Непрерывность.

9.1. Функция ρ : X × X → R+ называется метрикой (или расстоянием)

âмножестве X, åñëè

•ρ(x, y) = 0 x = y;

•ρ(x, y) = ρ(y, x) для любых x, y X;

•ρ(x, y) 6 ρ(x, z) + ρ(z, y) для любых x, y, z X.

9.2. Какие из следующих функций ρ являются метрикой на числовой прямой?

1. ρ(x, y) = (x − y)2,

2. ρ(x, y) = |xy|,

3. ρ(x, y) = sin |x − y|,

ρ(x, y) =

|x−y|

x2+2y2+1

5. ρ(x, y) =

|x−y|

1+|x−y|

9.3. Пусть

(x + y)2

f (x, y) =

x2 + y2

Доказать, что повторные пределы

lim

lim f (x, y)

lim

lim f (x, y)

x→0

µy→0

y→0

³x→0

существуют и равны, но не существует двойной предел

lim

f (x, y).

(x,y)→(0,0)

9.4. Пусть

f (x, y) = (x2 + y2) sin

sin

Доказать, что существует lim(x,y)→(0,0) f (x, y), но не существует ни один из повторных пределов.

9.5. Пусть существуют

lim f (x, y) = A,		lim			lim f (x, y)	¶		=	B.
(x,y)→(x0,y0)	x→x0			µy→y0
Доказать, что A = B. При каком условии существует и предел
lim	lim f	(	x, y		)¶?
y→y0 µx→x0
9.6. Пусть f (x, y) = xy e−(y−x2)2 . Доказать, что f (x, y)							→		0, когда точка

(x, y) стремится к ∞, оставаясь на фиксированном луче x = t cos α, y = t sin α, t → +∞, 0 6 α < 2π, íî f не является бесконечно малой при

x → ∞, y → ∞.

9.7. Какие из следующих функций непрерывны в начале координат?

	sin xy				2		2			x3+y3
	√			, x		+ y		= 0,			, x2 + y2 = 0,
1.	√	x2	+y2	, x		+ y		= 0,	3.	x2+y2	, x2 + y2 = 0,
1.								6	3.	( 0,	6
( 0,				x2 + y2 = 0;						( 0,	x2 + y2 = 0;
	sin xy				2		2			x3+y2
	√			, x		+ y		= 0,		x2+y2	, x2 + y2 = 0,
2.	√	x2	+y2	, x		+ y		= 0,	4.	x2+y2	, x2 + y2 = 0,
2.								6	4.	( 0,	6
( 0,				x2 + y2 = 0;						( 0,	x2 + y2 = 0.

9.8. Пусть f (x, y) = sin(πx/y). Доказать, что f непрерывна в своей
области определения E и не является равномерно непрерывной на мно-
жестве	E ∩ {(x, y) : x2 + y2 6 1}.

Какое условие теоремы Кантора нарушено?
9.9. Функция		x2y2
	f (x, y) =

		x4 + y4

непрерывна на множестве 0 < x2 + y2 < 2. Будет ли она равномерно

непрерывна на этом множестве? Будет ли она равномерно непрерывна на множестве 1/2 < x2 + y2 < 2?

9.10. Пусть f : R2 → R равномерно непрерывна на открытом ограниченном множестве D è A предельная точка D, не принадлежащая D. Доказать, что существует limM →A f (M ).

9.11. Пусть D открытое, ограниченное множество в Rn è f : D → R. Доказать, что f равномерно непрерывна на D в том и только в том

случае, если существует функция g, непрерывная в D, такая, что f = g íà D.

10Дифференцируемость функций нескольких переменных.

квадрате [ 1, 1]	[ 1, 1],p
10.1. Пусть f (x, y) =			3 x2y. Показать, что функция f непрерывна в
−	× −		в начале координат имеет частные производные,
−	× −
но не дифференцируема.
10.2. Пусть			( 0,		x2 + y2 = 0.
			( 0,		x2 + y2 = 0.
				x2y	, x2 + y2 6= 0,
		f (x, y) = x2+y2			, x2 + y2 6= 0,

Показать, что

1. f непрерывна в начале координат;

2. f не является дифференцируемой в начале координат;

3. Для любых функций x C1[−1, 1], y C1[−1, 1], таких, что

x(0) = y(0) = 0, x2(t) + y2(t) > 0 ïðè t =6 0,

функция e

f (t) = f (x(t), y(t)) дифференцируема при любом ти, при t = 0).

Выразить производную f ′(0) через x′(0) è y′(0). Объяснить,

e	6		(0))		′(0) +	y′	(		(0)	(0))	′(0)
f ′(0) = fx′ (e(0)				x				x
		x , y				f			, y		y .

t (в частнос-

почему

10.3. Теорема (H. A. Schwarz). Пусть функция f определена в открытой области D, и в этой области существуют первые производные fx′ è fy′. Кроме того, пусть в проколотой окрестности точки (x0, y0) существует одна из смешанных производных, например, fxy′′ , и существует предел

lim fxy′′ (x, y) = A.

(x,y)→(x0,y0)

Тогда в точке (x0, y0) существуют обе смешанные производные, они совпадают и равны A.

10.4. Пусть

(	0,	x2	+ y2	= 0.
f (x, y) =	xy xx22+−yy22	, x2	+ y2	6= 0,

Показать, что fxy′′ 6= fyx′′ . Какое условие теоремы Шварца (см. 10.3) нарушено?

10.7. Сделать замену переменных

10.5.Пусть u è v дважды непрерывно дифференцируемые функции. Найти d2 ((u + v)eu). Выразить ответ через du, dv, d2u, d2v.

10.6.Найти du(0, 1) è d2u(0, 1) из уравнения

u3 + xu − y = 0.

x = r cos ϕ, y = r sin ϕ в выражении

|y′′|

(1 + y′2)3/2 .

10.8. Найти

max (x + 2y),	min (x + 2y).
x2+y262x	x2+y262x

11 Ответы

3.18. 1. max{a, b}; 2. 2. 3.19. 1, 1, 1/2. 4.7. ω(δ) = δ/(1 + δ). 5.2. ϕ(a).

5.7. a) (x2

−

4n(4n

−

1)) sin x

−

8nx cos x;

b) C86

86!e. 5.8. y′

= 1,

y′′ = 0.

2 x

5.9. ab/ a2

b2 cos2 x)3/2. 5.10. t2y¨ + 2ty˙

2y = 0. 5.11. 1. 5.12.

(

sin

. 6.1. 1. 1

−

y = (2+π)−1(x−1)+1

2 ln(e2x +1)−x−e−x −

2 e−2x −arctan ex +C; 2.

(8x2 +2x+5)√

−

ln(x+ 21 +√

x2 + x + 1

x2 + x + 1)+C; 3. (x2 +x) ln(x2 +

x5)

5 x2

5x + 2√

arctan

2x−

π2/8. 7.2. πa√

. 7.3. π2

π4/32.

−

2π

−

√3

. 7.1.

7.4. πa2/2. 7.5. π/√

. 7.6.

. 7.7. a2 π

√

/ . 7.8. π2. 7.9. 27π/2.

1 60

( + 3 −3

3) 6

. 7.14.

7.10. π2/8. 7.11. π(π + 2 ln 2 − 4)/4.

7.12. πa3(π + 4)/6. 7.13. 4π2a3

H[(AB + ab)/3 + (Ab + aB)/6]. 7.15. πρgR4/4. 7.16. kq(

+ ln b−b a ). 7.17.

b−a

√

4πσqH(1/H −1/

2 . 7.18.

−

. 7.19.

Äæ. 7.20.

R + H )

−

, ðÿä

(14πR /15s) R/2g

0, 3

√

. 7.21.

8.7. a)

∞

сходится при |x−1| < 1, f (100)(1) = 1−2−101

n ∞ =0 ( − 1) n ( n +1)2 ( n +1) / 2

xn+1 +

3a /16

(4R/3α) sin(α/2)

n=0(1

2− − )(x

4 ; c)

= 1 2 n = 3

< x < +

; b)

sin[ π ( n +1) / 4]

/ ,

. 8.8.

−∞

∞

. 8.9.

. 8.10. p > . 10.2. 3.

| |

√

f ′(0) = x˙ (0)2y˙(0)/(x˙ (0)2 + y˙(0)2). 10.5. eu(u + v + 1)d2u + eud2v + eu(u + v + 2)(du)2 + 2eudu dv. 10.6. du(0, 1) = (dy −dx)/3, d2u(0, 1) = 2dy(dy −2dx)/9.

10.7.		2		2		2	2	3/2 10.8.			,		.
	(r		+ 2r′		− rr′′)(r		+ r′ )−		1 +	5 1 − 5

		23
Содержание
1	Алгебра множеств	1
2	Отношение эквивалентности	2
3	Последовательности. Предел последовательности.
	Частичные пределы.	4
4	Предел функции. Непрерывность.
	Равномерная непрерывность.	8
5	Производная	9
6	Первообразная. Определенный интеграл.	11
7	Приложения определенного интеграла	14
8	Функциональные последовательности и ряды.
	Интегралы, зависящие от параметра.
	Равномерная сходимость	17
9	Предел функции нескольких переменных.
	Непрерывность.	19
10	Дифференцируемость функций нескольких
	переменных.	21
11	Ответы	22

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
16.08.2013300 Кб31[ Благовещенский, Пламеневский ] Математический анализ. Задачи для самостоятельной работы студентов 1 курса.pdf
#
16.08.2013311.94 Кб92[ Гельфрейх ] Математический анализ. Задачи для коллоквиума и экзамена на 1 курсе (ПМФ).pdf
#
16.08.20134.84 Mб24Матанализ (1 сем) - Пламеневский.djvu
#
16.08.2013654.18 Кб16Матанализ (2 сем) - Фаддеев (печатный).pdf