Кулик Елементы теории принятия решений 2010

3). Запишем полученные минимумы по каждой строке в дополнительный столбец с правой стороны платёжной матрицы. Полу-

для П2, а ещё одно для П3). Наличие трёх значений 25 не влияет на конечный выбор стратегии A3, так как собственно сам выбор выполняетсяименно по столбцу Mi со значением в нём25.

7). Итем самым задача решена▄

71

Пример 1.4 (см.и ср. [2, с. 202-203])

Используя критерий Вальда, принять решение (выбрать стратегию) в случае следующей платёжной матрицы |aij| (матрицы выигрышей ЛПР):

Матрицавыигрышей 4 ×3

Решение

1). Требуется применитькритерий Вальда, длякоторого (по определению) справедливоследующее выражение:

где в каждой строке матрицы |aij| выбирается минимальное значение. Оптимальному решению соответствует такое решение (т.е. стратегия Ai при i =i*), которому соответствует максимум этого

). В данной задачеn=3 и m=4.

2). Вычислимминимум Mi по каждой строке платёжной матрицы. Для1йстроки:

M1= min{90,30, 25} = 25 .

Для2йстроки:

M2= min{75, 20, 35} = 20 .

Для3йстроки:

M3= min{27,80, 25} = 25 .

Для4йстроки:

M4= min{85, 5, 45} = 5 .

72

3). Запишем полученные минимумы по каждой строке в дополнительный столбец с правой стороны платёжной матрицы. Получим следующуютаблицу:

Матрицавыигрышей 4 × 3

4). Среди уже найденных минимумов Mi выберем тот из них, которыймаксимален.

Получаем,что ai* j* ={a13 , a33}, таккак

R = max{25,20, 25, 5} = 25 .

5). Запишем полученный результат R в дополнительную строку внизуплатёжной матрицы.Получим следующую таблицу:

Значению R=25 соответствуютуже 2 стратегии —A 1 и A3.

Согласно критерию Вальда стратегии A1 и A3 равноценны. Этот критерий очень осторожен, так как ориентирован на наихудшие условия, среди которых отыскивается наилучший и гарантированный результат.

7). Итем самым задача решена▄

73

Пример 1.5 (см.и ср. [2, с. 202-203])

Используя критерий Сэвиджа, принять решение (выбрать стратегию) в случае следующей платёжной матрицы |aij| (матрицы выигрышей ЛПР):

Матрицавыигрышей 4 ×3

Решение

1). Требуется применитькритерий Сэвиджа, длякоторого (по определению) справедливоследующее выражение:

т.е. в каждом столбце матрицы |aij| выбирается максимальное значение Dj, затем вычисляется значение

решению соответствует такое решение (т.е. стратегия Ai при i =i*), которому соответствует минимум этого максимума (т.е. ai* j* ). В

даннойзадаче n=3 иm=4.

2). Вычислим максимумы Dj по каждому j-му столбцу платёжной

матрицы,т.е. Dj = max{akj }.

1≤k≤m=4

Для1гостолбца:

D1= max{20, 75, 25, 85} = 85 .

Для2гостолбца:

D2= max{30, 20, 80, 5} = 80 .

Для3гостолбца:

D3= max{15, 35, 25, 45}= 45 .

74

3). Запишем полученные максимумы Dj по каждому j-му столбцу в дополнительную строку снизу платёжной матрицы. Получим следующую таблицу:

Матрицавыигрышей 4 ×3

4). Перейдём от матрицы выигрышей к матрице рисков. Для этого вычислимвсе элементыматрицы рисков по формуле

rij = Dj −aij

иполучим следующую матрицурисков:

Матрицарисков 4 ×3

5). Вычислиммаксимумы Wi покаждой строке матрицы рисков. Для1йстроки:

W1= max{65,50, 30} = 65 .

75

Пример 1.6 (см.и ср. [2, с. 203])

Используя критерий Гурвица (при χ=0.6 ), принять решение

(выбрать стратегию) в случае следующей платёжной матрицы |aij| (матрицы выигрышей ЛПР):

Матрица выигрышей 4 ×3

Решение

1). Требуется применитькритерий Гурвица, длякоторого (по опре-

делению) справедливоследующее выражение ( χ=0.6 ):

т.е. в каждом столбце |aij| выбирают минимальное значение Mi и

2). Вычислимминимум Mi по каждой строке платёжной матрицы. Для1йстроки:

M1= min{20,30, 15} =15 .

Для2йстроки:

M2= min{75, 20, 35}= 20 .

Для3йстроки:

M3= min{25,80, 25}= 25 .

Для4йстроки:

M4= min{85, 5, 45} = 5 .

77

3). Запишем полученные минимумы Mi по каждой строке в дополнительный столбец справа платёжной матрицы. Получим следующуютаблицу:

Матрицавыигрышей 4 ×3

4). ВычислиммаксимумыEi покаждойстрокеплатёжнойматрицы. Для1йстроки:

E1= max{20, 30,15} = 30 .

Для2йстроки:

E2= max{75,20, 35} = 75 .

Для3йстроки:

E3= max{25,80, 25} = 80 .

Для4йстроки:

E4= max{85, 5, 45} = 85 .

5). Запишем полученные максимумы Ei по каждой строке в ещё один дополнительный столбец справа платёжной матрицы. Получимследующую таблицу:

Матрицавыигрышей 4 ×3

6). Вычислим( при χ=0.6 ) значения hi для каждой строкиплатёж-

нойматрицы ( hi = 0.6 Mi +(1−0.6) Ei ). Для1йстроки:

h1 = 0.6 15 +(1−0.6) 30 = 9 +12 = 21 .

Для2йстроки:

h2 = 0.6 20 +(1−0.6) 75 =12 +30 = 42 .

Для3йстроки:

h3 = 0.6 25 +(1−0.6) 80 =15 +32 = 47 .

Для4йстроки:

h4 = 0.6 5 +(1−0.6) 85 = 3 +34 = 37 .

7). Запишем полученные значения hi для каждой строки в ещё

один дополнительный столбец справа платёжной матрицы. Получимследующую таблицу:

Матрицавыигрышей 4 ×3

Пример 1.7 (см.и ср. [2, с. 204-205])

Используя критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица (при χ=0.6 ),

принять решение (выбрать стратегию) по каждому из этих критериев в случае следующей платёжной матрицы |aij| (матрицы выигрышей ЛПР):

Матрицавыигрышей 3 ×4

Решение

1). Требуется применитькритерий Вальда, длякоторого (по определению) справедливоследующее выражение:

где в каждой строке матрицы |aij| выбирается минимальное значение. Оптимальному решению соответствует такое решение (т.е. стратегия Ai при i =i*), которому соответствует максимум этого

минимума (т.е. ai* j* ). В данной задачеn=4 и m=3.

Требуетсяприменить критерийСэвиджа, для которого( поопределению) справедливоследующее выражение:

т.е. в каждом столбце матрицы |aij| выбирается максимальное значение Dj, затем вычисляется значение rij = Dj −aij . Оптимальному

решению соответствует такое решение (т.е. стратегия Ai при i =i*), которому соответствует минимум этого максимума (т.е. ai* j* ). В

даннойзадаче n=4 иm=3.

80