Крючков Теория переноса нейтронов 2007

между вектором тока нейтронов и плотностью потока нейтронов – закон Фика:

Суммировав используемые при выводе закона Фика предположения, можно утверждать, что закон Фика справедлив для больших (размер среды много больше длины свободного пробега нейтрона в среде) слабопоглощающих (Σs >> Σa ) сред, состоящих из тяжелых

(атомная масся больше 10 а.е.м.) ядер, далеко (более трех длин свободного пробега нейтрона в среде) от локальных неоднородностей и в случае, если макроскопическое сечение рассеяния слабо зависит от пространственной переменной.

При выводе закона Фика для односторонних токов в диффузионном приближении получены выражения:

51

Необходимо отметить, что в рамках диффузионного приближения возможно учесть слабую анизотропию упругого рассеяния, если для определения коэффициента диффузии вместо полного макроскопического сечения использовать так называемое транспортное макроскопическое сечение Σtr , которое рассчитывается по

следующей формуле: Σtr = Σtot – µ Σs , где µ – средний косинус угла рассеяния в лабораторной системе. Если рассеяние в лабораторной системе изотропно, то средний косинус угла рассеяния равен нулю, и транспортное сечение равно полному сечению.

2.3. Уравнение диффузии моноэнергетических нейтронов

Подставив закон Фика (2.4) в уравнение баланса скоростей процессов (2.3), получим:

Уравнение (2.6) называется уравнением диффузии моноэнерге-

тических нейтронов и справедливо только, если выполняются все предположения, сделанные при выводе закона Фика, т.е. для больших слабопоглощающих сред, состоящих из тяжелых ядер, далеко от локальных неоднородностей и в случае, если макроскопическое сечение рассеяния слабо зависит от пространственной переменной. Во всех других случаях использование уравнения (2.6) для описания нейтронного поля будет приводить к неадекватным результатам, причем погрешность описания будет тем больше, чем существеннее нарушаются перечисленные условия.

Запишем уравнение диффузии моноэнергетических нейтронов для нескольких частных случаев:

1) стационарная задача (нет зависимости от временной переменной) –

divD(r )Φ(r ) – Σa (rr) Φ(rr) + ν f Σ f (rr) Φ(rr) + S(r ) = 0;

52

2) стационарная задача, среда неразмножающая (сечение деления равно нулю) –

divD(r ) Φ(r ) – Σa (r ) Φ(r ) + S(r ) = 0;

3) гомогенная (свойства среды не зависят от пространственной переменной) неразмножающая среда, стационарная задача –

D∆Φ(r ) – Σa Φ(r ) + S(r ) = 0.

Поскольку в случае гомогенной среды ее свойства не зависят от пространственной переменной, следовательно, в первом слагаемом коэффициент диффузии можно вынести за знак дивергенции, а дивергенция от градиента функции – лапласиан этой функции. Этот факт учтен в последнем уравнении. Разделим последнее уравнение на ко-

эффициент диффузии и введем новое обозначение: L2 = D

Σa

Введенная величина называется квадратом длины диффузии ней-

тронов, а L [см] – длиной диффузии нейтронов соответственно.

Перепишем последнее уравнение в виде

Еще раз отметим, что (2.7) – стационарное уравнение диффузии в гомогенной неразмножающей среде с внешним источником нейтронов.

2.4. Условия однозначного выбора решения уравнения диффузии моноэнергетических нейтронов

в физических задачах

Уравнение (2.6) (или (2.7)) – дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции Φ(r,t) . Следовательно, общее

решение этих уравнений имеет две произвольные константы, которые необходимо определить из физической постановки задачи. В

53

данном разделе будут рассмотрены условия, которые позволяют это сделать.

Условия для функции плотности потока нейтронов, сле-

дующие из ее определения. Эти очевидные условия отражают тот факт, что по определению функция плотности потока нейтронов не отрицательна и ограничена.

Начальное условие по времени. Это условие важно для реше-

ния нестационарного уравнения диффузии (2.6) и говорит о том, что в начальный момент времени t = 0 функция плотности потока известна, например, из решения соответствующего стационарного уравнения: Φ(r , 0) = f (r ) , где f (r ) – известная функция.

Условие на границе раздела сред с разными свойствами. Это условие сшивки плотности потока нейтронов на границе раздела двух сред с разными свойствами. Необходимо отметить, что при получении этого условия будут использоваться выражения для односторонних токов в области около границы раздела двух сред, поэтому погрешность решения уравнения диффузии в этой области будет высокой. В то же время, допуская большую погрешность решения в области около границы раздела, получаются условия для сшивки решений на границы раздела двух сред, которые гарантируют хорошую точность решения вне этой области. Рассмотрим границу раздела сред (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Граница раздела сред с разными свойствами

54

Если на линии границы нет локальных источников и поглотителей нейтронов, то количество нейтронов, которые пересекают единичную площадку, расположенную в точке rS , из первой среды во

вторую, равно количеству нейтронов, которые влетают во вторую среду из первой через эту же площадку, и наоборот. Это значит, что выполняются следующие точные равенства:

которые отражают этот факт. Воспользуемся для односторонних токов выражениями (2.5):

Это уже приближенные (с точностью до применимости диффузионного приближения) соотношения. После сложения этих равенств получим одно условие – Φ1(rS ,t) = Φ2 (rS ,t) , а после вычитания –

второе: D1 nΦ1 (rS ,t) = D2 nΦ2 (rS ,t) .

Таким образом, на границе раздела двух сред с разными свойствами функция плотности потока нейтронов и проекции вектора тока на нормаль непрерывны.

Условие на невогнутой границе «среда – вакуум». Рассмот-

рим невогнутую границу «среда – вакуум», т.е. такую границу, что все нейтроны, покинувшие среду, обратно возвратиться из вакуума

всреду не могут. Необходимо отметить, что при получении этого условия будет использоваться выражение для одностороннего тока

вобласти около границы «среда – вакуум», поэтому погрешность решения диффузионного уравнения в этой области будет высокой. В то же время, допуская большую погрешность решения в области около границы среды и вакуума, получается условие для плотности потока на этой границе, которое гарантирует хорошую точность решения внутри среды. Рассмотрим границу раздела двух сред

(рис. 2.3).

55

среды и вакуума. При этом, естественно, точность описания нейтронного потока около границы еще более ухудшается, но это не оказывает существенного влияния на точность описания нейтронного поля на расстояниях более трех длин свободного пробега нейтрона от границы.

Используя более точные приближения, чем диффузионное, можно показать, что (для обеспечения наилучшей точности описания плотности потока нейтронов внутри среды в рамках диффузионного приближения) длину линейной экстраполяции плотности

потока в вакуум надо рассчитывать не как 23 λtr , а как 0,71λtr .

Условие локализованного источника. Рассмотрим среду, в

которой в точке rr0 расположен точечный источник мощностью S

[1/c]. Перепишем уравнение (2.3) для случая стационарной задачи и данного вида источника:

– div ir(rr) – Σa (r ) Φ(r ) + ν f Σ f (r ) Φ(r ) + S δ(r – r0 ) = 0,

где δ(r – r0 ) – дельта-функция Дирака, которая равна единице, если r = r0 , и нулю – в противном случае. Окружим источник сферой

радиусом R с центром в точке расположения источника, проинтегрируем последнее равенство по объему получившегося шара и возьмем предел при стремлении радиуса шара к нулю:

Во втором и третьем членах в левой части уравнения стоят интегралы от ограниченных функций при стремлении области интегрирования к нулю, так как объем шара бесконечно малого радиуса равен нулю. Предел от этих интегралов равен нулю. Интеграл от последнего члена в левой части равен S. В первом же члене перейдем от интеграла по объему шара к интегралу по его поверхности

58

Г. В результате получим следующее условие локализованного ис-

стоит выражение, которое равно числу нейтронов, которые пересекают в единицу времени поверхность сферы бесконечно малого радиуса, окружающей источник. Естественно, что это число нейтронов равно мощности внешнего источника.

2.5. Характерные задачи стационарной теории диффузии моноэнергетических нейтронов

В дальнейшем в этой главе будут рассматриваться стационарные задачи для гомогенных неразмножающих сред. Уравнение диффузии моноэнергетических нейтронов для этого случая имеет вид (2.7):

∆Φ(r ) – L12 Φ(rr) + D1 S(rr) = 0.

Процесс решения этого уравнения состоит из нескольких этапов: запись общего уравнения (2.7) применительно к конкретной геометрии среды (лапласиан в первом члене и переменные, от которых зависит решение) и конкретному виду внешнего источника; нахождение общего решения дифференциального уравнения второго порядка; определение констант, входящих в это решение. Рассмотрим три характерные геометрии: сферическую, плоскую и цилиндрическую.

Точечный источник мощностью q [1/с] в бесконечной неразмножающей гомогенной среде. В данном случае решение бу-

дет зависеть от r – расстояния от источника до точки наблюдения. В качестве оператора Лапласа необходимо взять часть лапласиана в сферической геометрии, которая отвечает за пространственную переменную, так как задача полностью симметрична по полярному и азимутальному углу и соответствующие члены в лапласиане обратятся в нуль. Член источника S(r ) имеет вид qδ(r) . Поэтому для

данной постановки задачи уравнение (2.7) запишется в виде

59

Вне точки расположения источника, т.е. для r > 0, последний член, содержащий дельта-функцию, будет равен нулю и уравнение примет вид

Общее решение этого однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид

Для нахождения констант, прежде всего, рассмотрим поведение решения при r → ∞ . В этом случае второй член в решении неограниченно возрастает, что нарушает условие ограниченности функции плотности потока нейтронов во всей области ее определения. Поэтому константа C2 = 0. Для определения оставшейся константы

вектора тока всегда совпадает с направлением внешней нормали к

60