Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

и зная вид спиноров в паулиевской реализации u(0,τ), получаем в вейлевской реализации

1 0

Так как ψ удовлетворяет уравнению Дирака, можно выразить ϕ в

С помощью этого соотношения можно установить связь между со-

стояниями k,τ и волновыми функциями ϕ(αk ,τ) ( p) . Этого можно

добиться путем введения так называемых спинорных состояний, определяемых следующим образом:

Учитывая точный вид функции ϕ, получим формулу, связывающую спиновые состояния с состояниями k,τ

При получении соотношения (1.186) мы воспользовались эрмито-

востью матрицы (k σ)1/2 . Очевидно, что матрица k σ 1/2 не яв-

⎝2m

ляется унитарной. Поэтому базис p,α – неортогональный

При этом индекс α не связан с каким-либо квантовым числом.

1.3. Лоренц-инвариантность как источник симметрии

Весьма привлекательной выглядит идея о том, что локальная симметрия всех фундаментальных взаимодействий частиц материи и соответствующих безмассовых калибровочных полей способна генерироваться динамически. Обратимся к роли лоренцевской симметрии в динамической генерации калибровочной симметрии.

При рассмотрении наиболее общих взаимодействий между векторным полем и фермионной материей удобно использовать для представления фермионов 2-компонентные левые вейлевские поля ψLi . Для простоты выберем случай двух вейлевских полей

(i =1,2) , которые будем объединять в дираковско-подобное поле

ψ= ψL1 .ψL2

Наиболее общая плотность лагранжиана, имеющего члены до размерности 4 по массе, а также содержащего векторное поле спина 1 и два вейлевских фермиона:

72

Лоренцевское условие (∂μ Aμ = 0) подразумевает, что после соответствующего изменения масштаба кинетическое слагаемое для

Aμ записывается в обычной − 14 FμνFμν форме.

Заметим, что m jk = mkj , как следствие ферми-статистики. Все-

гда возможно упростить плотность лагранжиана (1.220), определяя

два новых левых вейлевских спинорных поля, которые преобразу-

2

ют «зарядовый член» ∑ e jk Aμψ+L j σμψLk в диагональную форму

j,k =1

2

∑ek Aμψ+Lk σμψLk . k=1

Теперь предположим, что происходит спонтанное нарушение лоренцевской симметрии (СНЛС). Пусть векторное поле Aμ имеет

при СНЛС. В этом выражении постоянный лоренцевский 4-вектор nμ – классическое фоновое поле, которое появляется тогда, когда

векторное поле Aμ формирует вакуумное среднее VEV. Подстанов-

ка (1.221) в (1.220) показывает, что кинетический член для векторного поля Aμ трансформируется в кинетический член для aμ

(Fμν(A) = Fμν(a) ), а массовые члены и члены со взаимодействием ис-

пытывают изменения. Что касается взаимодействия, то опять-таки оказывается возможным провести унитарное преобразование к двум новым вейлевским фермионным полям

2

nμ ∑ek ψ+Lk σμψLk точно сократился в плотности лагранжиана

k =1

L(aμ + nμ,ψ) .

73

Однако массовые члены при преобразованиях (1.222) изменяют-

ся:

цевскую симметрию. Если предположить, что все лоренцнеинвариантные эффекты, вызванные СНЛС, являются физически ненаблюдаемыми, то из этого базисного принципа можно получить калибровочно-инвариантные теории (абелевы и неабелевы), стартуя с произвольного релятивистски-инвариантного лагранжиана.

Применяя этот принцип к рассматриваемому случаю, получаем, что СНЛС подразумевает, что для ej + ek = 0 мы можем иметь

только ненулевые значения m jk . После использования этих условий на зарядовые члены остающиеся «следы» СНЛС содержатся в массовом члене Aμ2 Aμ2 векторного поля. Поэтому остающееся условие ненаблюдаемости СНЛС:

несовместимо с лоренцевской калибровкой (∂μ Aμ = 0) , уже использованной для векторного поля aμ . Поэтому, чтобы удовлетво-

рить условию (1.224), следует считать M 2 = 0 и f = 0 . Таким об-

разом, используя принцип ненаблюдаемости СНЛС, условие лоренцевской калибровки и присутствие в лагранжевой плотности членов с размерностью не выше четырех, приводит к плотности лагранжиана киральной электродинамики:

74

с ограничением m jk = 0 до тех пор, пока ej + ek = 0 . Вообще гово-

ря, при ∑ek3 ≠ 0 даже форма (1.225) ведет к наблюдаемости СНЛС

фермионные поля, однако в импульсном представлении преобразование (1.222) соответствует замене импульса каждого фермиона на величину ek nμ . Это вызывает нарушение в сохранении импульса,

которое можно отнести к ненаблюдаемым, поскольку заряд, ассоциированный с током jμA , сохраняется. Это означает, что аномалия

в сохранении тока будет также нарушать сохранение импульса за счет членов, пропорциональных nμ . Такое нарушение импульса

приводило бы к наблюдаемым следствиям нарушения Лоренцсимметрии. Поэтому есть только один способ удовлетворить принципу ненаблюдаемости СНЛС – потребовать, чтобы выполнялось условие:

Для простого случая двух вейлевских полей это означает, что два заряда должны быть равны по величине и противоположны по знаку e1 + e2 = 0. Это как раз то условие, которое необходимо для не-

нулевых массовых матричных элементов m12 = m21 ≠ 0 . Если заря-

ды ненулевые, диагональные (майорановские) массовые матричные элементы обращаются в ноль: m11 = m22 = 0 и два вейлевских поля,

75

соответствующих массивной частице, описываются дираковским

ΨL1

полем Ψ = .

Ψ+L2

Таким образом, мы приходим к калибровочно-инвариантной КЭД как единственной версии теории, которая совместима с ло- ренц-инвариантностью при наличии СНЛС.

Теперь обратимся к многовекторному случаю и покажем, что он приводит к неабелевой калибровочной симметрии. Предположим,

удовлетворяющих лоренцевскому калибровочному условию, но не

станты связи.

Матрицы r ×r m и T содержат произвольные фермионные массы и константы связи, описывающие взаимодействия между фермионами и векторными полями.

Предположим, что векторные поля имеют вид

после СНЛС. Здесь снова постоянные 4-вектора nμi – VEV векторных полей. Подставляя (1.228) в плотность лагранжиана (1.227) обнаруживаем, что кинетический член для векторных полей Aμi

трансформируется в кинетический член для векторных полей aμi

76

(Fμν(A) = Fμν(a) ), а массовые и члены со взаимодействием соответствующим образом изменяются. Сначала рассмотрим бесконечно малые nμi 4-вектора. Далее воспользуемся принципом ненаблюдаемо-

сти СНЛС, требуя точного сокращения между не-Лоренц- инвариантными членами одинаковой структуры в плотности ла-

гранжиана L(aμi + nμi ,ψ) для любого набора инфинитезимальных

векторов nμi . Определим новый набор векторных полей aμi , определяемых инфинитезимальным преобразованием

которое включает константы связи αijk и линейные «калибровочные» функции ωi (x) . Потребуем, чтобы Лоренц-нарушающие члены в кубических и четверных взаимодействиях векторных полей aμi сокращали все вклады, содержащие произвольный инфините-

Из условия (а) следует, что матрицы αk образуют присоединенное представление алгебры Ли, относительно которого векторные поля преобразуются, согласно соотношения (1.229).

Обратимся к массовому члену для векторных полей в лагранжиане L(aμi + nμi ,ψ) . Если его выразить в терминах преобразован-

77

В этом выражении для вещественной эрмитовой матрицы M 2 использовано симметрийное свойство (M 2 )ij = (M 2 )ji и оставлены

только члены первого порядка по nμi . Два типа «остатков» СНЛС

имеют различные структуры, следовательно, должны обращаться в ноль независимо. Из-за антисимметрии структурных констант, первое слагаемое в (1.232) можно переписать в форме, содержащей

коммутатор матриц M 2 и αk :

Таким образом, массовая матрица M 2 должна коммутировать со всеми матрицами αk , чтобы удовлетворить соотношению (1.233) для всех наборов «калибровочных» функций ωi = nμi xμ . Так как

матрицы αk образуют неприводимое представление алгебры Ли, лемма Шура утверждает, что матрица M 2 должна быть кратной единичной матрице (M 2 )ij = M 2δij , причем для всех векторных

полей.

Условие обращения в ноль второго члена в выражении (1.232)

для любого бесконечно малого nμi . Поскольку лоренцевское калибровочное условие уже использовано, мы не можем вводить дополнительные условия типа ni ai = nμi aμi . Поэтому мы с необходимостью приходим к условию

В) безмассовости векторных полей (M 2 )ij = M 2δij = 0 .

78

фермионными полями. В терминах преобразованных векторных

Можно убедиться, что лоренц-нарушающие члены (второй и третий) могут быть исключены, если ввести новый набор фермионных полей Ψ с помощью преобразования

Один из компенсирующих членов появляется из фермионной кинетической части, причем компенсация происходит для любого набо-

ра «калибровочных» функций ωi (x) тогда, и только тогда, если: Г) матрицы T i образуют представление алгебры Ли со струк-

турными константами αijk :

Вообще говоря, это будет приводимое представление, но для простоты считаем его неприводимым. Это означает, что фермионы Ψ относятся к неприводимому мультиплету, определяемому матри-

цами T i . Унитарное преобразование (1.236) изменяет массовый член фермионов следующим образом:

Обращение в ноль Лоренц-неинвариантного члена (второго в (1.238) для произвольного набора «калибровочных» функций

ωi (x) требует, чтобы матрица m коммутировала со всеми матри-

цами T k . Согласно лемме Шура, это означает, что матрица m пропорциональна единичной матрице.

Д) все фермионные поля одного неприводимого мультиплета должны иметь одинаковую массу:

79

Если же фермионы разлагаются в несколько неприводимых мультиплетов, их массы в пределах одного мультиплета должны быть одинаковыми.

Объединяя все условия (А)–(Е), полученные из принципа ненаблюдаемости СНЛС для любого набора инфинитезимальных век-

торов nμi , примененного к лагранжевой плотности (1.227), получаем калибровочно-инвариантную янг-миллсовскую теорию для новых полей aμi и Ψ:

сальная калибровочная константа связи, извлекаемая из соответствующих матриц αijk = gaijk и T i = gTi .

Обратимся теперь к обобщению VEV векторного поля с инфинитезимального на конечные фоновые классические поля nμi . К сожалению, не удается обобщить СНЛС (1.228) на конечные вектора nμi . С другой стороны, nμi для различных векторных полей мо-

гут не коммутировать и могут быть ориентированы в разных направлениях в лоренцевском пространстве, приводя к ненулевым напряженностям в соответствующем вакууме. Такой вакуум не был бы Лоренц-инвариантным, и это означало бы физическое нарушение Лоренц-инвариантности. Эту проблему можно автоматически избежать, если конечный СНЛС вектор сдвига в соотношении

(1.228) выбрать в факторизованной форме nμi = nμ f i , где nμ –

пользуя выражение (1.240) для лагранжиана, нетрудно показать, что эффекты СНЛС не будут наблюдаемыми для любого набора

80