Добродеев Колебания и оптика. Атом и атомное ядро 2011

жение (F − в ньютонах, х − в сантиметрах). Тело сместили из положения равновесия на х0 = 6 см и отпустили. Определите энергию колебаний Е. Чему равна максимальная скорость тела υm, если период колебаний

Т= 0,6 с?

3.5.Во сколько раз n изменяется энергия малых колебаний математического маятника при уменьшении его длины в γ = 3 раза и увеличении амплитуды в β = 2 раза?

3.6.Пружинный маятник, расположенный на гладкой горизонтальной поверхности, вывели из положения равновесия и отпустили. Через какую часть периода η кинетическая энергия прикрепленного к пружине тела будет равна потенциальной энергии пружины?

3.7.Брусок массой М = 1 кг, расположенный на гладкой горизонтальной поверхности, совершает колебания под действием двух прикрепленных к нему с противоположных сторон пружин. Направление колебаний совпадает с осью пружин. В момент прохождения бруска через положение

равновесия на него вертикально падает пластилиновый шар массой m = 0,21 кг и прилипает к бруску. Во сколько раз η изменится амплитуда колебаний?

3.8. Если, взявшись за шарик, отклонить нить математического маятника на угол α = 60° и отпустить, то при прохождении положения равновесия шарик будет иметь скорость υ0 = 2,5 м/с. Определите период малых колебаний маятника.

3.9. Пуля массой m, летящая со скоростью υ, попадает в тело массой

от времени

3.10.Амплитуда малых колебаний математического маятника, стоя-

щего на тележке, равна А1, а амплитуда колебаний тележки А2. Длина нити маятника l. Определите максимальные скорости маятника и тележки. Трением пренебречь.

3.11.За некоторый промежуток времени амплитуда колебаний пру-

жинного маятника в воздухе и в воде уменьшается в n1 = 1,1 и n2 = 20 раз соответственно. Во сколько раз η за это время потери механической энергии маятника в воде больше, чем в воздухе?

3.12.Амплитуда затухающих колебаний механической системы изменяется по закону A(t) = А0е−α t (α = 0,01 с−1, е = 2,7 − основание натураль-

21

ных логарифмов). Какую работу Атр совершают силы трения (сопротивления) над системой за время τ = 50 с, если начальная энергия E0 = 10 Дж?

3.13. Механическая система может совершать вынужденные гармонические колебания под действием силы, изменяющейся с круговой частотой ω. На рис. 3.8 изображена зависимость амплитуды колебаний системы от частоты ω (резонансная кривая). Постройте один под другим в одинаковом масштабе графики колебаний при частотах вынуждающей силы: ω1 = 10 рад/с; ω2 =

=20 рад/с; ω3 = 40 рад/с.

3.14.Тело массой М, прикрепленное к

тудой А. Определить работу вынуждающей силы Авн за период, если коэффициент трения тела о поверхность μ.

3.15. Мальчик сидит на лёгкой доске, подвешенной на двух длинных веревках (качели). Какую механическую работу А совершил мальчик, раскачав качели до угловой амплитуды αm = 0,2 рад, если η = 20 % энергии он израсходовал на преодоление сил сопротивления. Масса мальчика m = 40 кг, расстояние от точки подвеса до центра тяжести мальчика l = 10 м. Являются ли колебания установившимися, если работа мальчика за период превышает (по абсолютной величине) работу сил сопротивления?

3.16.При какой скорости υ поезда вагоны будут особенно сильно раскачиваться под действием толчков колес на стыках рельс, если длина рельс b = 12,5 м, нагрузка на рессору Р = 55 кН, жесткость рессоры k = 60 кН/м?

3.17.Какой длины l необходимо подвесить в вагоне математический маятник, чтобы при скорости поезда υ = 67,5 км/ч он раскачивался наиболее сильно? Длина рельс b = 12,5 м.

3.18.Мальчик несет на коромысле ведра с водой, период свободных колебаний которых Т = 1,6 с. При какой скорости движения вода начнет особенно сильно выплескиваться, если длина шага мальчика L = 60 cм?

4. Сложение гармонических колебаний

При сложении гармонических колебаний одной частоты, происходящих по одному направлению, часто используется метод век-

торных амплитуд.

22

Гармоническое колебание x = A cos (ωt+φ) изображается вектором амплитуды A , длина которого равна амплитуде (в определенном масштабе), угол между вектором и осью 0х равен начальной фазе (рис. 4.1).

Рис. 4.1 Рис. 4.2

При сложении двух колебаний x1 = A1 cos (ωt + φ1) и x2 = A2 cos (ωt + φ2) этот метод (рис. 4.2) дает следующие значения амплитуды А и начальной фазы φ суммарного колебания:

Задачи для решения в классе и дома

4.1. Вектор A вращается в одной плоскости с осью 0х вокруг своего начала, совпадающего с точкой х = 0. Угловая скорость вращения ω. На-

пишите зависимость от времени Ах(t) (проекции конца вектора A ), если в начальный момент угол между вектором и осью составлял φ0. Как называются величины А, ω и φ0, если полученное выражение описывает некоторые гармонические колебания?

4.2. Векторы A1 и A2 и ось 0х лежат в одной плоскости. Начала век-

торов совпадают с точкой х = 0 на оси. Углы между векторами и осью равны φ1 и φ2 соответственно. Получите общие выражения для модуля

вектора A , равного сумме указанных векторов, и для угла φ (для tg φ) между этим вектором и осью 0х. Напишите зависимость проекции вектора

A от времени Ах(t), когда векторы A1 и A2 станут вращаться в одном направлении с угловой скоростью ω в общей с осью 0х плоскости. Выра-

23

зить эту зависимость через проекции концов А1х и А2х исходных векторов,

атакже через модуль А и угол φ для суммарного вектора.

4.3.Под воздействием одной волны поплавок колеблется в верти-

кальном направлении по закону у1(t) = 3соs(5t + φ), под воздействием другой − у2(t) = 4 cos(5t + φ2) (у − в сантиметрах, t − в секундах). Определите частоту и амплитуду колебаний поплавка при набегании на него одновременно двух этих волн, если φ2 − φ1 = π/2. Учесть, что смещение поплавка

y(t) = у1(t) + у2(t).

4.4.Определите амплитуду колебаний и запишите закон движения поплавка (см. задачу 4.3), если: 1) φ2 = φ1 = 0; 2) φ1 = −3π/4, φ2 = π/4.

4.5.Смещение точки х(t) равно сумме двух гармонических функций

х1(t) = A sin ωt и х2(t) = 0,5A sin ωt. Будет ли х(t) гармонической функцией? Постройте примерный график функции х(t).

4.6.Когда шарик математического маятника проходил положение

равновесия и двигался со скоростью υт в направлении оси 0х, ему сообщили такую же скорость в направлении оси 0у. Запишите закон движения шарика х(t), y(t) такую же скорость в направлении оси 0у. Запишите закон движения шарика х. Определите уравнение траектории движения шарика

y(x) и амплитуду колебаний А, если начальная амплитуда A1 = 5 см. Рассмотрите случай, когда шарику сообщили ту же скорость в направлении, противоположном оси 0у.

4.7.В момент t = 0, когда шарик математического маятника имел максимальное отклонение от положения равновесия х(0) = ±A по оси 0х, ему сообщили скорость в направлении оси 0у. Амплитуда колебаний шарика в направлении оси 0у равна первоначальной амплитуде А. Запишите закон движения шарика х(t), y(t) для обоих случаев. По какой траектории и в каком направлении движется шарик?

4.8.Материальная точка совершает колебания в двух взаимно пер-

пендикулярных направлениях так, что х(t) = А1 cos ωt, y(t) = А2 cos (ωt + φ). Напишите уравнение траектории точки, если: 1) φ = 0; 2) φ = π; 3) φ = π/4,

4)φ2 = π/2.

4.9.Маленький шарик подвешен на легкой пружине

24

5. Механические волны

Волны – это колебания, распространяющиеся в пространстве. Механические волны распространяются в среде (твердой, жид-

кой, газообразной).

Волны характеризуются скоростью υ, частотой ν и длиной волны λ.

Скорость волны – это скорость распространения колебаний. За частоту волны принимают частоту колебаний частиц среды.

Длина волны равна расстоянию, на которое распространятся волна за период:

λ = υТ.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковых фа-

зах, называется волновой поверхностью.

В частности, волновой поверхностью является фронт волны – геометрическое место точек, до которых дошли колебания в данный момент.

Линии, перпендикулярные к волновым поверхностям, называются лучами. Они указывают направление распространения волны.

Волновые поверхности бывают плоскими, сферическими и др. В соответствии с этим и волны называют плоскими, сферическими и т.п.

Воздействие волн определяется той энергией, которую они переносят. С этим связана такая их характеристика, как интенсивность волны.

Интенсивность волны J равна отношению энергии ∆Е, переносимой волной за время ∆t через поверхность, перпендикулярную лучам, площади ∆S, к величине этой площади и промежутку времeни ∆t:

Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды

колебаний:

J = kA2.

Механические волны бывают двух типов: поперечными и продольными.

25

Поперечными являются волны, в которых колебания частиц среды происходят перпендикулярно направлению распространения волны.

Продольными являются волны, в которых колебания происходят параллельно направлению распространения волны.

Механические волны, при распространении которых деформация среды является упругой, называются упругими.

Примером упругих волн являются звуковые волны – волны с частотами от 20 до 20000 Гц, воспринимаемые человеческим ухом.

В более широком смысле в физике звуковыми называют любые упругие волны в среде.

Волны с частотой, меньшей 20 Гц, называются инфразвуком. Волны с частотой, большей 20000 Гц, называются ультразвуком.

Учет запаздывания колебаний среды на любых расстояниях от источника, создающего волны, в связи с конечной скоростью их распространения, позволяет установить зависимость смещения частиц среды от времени и координат, называемую иногда уравне-

нием волны.

Уравнение плоской монохроматической волны имеет вид:

а(t,x) = Acos(2πt/T – 2πx/λ),

где а(t,x) – смещение частиц среды в зависимости от времени и координаты, А – амплитуда, Т – период колебаний, λ – длина волны. Это волна, бегущая по оси 0х.

Монохроматической называется волна с одной частотой (периодом) колебаний.

Явление наложения волн от когерентных источников, приводящее к перераспределению интенсивности, называется интерферен-

цией.

Волны от когерентных источников, или когерентные волны – это волны с одинаковой частотой и постоянной во времени разностью фаз.

В результате интерференции двух волн, бегущих навстречу друг другу, возникает стоячая волна.

Уравнение плоской волны, распространяющейся в положительном направлении оси х, имеет вид:

26

в противоположном направлении –

Складывая эти две волны, получим уравнение стоячей волны:

Амплитуда колебаний частиц среды в разных точках стоячей волны будет различной, тогда как в бегущей плоской волне амплитуда колебаний будет везде одинаковой.

В точках, координаты которых удовлетворяют уравнению

2 A0 cos 2π xλi = 0 ,

колебаний частиц среды не происходит вовсе. Такие точки называют узлами стоячей волны.

В точках, координаты которых удовлетворяют уравнению

амплитуда колебаний максимальна. Такие точки называют пучно-

стями.

Длины волн и собственные частоты колебаний струны с закрепленными концами равны:

Примеры решения задач

Пример 5.1. От точечного источника звука мощностью Р распространяются равномерно по всем направлениям звуковые волны (такой источник называют изотропным). Найти, как зависит амплитуда колебаний А от расстояния до источника r (рис. 5.1).

27

туда обратно пропорциональна расстоянию до источника.

Ответ: A1 = r2 .

A2 r1

Пример 5.2. Изобразить на одних и тех же графиках (рис 5.2) положение частиц среды для бегущей (рис. 5.2, а) и стоячей волны (рис 5.2, б) в зависимости от координаты х в момент t + ∆t пунктиром. Положение частиц среды в зависимости от координаты х изображено на графиках в момент t сплошной линией. ∆t − небольшой промежуток времени по сравнению с периодом T (∆t << T).

Решение. Согласно уравнению бегущей волны

а(t,x) = Asin(2πt/T – 2πx/λ),

смещения через время ∆t будут описываться выражением

а(t+∆t,x) = Asin[2π(t+∆t)/T – 2πx/λ] = Asin[(2πt/T – 2πx/λ)+ 2π∆t/T],

что для графика бегущей волны означает сдвиг всех точек кривой направо на величину 2π∆t/T.

Если считать, что в момент t достигается максимальное смещение А в стоячей волне, а уравнение стоячей волны имеет вид

28

а(t,x) = Asin(2πx/λ) cos(2πt/T),

то в момент t+∆t она будет меньше.

Искомые графики изображены на рис. 5.2 пунктиром.

Задачи для решения в классе и дома

5.1. На рис. 5.3 изображен профиль длинного резинового шнура, когда по нему бежит волна. Изобразите один под другим профили шнура через четверть, половину и три четверти периода колебаний точек шнура.

5.2. B некоторой точке на поверхности воды возбуждают колебания по закону y(t) = Acosωt. От этой точки (источника) распространяются волны со скоростью V. На какую величину по времени ∆t и по фазе ∆φ запаздывают колебания в точках, расположенных на расстоянии r от источника?

5.3. Плоская поперечная волна задана уравнением y(t,x) = = 3·10−4·cos(314t − х) (у и х − в метрах, t − в секундах). Определить частоту ν, скорость V и длину волны λ. Каков период колебания частиц среды, в которой распространяется эта волна?

5.4.Для волны, заданной в задаче 5.3, определите скорость υ и ускорение а частиц среды в зависимости от t и х. Найдите максимальные значения этих величин υm, аm.

5.5.Самолет летит горизонтально на высоте Н = 4 км над поверхностью Земли со сверхзвуковой скоростью. Звук дошел до наблюдателя через время t = 10 с после того, как над ним пролетел самолет. Определить скорость υ самолета. Скорость звука с = 330 м/с.

5.6.Во сколько раз п изменится длина звуковой волны при переходе

из воздуха в воду? Скорость звука в воздухе υ1 = 340 м/с, в воде –

υ2 =1,4 км/с.

5.7.На расстоянии l = 0,85 км от наблюдателя ударяют молотком по железнодорожному рельсу. В безветренную погоду, приложив ухо к рельсу, наблюдатель услышал звук на τ = 2,33 с раньше, чем он дошел по воздуху. Найдите скорость звука υC в стали, если в воздухе его скорость

υB = 0,34 км/с.

5.8. Из орудия произведен выстрел под углом α = 30° к горизонту. Артиллерист услышал звук разрыва снаряда, упавшего на землю, через τ = 100 с после выстрела. Какова начальная скорость снаряда υ0. Сопротивлением воздуха пренебречь. Скорость звука υ = 340 м/с.

29

5.9.Точечный изотропный источник расходует на возбуждение звука мощность Р. Какова интенсивность звука J (энергия, переносимая волной через единицу поверхности в единицу времени) на расстоянии r от источника? Поглощением звука в среде пренебречь. Во сколько раз отличаются

амплитуды колебаний А1 и А2 частиц среды, расположенных на расстояниях r1 и r2 = 2r1, от источника (J ~ А2)?

5.10.Используя векторную диаграмму, решите задачу 4.3 при усло-

вии, что: 1) φ1 − φ2 = 0; 2) φ1 − φ2 = π.

5.11.Два когерентных источника волн колеблются в одинаковых фа-

зах по закону у = acosωt. Скорость распространения волн υ. По какому закону колебалась бы точка среды под воздействием: а) только первой волны; б) только второй волны, если она находится на расстоянии х1 от первого и х2 от второго источника? Выразите разность фаз ∆φ этих колебаний через разность хода ∆х и длину волны λ.

5.12.На поверхности воды распространяются волны от двух когерентных источников, совершающих колебания в одинаковых фазах. Длина волны λ = 20 см. Какова амплитуда А колебания воды в точке, до которой разность хода волн ∆х составляет: 1) 20 см; 2) 30 см; 3) 5 см? В рассматриваемой области наложения амплитуды обеих волн одинаковы и равны А1 = 5 см.

5.13.Навстречу друг другу распространяются две плоские волны, за-

данные уравнениями: у1 = acos(ωt + 2πх/λ) − волна, бегущая в противоположную сторону оси 0х, и у2 = acos(ωt − 2πx/λ) − волна, бегущая в направления оси 0х. Определите закон движения точки среды с координатой х

вследствие интерференции этих волн y(x,t) = y1 + у2. Как зависит амплитуда колебания точки от ее координаты А(х)? Каково расстояние между ближайшими пучностями и узлами?

Указание: Использовать преобразование

cos α + cos β = 2 cos [(α−β)/2]·cos [(α+β)/2].

5.14.В натянутом резиновом шнуре с закрепленными концами становилась поперечная волна (результат интерференции отраженных от закреплений бегущих волн). На рис. 5.4 изображен профиль шнура в момент наибольшего отклонения его элементов от положения равновесия. Изобразите профиль шнура через четверть, половину и три четверти периода его колебаний.

5.15.По условию задачи 5.14 волна

счастотой ν = 2 Гц установилась в натя-

нутом шнуре длиной l = 18 м. Каковы

30