Лекц_Доска (Семичевская) / Операт_псевдооб
.doc8.3. ОПЕРАТОРЫ ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ
При линейной обработке сигналов часто встречается задало «обращения» преобразования вида
P = Tf (8.3.1)
с тем, чтобы выразить точное значение входного вектора f размера QX 1 или некоторую его оценку f через выходной вектор р размера Рх\. Если Т --квадратная матрица, то очевидно, что
?=(Т)"1р, (8.3.2)
если обратная матрица существует. Если матрица Т не квадратная, то для отыскания решения можно воспользоваться псевдообратной матрицей Т+ размера QxP. В этом случае
? = Т+р. (8.3.3)
Если решение существует и единственно, то «правильным» оператором псевдообращения будет тот, который обеспечивает точную
оценку, т. е. f = f. Это означает, что вектор f можно определитщ по наблюдаемому вектору р без ошибок. Если решение существует,! но оно не единственно, то с помощью псевдообратного оператора! можно выбрать решение с минимальной нормой. Если, наконец, точных решений не существует, то с помощью оператора псевдообращения можно найти наилучшее приближенное решение,* Более подробно этот вопрос рассмотрен в последующих разделах. Разъяснения и доказательства многих из нижеприведенных положений содержатся в монографиях [4—6].
Первым из операторов псевдообращения будет рассмотрен оператор с обобщенной обратной матрицей Т~, для которой выполняются следующие соотношения:
ТТ" = (ТТ-)Г, (8.3.4а)
Т-Т = (ТТ)71, (8.3.46)
ТГТ = Т, (8.3.4в)
ГТТ- = Т~, (8.3.4г)
Обобщенная обратная матрица является единственной и при некоторых условиях ее можно записать в явном виде. Если Р > Q, то систему уравнений (8.3.1) называют переопределенной, т. е. число компонент наблюдаемого вектора р превышает число подлежащих оценке компонент вектора f. Если при этом ранг матрицы Т равен Q, то обобщенная обратная матрица
Т = {ТТТ)~1ТТ. (8.3.5)
- противоположном случае, когда Р < Q, систему (8.3.1) называют едоопредеженной. Если при этом ранг матрицы Т равен Р, то 0(5обшенная: обратная матрица имеет вид
r — T^TT7)-1. (8.3.6)
Нетрудно гаоказать, что матрицы, определенные соотношениями (8.3.5) и (81.3.6), удовлетворяют условиям (8.3.4). Если матрица Т может быггь представлена в виде прямого произведения (8.1-8), то обобщенная обратная матрица имеет вид
Г" = Тс ® Т£, (8.3.7)
где Т^ и Тс — обобщенные обратные матрицы для линейных операторов обработки строк и столбцов. В этом случае сокращается объем вычислений, необходимых для обращения.
Еще один тип оператора псевдообращения имеет матрицу Т-5, называемую матрицей обращения методом наименьших квадратов, которая определяется следующими соотношениями:
TTST = Т, (8.3.8а)
TTs = (TTs)r. (8.3.86)
И наконец,, условно обратная матрица Т* определяется формулой
ТТ#Т = Т, (8.3,9)
Анализ определений всех трех видов оператора псевдообращения показывает, что обобщенный обратный оператор является оператором обращения методом наименьших квадратов, а последний — оператором условного обращения. Для любого линейного оператора с матрицей Т всегда существуют матрица обращения методом наименьших квадратов и условно обратная матрица, но они могут быть не единственными. Кроме того, для этих матриц обычно не удается найти явное выражение в конечной форме.
Ниже приведены некоторые полезные соотношения для матрицы Т", которая является обобщенной обратной матрицей относительно матрицы Т размера PxQ.
Обобщенное обращение транспонированной матрицы
[ТГГ.—ГГр* (8.3.10)
Обобщенное обращение обобщенной обратной матрицы
[ТТ = Т. (8.3,11)
Сохранение ранга
Ранг [Г]-Ранг [Т]. (8.3,12)
Обобщенное обращение произведения матриц
[ТГТ]- = (Т)-(ТГ)~'> (8.3,13)
[ABj- = B-A-f (8.3,14)
где А и В —матрицы ранга R, имеющие размеры PXR и RxP соответственно.
Обобщенное обращение произведения ортогональных матриц
[АТВГ = В7Т~А7\ (8.3.15)
где А и В —ортогональные матрицы размера РхР и QxQ coot- ; ветственно.
8.4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Систему линейных уравнении
p = Tf, (8.4.1)
где Т —матрица размера PxQ, можно рассматривать как систему! из Р уравнений с Q неизвестными. Возможны три случая:
-
Система уравнений имеет единственное решение !,для кото рого Tf = р.
-
Системе уравнений удовлетворяют несколько решений.
-
Система уравнений не имеет точного решения.
Если система уравнений имеет хотя бы одно решение, то ее назы-1 вают совместной, а в противном случае —несовместной. Системы! уравнений, не имеющие решений, часто получаются при исследо-J вании физических систем, когда вектор р описывает последователь-1 ность измерений наблюдаемых величин, которые по предположе-j нию являются следствием воздействия некоторой недоступной для прямого наблюдения движущей силы, представленной вектором f. Матрица Т получается посредством математического моделирования характеристик реальной системы, для которой вектор р является выходным сигналом. При исправлении (реставрации) изоб-ражений вектор f обычно представляет исходное изображение, вектор р — смазанное изображение, а матрица Т описывает дискретную математическую модель процесса, приводящего к смазыванию изображения. Поскольку матрица Т и вектор р обычно определяются с некоторой погрешностью, может оказаться, что этот вектор не соответствует ни одному из возможных векторов воздействия !,
Рассмотрим теперь вопрос о существовании решений системы | уравнений р «= Tf. Из структуры системы уравнений видно, что решение будет существовать тогда и только тогда, когда вектор р может быть получен линейной комбинацией столбцов матрицы Т, В этом случае говорят, что вектор р лежит в пространстве столбцов матрицы Т. Более строгой формулировкой условия существо- '', вания решения является следующая [4]: система уравнений р = я» Tf имеет решение тогда и только тогда, когда для матрицы Т существует условно обратная матрица Т#, удовлетворяющая уравнению ТТ#р =» р.
Линейные операторы
Значит, для существования решения необходимо, чтобы при отображении из пространства наблюдаемых изображений в пространство исходных изображений (с помощью условно обратной матрицы Т#) и обратно (с помощью матрицы Т) снова получался вектор наблюдаемых величин р. Если система уравнений является недоопределенной (Р < Q), то решение существует тогда, когда ранг матрицы Т равен Р, т. е. полному числу строк. Во всех остальных случаях, в том числе и для переопределенной системы уравнений, существование решения необходимо проверять.
8.5. РЕШЕНИЕ СОВМЕСТНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Установив существование решения системы уравнений
P = Tf, (8.5.1)
следует определить характер решения: является ли оно единственным или же решений несколько, а также какой вид имеет решение? Ответ на последний вопрос содержится в следующей фундаментальной теореме [4!:
Если решение системы уравнений р == Tf существует, то в общем случае оно имеет вид
?==Т*р + (1—Т#Т}у, (8.5.2)
где Т# —матрица, условно обратная относительно матрицы Т, a v —произвольный вектор размера Qxl.
Для доказательства умножим обе части соотношения (8.5.2) на матрицу Т:
Т? = ТТ*р + Т (I - TttT)v. (8.5.3)
Однако по условию существования решения ТТ#р = р. Кроме того, согласно определению условно обратной матрицы, Т (I — — Т#Т) = 0. Следовательно, Т f = p и вектор f является решением. Поскольку Tf = р, то, умножив обе части этого равенства на матрицу Т#, получим
Т*Т?-Т#р, (8.5.4а)
или
Т#р-Т#Т!^0. (8.5,46)
Прибавив к обеим частям вектор !, получим
f ** Т*р - Т#Т?-f f - Т*р + (I - T#T)f. (8.5.5)
Этот результат совпадает с соотношением (8.5.2), если вектор f, стоящий в правой части формулы (8.5,5), заменить на произвольный вектор v.