отвкты на математику

Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая пересекает ось Ох в точке

М1 (а,0) , а ось Оу - в точке М 2 (0,b) .

Подставим координаты этих точек в уравнение прямой, проходящей через две точки,

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках, так как числа a и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

19. Прямая с угловым коэффициентом.

Опр: Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла между прямой и

положительным направлением оси ОХ.

b- отрезок, который прямая отсекает на оси

ОУ

уравнение y kx b — уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Если прямая проходит через начало координат, то b = 0 и, следовательно, уравнение этой прямой будет иметь вид у = кх.

Если прямая параллельна оси Ох, то = 0, следовательно, k= tg = 0 и уравнение примет вид у = b.

Если прямая параллельна оси Оу, то уравнение имеет вид: х = а где а — абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох.

Прямая, проходящая через точку, в данном направлении

Пусть прямая проходит через точку M0 (x0 , y0 ) и ее направление

характеризуется конкретным угловым коэффициентом к. Уравнение этой прямой можно записать в виде:

y y0 k (

Уравнение y y0 k (x x0 ) с различными значениями к называют также уравнениями пучка прямых с центром в точке M0 (x0 , y0 ) .В этом пучке нельзя определить лишь прямую, параллельную ори Оу.

20. Угол между прямыми и расстояние от точки до прямой.

Угол между прямыми в пространстве

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую:

Ах* Ву * С

(М * , )

А2 В2

21. Эллипс.

Каноническое уравнение гиперболы, с центром в начале координат:

Полуосями этой гиперболы являются по оси ОХотрезок а, и по оси ОУотрезок b. Таким образом, гипербола имеет две оси симметрии: ось ОХ и ось ОУ. Четыре вершины: точки с

действительной полуоси. Для гиперболы Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых:

24.

Гиперболой, сопряженной к данной, называется гипербола:

Характеристическое свойство гиперболы:

гиперболой называется геометрическое место точек, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой же плоскости, называемых фокусами постоянна и равна

уравнение гиперболы, центр симметрии которого находится в точке Q(,полуоси гиперболы: действительная по ОХ равна a, мнимая по оси ОУ равна b.

Фокусы находятся в точках: Пример: Построить гиперболу, каноническое уравнение которой:

найти фокусы и эксцентриситет.

Решение: центр симметрии гиперболы находится в точке:Q(1,-2), действительная полуось а=4; мнимая полуось b=3.

с=5.

Фокусы:

Эксцентриситет: =1,25.

25. Парабола.

26. Парабола

Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат:

Характеристическое свойство параболы:

параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от точки, называемой фокусом и от прямой, называемой директрисой.

Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается . Вершина параболы находится посередине между фокусом и директрисой. Фокус находится на оси симметрии внутри параболы, для данной параболы F(

перпендикулярна оси симметрии, находится вне параболы, ее уравнение х = .

Пример: Построить параболу, определить ее фокус и директрису:

27. -4·(x-4)=(y+3)²

Решение: Уравнение параболы в общем виде:

28.2·p·(x-a)=(y-b)²

Внашем уравнении: a=4,b=-3, 2p=4, p=2.

Фокус:F(a-p/2;b)=F(3;-3) Директриса x=p/2+a x=5.

Вершина параболы находится в точке Q(4; -3),

29. Плоскость по точке и нормали.

Опр.: Нормалью к плоскости называется вектор, перпендикулярный к данной плоскости.

n( A, B, C)

M 0 ( x0 , y0 , z0 )

М(x,y,z)

нормали n ( A, B,C) . Имея уравнение плоскости в общем виде: Ax+ By+ Cz+ D=0, можно выписать нормаль к плоскости n ( A, B,C) .

Пример: Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(1,2,-3), параллельно плоскости 3x-4y+5z-2=0

М 0 М1 (x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 ) и M 0 M 2 (x2 x0 , y2 y0 , z2 z0 ) .

Эти векторы являются направляющими векторами плоскости. Составим уравнение

плоскости по точке М 0 и двум направляющим векторам М 0 М1иМ 0 М 2 .

Данный способ задания плоскости называется плоскость по трем точкам. Пример: Составить уравнение плоскости АВС, если даны координаты точек:

A 3; 2;2 ; B 1; 3;1 ; C 2;0;4

Решение: Составим уравнение плоскости ABC по трем точкам:

Найдем разложение определителя по первой строке:

x 3 2 2 y 2 4 1 z 2 4 1 0 ,

5 y 2 5 z 2 0 ,

5y 5z 20 0 , разделим уравнение на 5: y z 4 0 .

Ответ: y z 4 0 .

Уравнение плоскости в отрезках

Пусть необходимо составить уравнение плоскости, отсекающей на осях координат OX, OY, OZ соответственно отрезки a,b,c, т.е. плоскость проходит через точки A(a,0,0), B(0,b,0) и

преобразуем определитель, получим:

b c x a c y a b z a b c 0 или

b c x a c y a b z a b c

разделим уравнение на abc, получим:

ax by cz 1

32. Угол между плоскостями и расстояние от точки до плоскости.

Угол между плоскостями Пусть заданы две плоскости 1 : А1 х В1 у С1 z D1 0

2 : А2 х В2 у C2 z D2 0 .

параллельно заданному вектору s (m, n, p) .Возьмем произвольную точку М(x,y,z) на прямой

.

Вектор М 0 М (x x0 , y y0 , z z0 ) параллелен вектору s , следовательно , их координаты пропорциональны:

Данный способ задания прямой называется прямая по точке М 0 (х0 , у0 , z0 ) и направляющему вектору s (m, n, p) . Уравнение прямой получено в каноническом виде.