Айзерман М.А. Классическая механика (1980)

62 ГЛ II ИСХОДНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

однако, при этом имеют в виду, что dq/dt для каждой точки зависит также от положения всех материальных точек в рассматриваемой системе отсчета или (и) от их скорости относительно нее; тогда слова «силы заданы» означают, что силы заранее известны как функции не только времени, но и координат и скоростей точек системы.

Как уже указывалось в предыдущих параграфах, сила — результат сложных физических процессов, обусловливающих взаимодействие материальных объектов. Механика не изучает физическую природу этих взаимодействий. Поэтому силы как функции положений и скоростей материальных точек или тел в каждой конкретной механической задаче считаются известными —их определяют в иных дисциплинах.

В тех случаях, когда физическая природа взаимодействий не изучена, сила как функция координат и скоростей точек может быть все же определена в результате творческих обобщений результатов экспериментальных наблюдений. В исследованиях такого рода могут быть использованы методы механики—типич- ным примером служит открытие Ньютоном закона всемирного тяготения, однако основная задача механики как науки начинается только после того, как такая предварительная и, вообще говоря, выходящая за рамки механики работа проделана и сила задана как функция времени, координат точек системы и их скоростей.

Рассмотрим систему, состоящую из N материальных точек, и выделим в ней /-ю точку. Все силы, действующие на эту точку в результате внутренних и внешних взаимодействий, можно заме-

Тогда в соответствии со вторым законом Ньютона в некоторой инерциальной системе отсчета имеют место N равенств

§ 5 ОСНОВНЫЕ ЗАД VIII И МЕТОДЫ б'5

ференциальные уравнения называют иногда основными уравне-

например обычными методами приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. Если же,однако, речь идет о нахож-

Поэтому вседальнейшее построение механики, ее цели и методы связаны с обходом или преодолением затруднений, обусловленных тем, что основные дифференциальные уравнения динамики систем не могут быть проинтегрированы в общем виде. Методы, которые используются в механике, чтобы преодолеть указанные трудности, могут быть кратко описаны так.

64 ГЛ. И ИСХОДНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

1° Механика тщательно собирает и изучает все те случаи, когда функциональные зависимости, выражающие силы, такопы, что дифференциальные уравнения (28) могут быть сведены к квадратурам и поэтому движения могут быть непосредственно изучены. Так, например, обстоит дело в таком важном случае, как движение материальной точки в поле тяготения какого-либо иного материального объекта. Однако уже в так называемой задаче трех тел, когда рассматривается система из трех материальных точек, движущихся под действием взаимного тяготения, дифференциальные уравнения вида (28) не решаются в общем виде и исследование движения становится значительно сложнее.

2° В тех случаях, когда нельзя найти решение системы дифференциальных уравнений (28) в замкнутой форме, разрабатываются методы, позволяющие значительно упростить эти уравнения для последующего исследования, в частности понизить их порядок. Так, например, при изучении движения абсолютно твердого материального тела, состоящего из бесконечного количества точек, заполняющих некоторый объем, система дифференциальных уравнений вида (28) должна была бы состоять из бесконечного числа уравнений. Однако в механике установлены приемы, позволяющие полностью описать движение всех точек твердого тела с помощью только шести дифференциальных уравнений не выше второго порядка каждое.

3° В тех случаях, когда интегралы уравнений (28) не могут быть найдены даже при предельном упрощении этих уравнений методами механики, изучаются общие свойства решений этих уравнений без их непосредственного нахождения. Так, например, для случая, когда движение происходит в потенциальных полях, механика определяет многие общие свойства движений без того, чтобы доводить до конца задачу об определении самих движений.

4° Наконец,—и, по-видимому, этот прием является наиболее важным и чаще всего употребляемым — вводятся специально выбранные функции от координат точек и их скоростей и изучается зависимость этих функций от времени. В качестве таких функций используются, в частности, введенные выше меры движения —кинетическая энергия Т и количество движения Q системы. Во многих случаях оказывается, что для описания изменения этих функций во времени можно составить дифференциальные уравнения значительно более простые, чем основные дифференциальные уравнения динамики, так что изменение этих функций во времени исследуется гораздо проще. Так, например, можно установить условия, когда количество движения системы Q заведомо не меняется во время движения. В этом случае можно сразу выписать три равенства типа «заданная функция от координат и скоростей точек равна постоянной». Каждый раз, когда удается найти функции от координат точек и их скоростей, кото-

и (или) скорости материальных точек или тел, и 1реб)ется учесть эти ограничения.

Таким образом, методы механики позволяют не только сформулирсвать ряд общих теорем и законов, действующих в условиях, когда выполняются предположения 1° —3°, но и — за счет введения дополнительных сил— использовать эти законы в условиях, когда предположения 1° —3° не выполняются.

В любом случае, однако, предполагаются выполненными исходные предположения, сформулированные в § 2. Отход от этих предполсжений невозможен в пределах классической механики и приводит к построению иных систем механики. Такая ситуация возникает, например, при отказе от описанных выше представлений о пространстве и времени и от принципа относительности Галилея. Именно отказ от этих исходных представлений о времени и пространстве и предположение о том, что уравнения и законы механики должны быть инвариантны (или ковариантны) по отношению не к преобразованиям Галилея, а к иным преобразо- ваниям—преобразованиям Лоренца, привели к появлению релятивистской механики. С этими исходными представлениями связаьы ограничения, в пределах которых законы классической механики могут применяться при изучении движения объектов реального мира.

где г, —радиус-вектор, проведенный из полюса О к точке приложения силы Ft. Модуль момента mo(Fi) равен

момента Мо, вычисленного для любой точки О, взятой на оси /') . Заметим теперь, что в силу третьего закона Ньютона силы, взаимодействия ;вух материальных точек всегда равны, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны. Поэтому, когда мы их складываем, составляя главный вектор, они взаимно уничтожаются и в выражение главного вектора не входят. Таким образом, главный вектор всех внутренних сил

системы всегда равен нулю

N

оV Я" П

Это утверждение называется теоремой об изменении количества движения (импульса) системы:

Производная по времени от количества движения системы равна главному вектору всех действующих на систему внешних сил.

Проектируя равенство (7) на любую неподвижную ось /, получаем

где Qi — проекция на ось / вектора Q, а # / в н е ш — проекция на нее вектора /?в„еш-

Если система замкнута, то по определению на ее точки не действуют внешние силы, /?в „еш = 0 и dQ/dt — O, т. е.

Тем самым устанавливается закон сохранения количества движения: При движении замкнутой системы количество движения (им-

пульс) системы не меняется.

Это утверждение справедливо, разумеется, и для системы, на

тор внешних сил системы перпендикулярен этой оси.

Теореме об изменении количества движения и закону сохранения количества движения можно придать иную форму, если ввести понятие о центре инерции системы.

Центром инерции системы называется геометрическая точка С пространства, определяемая радиусом-вектором*)

1) Центр инерции системы иногда называют центром масс. Для материального тела, находящегося в однородном поле тяжести, центр тяжести определяется равенством

Величина М—£т, называется массой системы.

i

Во время движения точек системы меняются rt, а значит, меняется и гс, т. е. придвижении точек системы двржется иее центр инерции. Траекторией центра инерции служит геометрическое место (годограф) концсв векторов гс, а скорость точки С направлена по касательной к этому годографу и определяется равенством

которое получается дифференцированием равенства (10) по t. Из равенства (11) следует, что

(12)

т. е. что количество движения системы равно массе системы, умноженной на скорость ее центра инерции.

Но равенство (13) выражает второй закон Ньютона для мате-

массывсех точек системы и к ней были бы приложенывсе внешние силы,действующие на точки системы.

тюянной скоростью (быть может, равной нулю).

Разумеется, это утверждение верно и для проекций соответствующих векторов. Если проекция главного вектора внешних сил на некоторую ось тождественно равна нулю, то центр инерции движется так, чго проекция скорости центра инерции на эту ось оиается постоянной.