may05119

запис ываю т с я с помощ ь ю формул ы 2n −1, где n =

... , ,в3,ит2,1 оге пол у-

ч аем, ч т о общ ийч л е н пос л едоват е л ь нос т и имеет вид:

xn =

1

.

(2n - 1)2

1; 9 ;

25

; 49 ;

81

;... . О ч е видно, ч т о в

ч ис л ит е л е и знаме нат ел е

дробей

4

9

16

25

32

52

72

92

предс т авл е ны квадрат ы ч ис ел , т .е. 1;

;

;

;

;...

. В ч ис л ит е л е с т о-

22

52

32

42

ят квадрат ы неч е т ныхч ис е л : (2n - 1)2 , в знаменат е л е – n2 , где

n =

... . , 3, 2,1

В резул ь т ат е

общ ий ч л ен пос л едоват е л ь нос т и

име ет

вид:

xn =

(2n - 1)2

n2

æ 2n - 1ö2

ил и

xn

= ç

÷ .

n

è

ø

a) x1 =1, xn+1 = xn + 3.

Уч ит ывая

ис ходны е

данны е,

выпиш ем

не с кол ь ко ч л енов

пос л едова-

т ел ь нос т и:

+

2

xx1

3x= 41=+1

=

+

x x2

3x3= 72+=1

=

+

4

xx

3

3x =10=+

=

3 1

+

x x=

3x==13+

4

5

4 1

П ол уч ае м

пос л е доват ел ь нос т ь :

;...

. 13П е;репиш10 ; 7;ем14; пол уч ен-

ную пос л едоват е л ь нос т ь :

-

-

-

-

-

;...

,2ил и15 ; 2

12 ; 2

9; 2

36; 2

×

-

×

-

×

-

×

-

×

- ;...

2 5

3; 2 4

3; 2

3 3; 2 2

Т огдаобщ ийч л е н пос л е доват е л ь нос т и:

xn

= 3n - 2 .

b) x1 = 2 , xn+1 = 3xn

Уч ит ывая

ис ходны е

данны е,

выпиш ем

не с кол ь ко ч л енов

пос л едова-

т ел ь нос т и:

x

x

× 33 =2

=6=

=

+

1

2

1 1

× 32 =2 × 9 3=2 =18= =

+

xx2

x3

2 1

+

x3

x4

3 1

× 33 =2 ×27=32 ==54 =

+

x4

x5

4

1

× 34 =2

× 81= 23

== 162=

эл емент у X,

по опре дел е нному правил у, с т авит с я в с оот вет с т вие одно

опре де л енное знач е ние пере менной y Y, т о говорят , ч т о y ес т ь однознач -

ная функция от

, и обознач аю т y = f (x) .

П ереме нная

называет с я неза вис им о й перем енно й, ил и а ргум енто м .

Совокупнос т ь

вс ех знач ений аргумент а , дл я кот оры х функция

y = f (x) определ е на,

называет с я о б ла с тью о пределения функции и обозна-

ч ае т с я ч ере з D( f ) .

Совокупнос т ь вс ех знач ений, принимаемых переме нной y , называ-

ет с я обл ас т ь ю знач е нийфункции y = f (x) и обознач ае т с я - E( f ).

Н апример, y = x -1 : D(y)=[1, +∞), E(y)=[0, +∞)

Знач ения функции

f (x) при x = a обознач аю т f (a).

Графиком функции

y = f (x) называет с я множ ес т во т оч ек пл ос кос т и

с то янно й и обознач ае т с я с .

Способы за да ния функ ций

1.

А на л итическ ий – завис имос т ь

меж ду пере ме нными опреде л яе т с я с

помощ ь ю формул ы , например,

=

=.

2 ,

1 - x2

y x

2.

Т а бл ичны й , например, т абл ицы

т ригономет рич ес ких функций, л ога-

ная функция

f (x) = xa , "a ; показат е л ь ная функция f (x) = ax , a > 0, a ¹ 1; л ога-

рифмич ес кая функция

f (x) = loga x, a > 0, a ¹ 1; т ригономе т рич ес кие функции

( ) = sin x ,

f( )x= cos x ,

(f )x= tgx , f (x) = ctgx ; обратf x ные т ригономет рич ес кие

функции f (x) = arcsin x ,

f (x) = arc cos x , f (x) = arctgx , f (x) = arcctgx .

13

И ме ет ме с т о с л едую щ ая к л а ссифик а ция эл ем ента р ны хфунк ций :

1.

Ц ел ая рационал ь ная функция ил и ал ге браич ес кий многоч л е н с т е пени

m:

P(x) = a xm + a xm−1 + ...+ a

x + a ,

m ³ 0,

m Î Z,

a , a ,..., a

m

– л ю бы е ч ис л а,

0

1

m−1

m

0

1

коэффициент ы,

a0 ¹ 0.

М ногоч л ен

первой с т епе ни

называет с я л ине йной

функцией.

a xm + a xm−1

+ ...+ a

x + a

2.

Д робно-рационал ь ная функция:

R(x) =

0

1

m−1

m

.

b xn + b xn−1

+ ...+ b

x + b

0

1

n−1

n

3.

И ррационал ь ная функция – функция, пол уч е нная с помощ ь ю конеч ного

2

+ (5

+ x)3 .

рационал ь ной, например, f (x) =

+ x , f (x) =

5x

+ 4x - 7

x

x

3x

2

-8x + 4

4. Т ранс ценде нт ная функция – не

явл яю щ аяс я рационал ь ной ил и ирра-

ционал ь ной, например, f (x) = sin x ,

f (x) = sin x + x

и т .д.

Ф

ункция

f (x)

называет с я четно й, ес л и

f (-x) = f (x), "x .

Ф

ункция

f (x)

называет с я нечетно й, ес л и

f (-x) = - f (x), "x .

Ф

ункция называет с я перио дичес ко й в обл ас т и опре дел ения, ес л и с у-

щ е с т вует т акое ч ис л о T ¹ 0, ч т о:

1.

дл я л ю бых

( ),Î

Î

+(x) .D

T

x xx D

2.

(

+ ) =

(x)f, ч исTлfоxT называет с я периодом функции f .

П римерами периодич ес ких функций,

явл яю т с я т ригономет рич ес кие

функции y = sin x

и

y = cos x с

периодом

T = 2π , т .е . при изме нении аргу-

мент анач ис л о, крат ное 2π , знач е ние функции ос т ает с я пре ж ним.

Ф

ункция f (x)

называе т с я во зра с та ю щ ей (уб ы ва ю щей) в обл ас т и оп-

редел е ния,

ес л и дл я л ю бых x1

и x2

из обл ас т и опре дел ения функции т аких,

ч т о x1 < x2 выпол няет с я

( 1) <

(x2 f) ( f (x1 ) >

(x2 f)).Фf ункцияx

f (x) называет с я

нево зра с та ю щей (неуб ы ва ю щей) в обл ас т и определ е ния,

е с л и дл я л ю бых

x1 и x2

из обл ас т и определ ения функции т аких, ч т о x1 £ x2 выпол няет с я

( 1 ) £

(x2 f)

( f (x1 ) ³

(x2 f)). Всf xе эт и функции называю т с я монот онными.

Ф

ункция называе т с я о гра ниченно й с верху(с низу) на множ ес т ве X,

ес л и с ущ е с т вует ч ис л о M (m) т акое, ч т о дл я л ю бого x Î X

выпол няе т с я не -

равенс т во

( )£

( (

)³ m). x f

Mf x

14

Е с л и

на некот ором

проме ж ут ке Х

опреде л ена функция z = ϕ(x) с

множ ес т вом знач е ний Z ,

анамнож е с т ве

Z опре де л енафункция

= y(z),f

т о функция

= [ϕ(xy)] называетf

с я с ло ж но й функцией от х , апере ме нная z

- проме ж ут оч нойпереме ннойс л ож нойфункции.

П ус т ь

X и Y - не кот оры е множ е с т ваи пус т ь заданафункция

f , т .е.

множ ес т во пар ч ис е л (x, y),

, Y ,xyв котX ором каж дое ч ис л о х входит в

Е с л и в каж дой паре эт ого множ ес т вач ис л а х

и y поменят ь ме с т ами, т о

пол уч им множ е с т во пар ч ис е л

(y, x), кот орое

называет с я о б ра тно й функ-

цией ϕ к функции f . О брат ную

функцию обознач аю т x = ϕ(y). Н апример,

y = x2 и x = ±

; y = ln x и x = ey .

y

§2. Пр едел

функ ции в точк е

П ус т ь функция

f (x) опреде л е нананекот ором множ е с т ве Х и пус т ь

т оч каa X

ил и a X .

Возь ме м из Х пос л едоват ел ь нос т ь т оч ек, от л ич ных

от а : x1, x2 ,

x3 ,..., xn

с ходящ ую с я к а . Знач е ние функции в т оч кахэт ой по-

Опр едел ение 1. Ч ис л о b называет с я предел ом функции

y = f (x) ,

в т оч ке а ,

ес л и дл я л ю бой пос л едоват е л ь нос т и знач ений аргумент а x1, x2 , x3 ,..., xn с хо-

дящ ейс я к а

и с ос т оящ

ейиз ч ис ел xn

¹ a , с оот вет с т вую щ ая пос л е доват ел ь -

нос т ь знач е нийфункции

f (x1 ), f (x2 ),

f (x3 ),..., f (xn )

с ходит с я кч ис л у b.

Опр едел ение 2. Ч ис л о b называет с я предело м функции

= y(x)f,

в т оч ке а ,

ес л и дл я л ю бого пол ож ит ел ь ного ч ис л аε

с ущ е с т вует т акое ч ис л о d, зави-

с ящ ее от e,

δ > 0 , ч т о дл я вс ех x ¹ a ,

удовл ет воряю щ их ус л овию

x - a

< δ ,

выпол няет с я нераве нс т во

f (x) - b

< ε ил и

(

)(

( )

)(

,

0

,

)

0( ) b

< εx -f

Þa <xδ -a xx ¹X

Î "

О бознач аю т эт о т ак lim ( ) = b fилxи

f (x) ® b

при x → a

x→a

В опре дел ениях не

т ребует с я,

ч т обы

функция был а опреде л ена в

пре дел ь ной т оч ке ,

но функция дол ж на быт ь определ ена к какой-нибудь

окрес т нос т и предел ь нойт оч ки,

Опр едел ение 3. Ес л и x → a и x < a , т о x ® a−

(x ® a - 0) . Соот вет с т вую щ ий

пре дел называе т с я л ево с то ро нним предело м .

lim

( ) = b f

x

x→a−

Опр едел ение 4. Ес л и x → a и x > a , т о x ® a+

(x ® a + 0) . Соот вет с т вую щ ий

пре дел называе т с я пра во с то ро нним предело м . lim

( ) = b .f x

x→a+

Т еор ем а . Ф ункция y = f (x)

имее т в т оч ке а предел

т огдаи т ол ь ко т огда,

когдав эт ой т оч ке с ущ ес т вует как л евос т оронний,

т ак и правос т оронний

пре дел ы и они равны .

Опр едел ение

5. Ч ис л о b

называет с я предело м

функции y = f (x) при

x → ∞ , ес л и

дл я л ю бого пол ож ит е л ь ного e, найде т с я пол ож ит ел ь ное ч ис -

1.

П ус т ь

функции

f (x) и

g(x)

заданы наодном и т ом ж е множ ес т ве Х и

имею т в т оч ке а

конеч ные пре дел ы, равные с оот ве т с т ве нно b и c, т о функ-

ции f (x) ± g (x) ,

f (x)× g (x),

f (x)/ g (x)

т акж е имею т

в т оч ке

а конеч ные

пре дел ы, равные с оот вет с т венно b± c, b× c, b/c (с ¹0) .

2.

П ус т ь

функции

f (x) , g(x)

и

h(x)

опре дел ены

в некот орой окрес т нос т и

т оч ки а ,

заис кл ю ч е ние м,

быт ь

мож ет ,

с амой т оч ки а , и функции

f (x) и

h (x) имею т в эт ойт оч ке а

предел , равныйb, т .е.

→

=

) =( b . Пlimxусhт ь), (f x lim

→a x

x

a

кроме т ого,

выпол няю т с я

нераве нс т ва

( ) £

£

x)h.( Т (огдаx) g f функцияx

g (x) т акж е име ет

предел x→a

) =( b .glimx

3.

П редел пос т ояннойраве н с амойпос т оянной, т .е. lim c = c , где c = const .

x→a

4.

П редел с т е пени функции равен т ой ж е с т епе ни предел аос нования, т .е.

n

( )

æ

ön

x→x0

= ç lim

(x)÷f

flimx

è x→ x0

ø

§3. Беск онечно м а л ы е и беск онечно бол ьш ие функ ции

Опр едел ение 1.

Ф

ункция

f (x)

называет с я б ес ко нечно м а ло й

при

x → а ,

ес л и lim f (x) = 0 .

x→a

Опр едел ение 2. Ф

ункция

f (x)

называе т с я б ес ко нечно

б о льшо й при

x → а ,

ес л и lim f (x) = ¥ .

x→a

Св ой ств а беск онечно м а л ы хи беск онечно бол ьш ихфунк ций .

1.

Д л я выпол не ния равенс т ва x→a

) =( b fнеlimxобходимо и дос т ат оч но, ч т обы

функция α

=

) −(bx(былx) fабе с конеч но мал ойпри x → а .

1.

Е с л и lim

α(x)

= 0 , т о α (x)

– бес конеч но мал ая бол ее выс окого порядка,

β (x)

x→a

ч ем β (x) .

2.

Е с л и lim

α(x)

= А ¹ 0 , где А – ч ис л о, т о α (x) и β (x) – бе с конеч но мал ы е

β (x)

x→a

одного порядка.

3.

Е с л и lim

α(x)

= 1, т о α (x)

и β (x) – эквивал е нт ны е бе с конеч но мал ы е в

β (x)

x→a

Пер в ы й

за м еча тел ьны й

пр едел

lim

sin x

= 1

x

x→0

В тор ой

за м еча тел ьны й

пр едел

1

æ

1 ö

n

lim(1+ x)x = e ил и

ç1 +

lim÷ = e

x→0

n→∞è

n ø

§4. Пр им ер ы р еш ения за да чпо тем е «Пр едел функ ции»

I. Пр остей ш ие сл уча и.

1-й

сл уча й .

Ес л и пре дел ь ное знач ение аргуме нт апринадл еж ит

обл ас т и определ е ния

функции,

т о выч ис л е ние

предел а функции с водит с я к подс т ановке

пре -

дел ь ного знач ения аргуме нт ав функцию , т . е.

x→a

= a)f, ( fÎx )(a(f ).Dlim

1.

(x3

2

2

3

2

x

x→

x

x =17+x

5+ x 16- = 12+ 8 +5

lim

2

x −1

3 − 1

2

x→ x→2

x→

2. lim

=

= 2

x + 2

x→3

3 + 2

5

2-й

сл уча й .

Ес л и аргуме нт

с т ре мит с я к бес коне ч нос т и ил и к ч ис л у, кот орое не

при-

надл еж ит обл ас т и опреде л ения функции, т о возмож ны вариант ы :

lim ax = ¥

lim

x

= ¥

lim

a

= ¥

a

= 0

lim

2 = ¥

x→∞

x→∞ a

x→0 x

x→∞ x

4. lim

x→0

x

17

5. lim

4

= 0

x→∞ x2

0

II. Н еопр едел енностьв ида

0

В т ом с л уч ае, е с л и при подс т ановке в выраж е ние в ч ис л ит е л е и знаменат е -

л е

выраж е ния пол уч ает с я нул ь ,

говорят ,

ч т о задананеопредел е ннос т ь

0

.

0

Выде л яю т с л е дую щ ие с л уч аи:

1-й

сл уча й .

Е с л и под знаком предел ас т оит дробно-рационал ь ная функция, т о дл я т ого,

ч т обы

рас крыт ь

неопредел е ннос т ь

0

,

необходимо ч ис л ит е л ь

и знамена-

0

т е л ь дроби разл ож ит ь намнож ит ел и и выпол нит ь необходимые преобразо-

вания.

6. lim

x2 −16

=

x→4

x − 4

Убедимс я, ч т о пре де л функции нел ь зя найт и не пос редс т веннойподс т анов-

кой.

Д л я эт ого в ч ис л ит е л ь и знаме нат ел ь выраж ения

подс т авл яем пре -

дел ь ное знач е ние аргумент а– 4, пол уч ае м неопреде л еннос т ь

0

. Разл ож им

0

ч ис л ит е л ь дроби намнож ит ел и, с ократ им дробь на x − 4 , в ре зул ьт ат е име -

ем:

x −

x +

)

4 ( )(x 4= = 8

=

0

= lim

+) 4

(

lim

0

x − 4

x→4

x→4

Анал огич но реш аю т с я приме ры 7 и 8.

7. lim

x − 2

=

0

= lim

x − 2

= lim

1

=

1

= 1

2

2

x

− 3x

+ 2

0

2

−

− ) 2 (

)(x −11 x1

x

x→

x→ x→2

8.

x2 + 6x + 8

0

x + x + ) 4 ( )( 2

x (+ ) 4

1

lim

=

= lim

= lim

=

x3 +

8

0

+x +

6 2

2

2

2

) 4x− x −2→x x2 (−)( x2+ )(4

x − →

→−

2-й

сл уча й .

Е с л и под знаком преде л ас т оит

иррационал ь ное

выраж е ние, т о дл я т ого,

ч т обы

рас крыт ь

неопредел е ннос т ь

0

,

необходимо ч ис л ит е л ь

и знамена-

0

т е л ь

дроби домнож ит ь на выраж е ние,

с опряж енное иррационал ь ному,

и

выпол нит ь необходимы е преобразования.

(

) (

)

= x − 5