Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Оренбургский государственный институт менеджмента

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум по математическому анализу

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.05.2015

Размер:

3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1510 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

(xt )2

( y	)	2	dt
( y	)		dt
t

- при параметрическом задании кривой,

производные от х и у по t непрерывны на [t0,T].

Вычисление объема тела вращения

Если Т – тело вращения, полученное от вращения вокруг ОХ криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=а; х=b; у=0 и у=f(x),

то это тело регулярно, причем

S(x) f	2	(x)dx
	2

b
V f	2	(x)dx.
V f		(x)dx.
a

Практическая часть:

1. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ

фигуры, ограниченной кривыми

осью	OY, (x 0, y 0).

y 3	1 x	2	,	x	1 y.

Решение: Для построения чертежа, выясним, что это

		2			2		2		2		2		x	2
y 3	1 x		,	y		9 9x		, 9x		y		9,	x

													2
													2
													1

эллипса с полуосями а=1, b=3.

за линии.

y	2
y		1.	Это
	2	1.
3

уравнение

x	1 y, x	2	1 y,	y 1 x	2	.

Это уравнение параболы с вершиной в

точке (0, 1), ветви параболы направлены вниз. Сделаем чертеж:

0.5

Объем тела вращения найдем по формуле b

V [y22 (x) y12 (x)]dx,

		1
V				[9
V				[9
		0
(8x	7		x		3
					3
	3
	3

9x 2 (1 x 2 )2 ]dx

x5 )1 (8 7 1) 5 0 3 5

1
	(8 7x		2	x	4	)dx
			2		4

0
82		17,174 (куб. ед)
15		17,174 (куб. ед)
15

Ответ: Объем тела вращения равен

17,174

(куб. ед.)

2. Вычислить длину дуги полукубической параболы y							(x 2)3 от
точки А(2,0) до точки В(6,8).
Решение
Сделаем чертеж
8
7
6
5
4
3
2
1
0	1	2	3	4	5	6

Длину дуги линии, заданной параметрически, найдем по формуле:

8 27

b
L	1 ( f '(x))2 dx
a

			f '(x)
Найдем
			1 ( f
Получим
	3	6		14
L			x
	2			9
		2

(10 10 1) 9,073

((x 2)			3 / 2		)'		3		1 / 2	;
((x 2)					)'		2	(x 2)		;
							2
'(x))	2	1		9		(x	2)		9x 14		9	x	7	9	(x	14	).
	2
				4					4		4		2	4		9
				4					4		4		2	4		9

		6					(x	14	)	3 / 2
										3 / 2
	3		14			3		9		6		40				4
dx	3	(x	14	1 / 2	dx	3		9		6	(	40	)	3 / 2	(	4	)	3 / 2
dx	2	(x	9	)	dx	2	3/ 2			2	(	9	)		(	9	)
	2	2	9			2	3/ 2			2		9				9
		2

(лин.ед.)

Ответ: Длина дуги равна 278 (1010 1) 9,073 (лин. ед.).

3. Вычислить длину дуги кардиоиды r=2(1-cos ). Решение:

Сделаем чертеж:

90
135		45
180			0
0 1	2	3	4
225		315
270

Длина дуги в полярной системе находится по формуле:

L r( )2 r'( )2 d .

Найдем r ( )=2sin ; r( )2+r ( )2=4(1-cos )2+4sin2 =4-8cos +4cos2 +4sin2 =8(1-cos )

				2				cos		2
				2						2
4 sin	2		.						2

							d 2	1		4 4 8.
								1

			Тогда		2 sin
		2	L		2 sin	2
		2				2				0
				0				2		0
								2

Ответ: Длина дуги кардиоиды равна 8 (ед.).

4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ

фигуры, ограниченной параболами y x 2 , y x. Решение:

Сделаем чертеж:

0.5

Объем тела вращения найдем по формуле

	b
V		[y2	(x) y2	(x)]dx,
		2	1
	a

или

1	x 2	x5
V [x x 4 ]dx (	x 2	x5		1	(	1	1	)	3	.
			)	0
	2	5	)	0		2	5		10
0

Ответ: Объем тела вращения равен

	3
	10
	10

0,942

(куб. ед.)

5. Вычислить длину дуги полукубической параболы	y	(x 2)	3

точки А(2,0) до точки В(6,8).

Задания для самосоятельного решения:

от

1. Вычислить длину астроиды x=cos3t, y=sin3t (0 t 2 ).

2.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной кривыми у=х2, х=у.

Несобственные интегралы

1.Исследование на сходимость несобственного интеграла первого рода.

2.Исследование на сходимость несобственного интеграла второго рода

Теоретическая часть:

Несобственные интегралы

Определение:

существует

b
	f (x)dx,	тогда
		тогда
a

Пусть f(x)

lim f (x)dx b a

определена на [а, +∞) и для любого b≥a

называется несобственным интегралом

первого рода от f(x). Если этот предел конечен, то интеграл называется сходящимся, если бесконечен или вовсе не существует – расходящимся.

Обозначение таких интегралов:

f (x)dx.

: 0

Определение: Пусть f(x) определена и интегрируема в [a, b-ε],

		b ,b .lim	b
b a	и неограниченна в	b ,b .lim		f (x)dx	называется
	и неограниченна в	0			называется
			a

несобственным интегралом второго рода. Интеграл называется сходящимся, если этот предел конечен, и расходящимся, если предел

бесконечен или не существует. Обозначается: f (x)dx.

Практическая часть:

1. Вычислите несобственные интегралы.


	a)
	dx
	3	х
	1	х
	1

Решение:

Подынтегральная функция непрерывна в промежутке [1; ). По определению несобственного интеграла с бесконечным пределом интегрирования

			N		1			2	3	N				2
dx					1		х		3	N	3			2
3		lim		х	3 dx	lim	2					lim		3
		lim		х	3 dx	lim				1		lim	N	3	1 .
1	х	N	1			N		3		1	2 N
								3

Таким образом, несобственный интеграл расходится.

б)

2
	dx
	3x 2
2
3

							Решение:
Подынтегральная функция терпит разрыв в точке х=2/3. По
определению
2				2				2
		dx	lim		dx	1	lim ln \| 3x 2 \|	2
		dx			dx	1
3x 2				3x 2		3		2
3x 2			0	3x 2		3	0	2	3
2			2						3
2			2	3
3				3
	1	lim	(ln 4 ln( 3 )) .
	3	lim	(ln 4 ln( 3 )) .
	3	0

То есть интеграл расходится.

2.Вычислите несобственные интегралы.

a)1 (3 4x) 2

Решение:

	dx			N	dx
	dx		lim		dx

	(3 4x)	2			(3 4x)	2
1	(3 4x)		N	1	(3 4x)
			N

	1	1	N
lim
	3 4x		1
N		4

1	lim	1	1		1	.

		4N
4 N 3				4

Таким образом, несобственный интеграл сходится и равен

1 4

0dx

b)1 x 1

Решение:

Подынтегральная функция терпит разрыв в точке х=-1. По определению

0	dx		0	dx		0
		lim			lim ln \| x 1 \|
	x 1			x 1		1
1		0	1		0

lim (ln 1 ln ) .
	0

То есть интеграл расходится.

3. Вычислите несобственные интегралы.

	dx		1	dx
			1						dx
a)			b)		c)

	2x	3		3				2
2	2x	3	0	( 1 x )		1	x		2x 5
				( 1 x )			x		2x 5

	2
d)		dx
		dx
		(x 2)	5
	1	(x 2)
	1

Задания для самосоятельного решения:

Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

2		2
	dx	2
	dx
4	(x 3)
4

;

x

e	x	2	dx

;

		2		2
		2		2
		xdx
4	(x		1)
4

;

1		2
	x	2	3
			3
			dx
			dx
0	1 x
0

Двойной интеграл, его вычисление

1.Переход от двойного интеграла к повторному.

2.Смена порядка интегрирования.

3.Вычисление повторных интегралов.

Теоретическая часть:

Определение: Двумерной интегральной суммой от данной функции f(x, y), распространённой на область S, называется сумма произведений площадей элементарных областей Si на значение

f (xi , yi ), (xi , yi )

Определение:

Si.

	n
lim
d 0	i 1
	i 1

n
( f (xi , yi )P( Si))
i 1
i	i	)P( Si)
f (x	, y	)P( Si)		f
			S

(x,

y)dS,

не зависит ни от способа

разбиения S, ни от выбора точек (xi , yi ) Si.

Принципиальной разницы между и нет. Различия связанны с

a S

изменением размерности рабочего пространства, поэтому те свойства ,

которые не зависят от размеренности пространства, переносятся на случай двойного интеграла без изменений.

Теорема:


	f (x, y)dxdy
S

f (x, y)

- ограниченна в S.

Теорема:


	f (x, y)dxdy lim (S s) 0.
S	d 0
S

1.
	S

Свойства двойного интеграла.

f (x, y)dxdy f1 (x, y) f2	(x, y) dxdy f1	(x, y)dxdy f2 (x, y)dxdy.
S	S	S

2.

f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy.

f (x, y) 0, (x, y) S f (x, y)dxdy 0. S

f (x, y) g(x), (x, y) S f (x,			y)dxdy g(x, y)dS.
		S	S
/ f (x, y)dxdy / /		f (x, y) / dxdy.
S	S

m f (x, y) M , (x, y) S m P(S) f (x, y)dxdy M P(S). S

7.
7.
	S

f (x, y)dxdy M P(S).

Если f(x,y) – непр на S, то

(с, d ) S : f (c,

8.
8.
	S
9.
9.
	S

d ) M .

f (x, y)dxdy		f (x, y)dxdy				f (x, y)dxdy,	где	S S1 S2 .

	S			S	2
	1
dxdy lim lim			P( Si) lim P(S) P(S).
d 0	d 0			d 0

Вычисление двойного интеграла по прямоугольнику.

Теорема:

1) f (x, y), (x, y) Sпр. :

f (x, y)dxdy

f (x, y)dy

f (x, y)dxdy,

2) x [a, b] f (x, y)dy I (x)

п р.

где

Sпр.

: (x, y) : x a, b y c, d .

Теорема: (о вычислении двойного интеграла по криволинейной

области). f(x,y) интегрирована в D: {a ≤ x ≤ b,

y (x) y y

(x)

x a, b I (x)

( x)

f (x, y)dy dx

f (x, y)dy

( x)

f (x, y)dxdy.

Таким образом, если область D стандартна относительно оси ОY (a

y2 ( x)

≤ x ≤ b) ^ y1 (x) y(x) y2 (x)), то f (x, y)dxdy dx

f (x, y)dy.

y1 ( x)

x1 ( y)

Если область D стандартна относительно оси ОХ, т.е. c ≤ y ≤ d,

x	( y),	то по аналогии получим:
2		то по аналогии получим:
			d	x	( y )
				2
			f (x, y)dxdy dy		f (x, y)dx.
		D	c	x	( y )
				1

	Если область D нестандартная, то её разбивают на конечное число
областей	S1, S2 ,..., Sn стандартных относительно осей координат Ох и Oy и на

основании свойств пределов полагают

Пусть в

				...
D	s	s	2	s	n
	1		2		n
Двойной интеграл в полярных координатах.
f (x, y)dxdy f (x, y)dS
S	S

Желаем перейти к полярным координатам r и φ, полагая x = cosφ; y = rsin φ. Область интегрирования S разобьём на элементарные области Sij с

помощью координатных линий								r
обозначения	r	j	r	j 1	;	j	i 1		i

rj (окружности) и j (лучи). Введём

. Т.к. Sij с точностью до б.м. более

высокого порядка малости относительно их площади
как прямоугольники с измерениями	r		и r	j	P S
как прямоугольники с измерениями	j	i		j

можно рассматривать
ij	r		r	.	Область
ij	j	i	j		Область

неправильной формы, примыкающая к границе проигнорируем, т.к. при

измельчении разбиения их суммарная площадь стремиться к нулю. Выберем
M ij Sij - где M ij - вершина области Sij			с координатами	M	ij	r	,	.
						j	i
в ПДСК xij	rj cos i , yij	rj	sin i f (xij , yij ) f			rj	cos i ; rj sin i
f (x, y)dxdy lim ,		не	зависит от добавления					слагаемых
S	i 1... n
	1...n

d 0

б.б.в.п.м., где

max dij S

f (x, y)dxdy S

rCos , rSin rd dr

, где dS=rdrdφ

– двумерный элемент площади в полярных координатах.

Для вычисления этого двойного интеграла заменим его повторным.

Пусть S:	r r ,
, r	r r ,	где	r	и	r - однозначные,
1	2		1		2

непрерывной функции на [α,β]. Тогда по аналогии с прямоугольными координатами имеем:

			r
	F r, d dr		2	F r, dr,
	F r, d dr	d		F r, dr,	где F(r,φ) = rf(rCosφ,rSinφ).
					где F(r,φ) = rf(rCosφ,rSinφ).
S			r
			1

Интеграл Эйлера-Пуассона.

I		x2	dx ~ I		y2	dy I		e	x2	dxdy,
I	e		dx ~ I	e		dy I		e		dxdy,
							2			y2
	0			0				S

Перейдём к полярным координатам:

где

x 0; y 0; .


				2			2				2								1				2				1
I	2	e	r		rd dr		d re		r			dr			0				1		e	r					1
I		e			rd dr		d re					dr			0						e			0
															2
		S					0	0											2							2	2		4
		S					0	0


по свойству т.к.						I 2		f x, y dxdy ~ I e x																	dx
по свойству т.к.						I 2		f x, y dxdy ~ I e x																	dx			.
																								2
								S														0					2
								S														0

										e		x	2	dx 2			e	x		2	dx				.
В силу чётности имеем:												x						x


																0

Практическая часть:

1. Вычислить повторный интеграл

Сначала вычислим внутренний интеграл по формуле НьютонаЛейбница. Его результат будет подынтегральной функцией для внешнего интеграла.

2. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

3.Изменить порядок интегрирования

4. Поменять порядок интегрирования

5. Вычислить повторный интеграл

6.	Вычислить двойной	интеграл	, где D-
прямоугольник 0≤x≤2, 0≤y≤1
7. Вычислить интеграл		,где область D параболический