Алгебра 3 семестр Лекцииi

U gH = G .

g G

Действительно, g gH , т.к. g = g ×e и e H . Поэтому

G Í U gH . Обратное включение следует из того, что

g G

gH Í G Þ U gH Í G .

g G

2) Как известно, по разбиению можно определить отношение эквивалентности так, чтобы классы эквивалентности совпали с элементами разбиения. Определение должно быть таким:

a :H b Û a,b Î gH для некоторого g ÎG .

Пусть a, b Î gH , тогда

a = g h1, b = g h2 Þ g = a h1−1 = bh2−1 Þ

Þ a−1 (a h1−1 )h2 = a−1 (bh2−1 )h2 Þ h1−1h2 = a−1b Þ

Þa−1b = h1−1h2 Î H .

Вобратную сторону аналогично.

a−1b = h Þ b = ah Þ a, b Îa H .

3) Если подгруппа H имеет n элементов, то все смежные классы по этой подгруппе также имеют по n элементов. Для доказательства достаточно заметить, что отображение tg (x ) = gx является взаимно однозначным

отображением подгруппы H на смежный класс gH .

Теорема доказана.

Из пунктов 1) и 3) получаем

СЛЕДСТВИЕ (теорема Лагранжа). Порядок конечной группы делится на порядок любой её подгруппы.

41

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество всех смежных классов по заданной подгруппе называется фактор-множеством и обозначается G /H .

ТЕОРЕМА. Фактор-множество по нормальной подгруппе

является группой относительно определённого выше умножения множеств и называется фактор-группой.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как H – это подгруппа, то H × H = H . Звездочкой будем помечать равенства, в которых использовалась нормальность подгруппы H .

1) Докажем, что произведение смежных классов снова будет смежным классом, т.е. умножение множеств является операцией на фактор-множестве.

Действительно,

) )

g1H × g2H = Hg1 × g2H = H (g1g2 ) × H =

=(g1g2 )H × H = (g1g2 )H .

2)Докажем ассоциативность операции умножения смежных классов.

42

=(g1 (g2g3 ))H = g1H × (g2g3 )H = g1H × (g2H × g3H ) .

3)Докажем существование единичного элемента. Им будет смежный класс eH = H . Действительно,

) )

gH × H = gH, H × gH = H × Hg = Hg = gH .

4) Докажем существование обратного элемента. Для смежного класса gH обратным будет смежный класс g−1H . Действительно,

)

gH × g−1H = Hg × g−1H = HeH = H × H = H ,

)

g−1H × gH = Hg−1 × gH = HeH = H × H = H .

Теорема доказана.

§2. Кольца

Достаточно часто классические алгебраические объекты образуют кольца. Как правило – это ассоциативные (и коммутативные) кольца с единицей. Например:

1)целые числа,

2)многочлены,

3)квадратные матрицы (кольцо матриц некоммутативно).

Разберём некоторые простейшие понятия, ограничившись случаем коммутативно-ассоциативных колец с единицей. Большая часть излагаемого материала в

неизменном виде подходит для случая некоммутативных колец.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть K – некоторое кольцо и дано непустое множество I K . Говорят, что I является идеалом

43

кольца K , если оно замкнуто относительно вычитания и устойчиво относительно умножения на элементы кольца K ,

4)Пусть для любого натурального n запись nk

обозначает сумму k1442443+ k + K+ k , k K . Тогда идеалом будет

n

множество

n K = {nk k K} .

Для колец (так же как и для групп) можно определить понятие фактор-кольца.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть I K – некоторый идеал.

Определим отношение сравнимости элементов по идеалу I : a ≡ b (mod I ) a − b I .

ТЕОРЕМА. 1) Отношение сравнимости элементов кольца по идеалу является отношением эквивалентности.

2) Класс эквивалентности любого элемента a по отношению ≡ представим в виде a + I .

44

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Классы эквивалентности по отношению ≡ называются классами вычетов по идеалу I или смежными классами по идеалу I . Множество всех смежных классов по данному идеалу называется фактор-множеством кольца K по идеалу I и обозначается K /I .

Определим на этом множестве операции:

(a + I ) + (b + I ) = (a + b) + I, ,

(a + I ) × (b + I ) = ab + I ,

-(a + I ) = (-a ) + I .

Вкачестве единицы будем рассматривать класс 1 + I , а

вкачестве нуля – класс 0 + I = I .

ТЕОРЕМА. Фактор-множество относительно определённых выше операций образует коммутативно- ассоциативное кольцо с единицей, которое называется фактор-кольцом кольца K по идеалу I .

Для ДОКАЗАТЕЛЬСТВА достаточно проверить все аксиомы кольца (оставляется в качестве упражнения).

45

§3. Отношение делимости в кольцах

Рассмотрим отношение делимости в некотором кольце

K :

"a, b Î K (a Mb Û $q Î K (a = bq)) .

Очевидно, что это отношение может быть определено на любом множестве, на котором есть двухместная операция умножения. Попытаемся выяснить, какие свойства (и аксиомы) влияют на свойства отношения делимости в общем случае. Классические примеры целых чисел и многочленов

окажутся частными случаями более общего понятия евклидова кольца. Свойства делимости будем рассматривать на основе аналогии с делимостью целых чисел.

Рассмотрим доказательство единственности частного от деления a на b ¹ 0 (например, для целых чисел).

Пусть a = bq1 = bq2 , тогда b (q1 - q2 ) = 0 Þ b = 0 или q1 - q2 = 0 . Так как по условию b ¹ 0 , то q1 - q2 = 0 и q1 = q2 .

Как нетрудно заметить при доказательстве мы использовали так называемое свойство отсутствия делителей нуля:

если ab = 0 , то a = 0 или b = 0 .

Это свойство позволяет сокращать равенство на общий ненулевой сомножитель:

если bq1 = bq2, b ¹ 0 , то q1 = q2 .

Если взять отрицание свойства, то получится свойство существования делителей нуля:

Ø"a, b [ab = 0 Þ a = 0 Ú b = 0] º

46

При рассмотрении свойств делимости всегда важно знать: имеет кольцо K делители нуля или нет.

Кольцо целых чисел, как известно, делителей нуля не имеет. А кольцо квадратных матриц – имеет. Так, например, можно рассмотреть матрицы размера 2 ´ 2 и взять две

N.B. В дальнейшем, если не оговорено противное, мы будем предполагать, что K – это коммутативно- ассоциативное кольцо с единицей без делителей нуля. Такие кольца принято называть областями целостности.

Как известно не все элементы кольца имеют обратный элемент, т.е. являются обратимыми. Например, в кольце целых чисел обратимыми являются только +1 и -1 . Если все отличные от нуля элементы обратимы, то кольцо становится полем. В поле отношение делимости вырождается, т.к. каждый элемент делится на любой ненулевой элемент.

47

называемые "тривиальные делители", т.е. делители некоторых типов, которые есть у любого элемента. Тривиальные делители целых чисел описаны в свойстве 6: для числа n тривиальными делителями будут ±1 и ±n . Докажем это

свойство в общем случае.

ОБОЗНАЧЕНИЕ. K – множество обратимых элементов кольца K . Очевидно, что K ¹ Æ , т.к. ±1Î K .

6) Для любого a K и β Î K выполняется следующие соотношения:

0Ma, a Mβ, aMβa .

Для ДОКАЗАТЕЛЬСТВА просто укажем частные в каждом случае.

0 = a × 0, a = β × (β −1a), a = βa × β −1 .

Для a K тривиальными делителями будут все элементы вида β, βa , где β Î K .

Свойства 1)–4) (формулировка и доказательства) остаются без изменений.

1)a Ma (рефлексивность),

2)если a Mb, bMc , то a Mc (транзитивность),

3)если a Mc, bMc , то (a ± b)Mc ,

4)если a Mc , то abMc .

Свойство 5 можно сформулировать так: делимость не зависит от обратимых сомножителей.

5) Если a Mb и β, γ Î K то βaMγb .

Действительно, если a = bq , то βa = γb × (γ −1βq ).

48

В силу свойств 5) и 6) многие понятия и результаты,

связанные с делимостью будут определяться с точностью до обратимого сомножителя. Для удобства дадим следующее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементы a, b Î K называются ассоциированными, если существует такой обратимый элемент β Î K , что a = βb .

ОБОЗНАЧЕНИЕ: a : b .

ТЕОРЕМА (свойства ассоциированных элементов). Для любых a, b, c Î K выполняются следующие свойства:

1)a : a ;

2)если a : b , то b : a ;

3)если a : b, b : c , то a : c ;

4) a : b тогда и только тогда, когда a Mb и bMa ;

5) ассоциированные элементы имеют одинаковые делители.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) следует из того, что a = 1×a .

a = 1×b, 1Î K . Если a ¹ 0 , то из условия следует, что a = bq1 , b = aq2 и тогда a = aq2q1 . Пользуясь свойством отсутствия делителей нуля, сокращаем на a ¹ 0 и получаем 1 = q2q1 . По определению элементы q1, q2 обратимы и, так как a = bq1 , то a : b .

49

5) Действительно, если a = βb и a Md , то по свойству делимости 5 получаем, что β −1a = bMd , и наоборот.

§4. Евклидовы кольца

При исследовании целых чисел большую роль играет теорема о делении с остатком. Доказав её для целых чисел, мы получили алгоритм Евклида, доказали существование НОД, получили свойства взаимной простоты, доказали теорему о разложении на простые сомножители и т.д. В общем случае мы приходим к понятию евклидова кольца.

евклидовой нормой, если выполняются следующие свойства (аксиомы).

Кольцо, на котором задана евклидова норма,

называется евклидовым кольцом.

Аксиома 2 есть ни что иное, как теорема о делении с остатком, в которой опущено условие единственности неполного частного и остатка. Необходимость в нём возникает редко и, в общем случае, оно не предполагается.

Для целых чисел евклидовой нормой является абсолютная величина (модуль) числа. Аксиома 1 была доказана как свойство 7.

Докажем все свойства делимости, которые были рассмотрены в предыдущей теме, для случая евклидова

50