Горбоконенко - Метрология в вопросах - 2005

Глава 4. Погрешности измерений и обработка результатов

арифметическое значение измеряемой величины из n единичных результатов.

¾ На практике широко распространен термин среднее квадратическое отклонение (СКО). Под отклонением понимают отклонение единичных результатов в ряду измерений от их среднего арифметического значения. В метрологии это отклонение называется погрешностью измерений. Если в результаты измерений введены поправки на действие систематических погрешностей, то отклонения представляют собой случайные погрешности. Поэтому с точки зрения упорядочения совокупности терминов, родовым среди которых является термин «погрешность измерения», целесообразно применять термин «средняя квадратическая погрешность» (СКП). При обработке ряда результатов измерений, свободных от систематических погрешностей, СКП и СКО являются одинаковой оценкой рассеяния результатов единичных измерений.

Средняя квадратическая погрешность результата измерений среднего арифметического – оценка Sx случайной погрешности

среднего арифметического значения результата измерений одной и той же величины в данном ряду измерений, вычисляемая по формуле

где S – средняя квадратическая погрешность результатов единичных измерений, полученная из ряда равноточных измерений; п – число единичных измерений в ряду.

Доверительные границы погрешности результата измерения – наибольшее и наименьшее значения погрешности измерений, ограничивающие интервал, внутри которого с заданной вероятностью находится искомое (истинное) значение погрешности результата измерений.

¾ 1. Доверительные границы в случае нормального закона распределения вычисляются как ±tS, ±t Sx , где S, Sx – средние квадратические погрешности, соответственно, единичного и среднего арифметического результатов измерений; t – коэффициент, зависящий от доверительной вероятности P и числа измерений п.

2.При симметричных границах термин может применяться в единственном числе – доверительная граница.

3.Иногда вместо термина доверительная граница применяют термин

доверительная погрешность или погрешность при данной доверительной вероятности.

69

Глава 4. Погрешности измерений и обработка результатов

Поправка – значение величины, вводимое в неисправленный результат измерения с целью исключения составляющих систематической погрешности.

¾ Знак поправки противоположен знаку погрешности. Поправку, прибавляемую к номинальному значению меры, называют поправкой к значению меры; поправку, вводимую в показание измерительного прибора, называют

поправкой к показанию прибора.

Поправочный множитель – числовой коэффициент, на который умножают неисправленный результат измерения с целью исключения влияния систематической погрешности.

¾ Поправочный множитель используют в случаях, когда систематическая погрешность пропорциональна значению величины.

Точность результата измерений – одна из характеристик качества измерения, отражающая близость к нулю погрешности результата измерения.

¾ Считают, что чем меньше погрешность измерения, тем больше его точность.

Неопределенность измерений – параметр, связанный с результатом измерений и характеризующий рассеяние значений, которые можно приписать измеряемой величине.

¾ Неопределенность состоит (в основном) из многих составляющих. Некоторые из этих составляющих могут быть оценены экспериментальными стандартными отклонениями в статистически распределенной серии результатов измерений. Другие составляющие, которые также могут быть оценены стандартными отклонениями, базируются на данных эксперимента или другой информации.

Погрешность метода поверки – погрешность применяемого метода передачи размера единицы при поверке.

Погрешность градуировки средства измерений – погрешность действительного значения величины, приписанного той или иной отметке шкалы средства измерений в результате градуировки.

Погрешность воспроизведения единицы физической величины – погрешность результата измерений, выполняемых при воспроизведении единицы физической величины.

¾ Погрешность воспроизведения единицы при помощи государственных эталонов обычно указывают в виде ее составляющих: неисключенной систематической погрешности; случайной погрешности; нестабильности за год.

70

Глава 4. Погрешности измерений и обработка результатов

Погрешность передачи размера единицы физической величины – погрешность результата измерений, выполняемых при передаче размера единицы.

¾ В погрешность передачи размера единицы входят как неисключенные систематические, так и случайные погрешности метода и средств измерений.

Статическая погрешность измерений – погрешность результата измерений, свойственная условиям статического измерения.

Динамическая погрешность измерений – погрешность результата измерений, свойственная условиям динамического измерения.

Промах – погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда.

¾ Иногда вместо термина «промах» применяют термин грубая погрешность измерений.

Предельная погрешность измерения в ряду измерений –

максимальная погрешность измерения (плюс, минус), допускаемая для данной измерительной задачи.

¾ Во многих случаях погрешность 3S принимают за предельную, то есть ∆ПР = ±3S. При необходимости за предельную погрешность может быть принято и другое значение погрешности (S – средняя квадратическая погрешность результатов единичных измерений в ряду измерений).

Погрешность результата однократного измерения –

погрешность одного измерения (не входящего в ряд измерений), оцениваемая на основании известных погрешностей средства и метода измерений в данных условиях (измерений).

¾ При однократном измерении микрометром какого-либо размера детали получено значение величины, равное 12,55 мм. При этом еще до измерения известно, что погрешность микрометра в данном диапазоне составляет ±0,01 мм, и погрешность метода (непосредственной оценки) в данном случае принята равной нулю. Следовательно, погрешность полученного результата будет равна ±0,01 мм в данных условиях измерений.

Суммарная средняя квадратическая погрешность результата измерений – погрешность результата измерений (состоящая из суммы случайных и неисключенных систематических погрешностей, принимаемых за случайные), вычисляемая по формуле

SΣ = S 2 + Sθ2 ,

71

Глава 4. Погрешности измерений и обработка результатов

неисключенных систематических погрешностей при равномерном распределении (принимаемых за случайные).

¾ Доверительные границы суммарной погрешности (∆X)∑ могут быть

t Sx – доверительная граница погрешности результата измерений.

Погрешность средства измерений – разность между показанием средства измерений и истинным (действительным) значением измеряемой физической величины.

¾1. Для меры показанием является ее номинальное значение.

2.Поскольку истинное значение физической величины неизвестно, то на практике пользуются ее действительным значением.

3. Приведенное определение понятия «погрешность средства измерений» не противоречит формулировкам, принятым в отечественной метрологической литературе. Однако признать его удовлетворительным нельзя, так как по сути оно не отличается от определения понятия «погрешность измерений», поэтому необходима дальнейшая работа по усовершенствованию определения этого понятия.

Систематическая погрешность средства измерений –

составляющая погрешности средства измерений, принимаемая за постоянную или закономерно изменяющуюся.

¾ Систематическая погрешность данного средства измерений, как правило, будет отличаться от систематической погрешности другого экземпляра средства измерений этого же типа, вследствие чего для группы однотипных средств измерений систематическая погрешность может иногда рассматриваться как случайная погрешность.

Случайная погрешность средства измерений –

составляющая погрешности средства измерений, изменяющаяся случайным образом.

Абсолютная погрешность средства измерений – абсолютная погрешность средства измерений, выраженная в единицах измеряемой физической величины.

Относительная погрешность средства измерений –

погрешность средства измерений, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к результату измерений или к действительному значению измеренной физической величины.

72

Глава 4. Погрешности измерений и обработка результатов

Приведенная погрешность средства измерений –

относительная погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условно принятому значению величины, постоянному во всем диапазоне измерений или в части диапазона.

¾ 1. Условно принятое значение величины называют нормирующим значением. Часто за нормирующее значение принимают верхний предел измерений.

2. Приведенную погрешность обычно выражают в процентах.

Основная погрешность средства измерений – погрешность средства измерений, используемого в нормальных условиях.

Дополнительная погрешность средства измерений –

составляющая погрешности средства измерений, возникающая дополнительно к основной погрешности вследствие отклонения какой-либо из влияющих величин от нормального ее значения или вследствие ее выхода за пределы нормальной области значений.

Статическая погрешность средства измерений – погрешность средства измерений, применяемого при измерении физической величины, принимаемой за неизменную.

Динамическая погрешность средства измерений –

погрешность средства измерений, возникающая при измерении изменяющейся (в процессе измерений) физической величины.

Погрешность меры – разность между номинальным значением меры и истинным значением воспроизводимой ею величины.

Абсолютная погрешность измерительного прибора –

разность между номинальным значением меры и действительным значением воспроизводимой ею величины.

Стабильность средства измерений – качественная характеристика средства измерений, отражающая неизменность во времени его метрологических характеристик.

¾ В качестве количественной оценки стабильности служит

нестабильность средства измерений.

Нестабильность средства измерений – изменение метрологических характеристик средства измерений за установленный интервал времени.

73

Глава 4. Погрешности измерений и обработка результатов

¾ 1. Для ряда средств измерений, особенно некоторых мер, нестабильность является одной из важнейших точностных характеристик. Для нормальных элементов обычно нестабильность устанавливается за год.

2. Нестабильность определяют на основании длительных исследований средства измерений, при этом полезны периодические сличения с более стабильными средствами измерений.

Пример: нестабильность нормального элемента характеризуется изменением действительного значения эдс за год. Например, vH.Э = 2 мкВ/год.

Точность средства измерений – характеристика качества средства измерений, отражающее близость его погрешности к нулю.

¾ Считается, что чем меньше погрешность, тем точнее средство измерений.

Предел допускаемой погрешности средства измерений –

наибольшее значение погрешности средств измерений, устанавливаемое нормативным документом для данного типа средств измерений, при котором оно еще признается годным к применению.

¾ 1. При превышении установленного предела погрешности средство измерений признается негодным для применения (в данном классе точности).

2. Обычно устанавливают пределы допускаемой погрешности, то есть границы зоны, за которую не должна выходить погрешность.

Пример: для 100-миллиметровой концевой меры длины 1-го класса точности пределы допускаемой погрешности ±50 мкм.

74

Глава 4. Погрешности измерений и обработка результатов

4.2.Основные вопросы для изучения темы

?Классификация погрешностей

Качество результатов измерений характеризуют, указывая их погрешности. Введение понятия «погрешность» требует определения и четкого разграничения трех понятий: истинного и действительного значений измеряемой физической величины и результата измерения.

Истинное значение физической величины – это значение,

идеальным образом отражающее свойство данного объекта как в количественном, так и в качественном отношении. Оно является абсолютной истиной, к которой стремятся, пытаясь выразить ее в виде числовых значений. На практике это абстрактное понятие приходится заменять понятием «действительное значение».

Действительное значение физической величины – значение,

найденное экспериментально и настолько приближенное к истинному, что для данной цели оно может быть использовано вместо него.

Результат измерения представляет собой приближенную оценку истинного значения величины, найденную путем измерения.

Погрешности измерений классифицируют по следующим признакам [5]:

1.По характеру проявления погрешности делятся на случайные, систематические, прогрессирующие и грубые (промахи).

2.По способу выражения различают абсолютную, относительную и приведенную погрешности.

3.В зависимости от места возникновения различают инструментальные, методические и субъективные погрешности.

4.По зависимости абсолютной погрешности от значений измеряемой величины различают аддитивные, мультипликативные и нелинейные погрешности.

5.По влиянию внешних условий погрешности делятся на основную и дополнительную.

6.В зависимости от влияния характера изменения измеряемых величин погрешности делят на статические и динамические.

75

Глава 4. Погрешности измерений и обработка результатов

?Основные характеристики погрешностей

Погрешность измерения описывается определенной математической моделью, выбор которой обусловливается имеющимися априорными сведениями об источниках погрешности, а также данными, полученными в ходе измерений. С помощью выбранной модели определяются характеристики и параметры погрешности, используемые для количественного выражения тех или иных ее свойств.

Характеристики погрешности принято делить на точечные и интервальные. К точечным относятся среднеквадратическое отклонение (СКО) случайной погрешности и предел сверху для модуля систематической погрешности, к интервальным – границы неопределенности результата измерения. Если эти границы определяются как отвечающие некоторой доверительной вероятности, то они называются доверительными интервалами. Если же минимально возможные в конкретном случае границы погрешности оценивают так, что погрешность, выходящую за них, встретить нельзя, то они называются предельными (безусловными)

интервалами.

противопоставления и компенсации по знаку

Метод замещения состоит в такой замене измеряемой величины ХИ известной величиной А (мерой), получаемой с помощью регулируемой меры, чтобы показание измерительного прибора сохранилось неизменным. Значение измеряемой величины считывается в этом случае по указателю меры.

При данном методе погрешность недостаточно точного измерительного прибора устраняется, а погрешность измерения определяется только погрешностью самой меры и погрешностью отсчета измеряемой величины по указателю меры.

Пример: измерялось сопротивление резистора RХ омметром малой точности. Результат измерения равен Х = RХ+∆с, где Х и ∆с – соответственно показание омметра и систематическая погрешность измерения. Заменив RХ магазином сопротивлений и отрегулировав его так, чтобы сохранилось показание омметра, получим Х = Rм+∆с. Их приведенных двух выражений для Х следует, что RХ = Rм.

Метод противопоставления применяется в электрорадиоизмерениях для исключения систематических

76

Глава 4. Погрешности измерений и обработка результатов

погрешностей при сравнении измеряемой величины с известной величиной примерно равного значения, воспроизводимой соответствующей образцовой мерой.

Метод компенсации погрешности по знаку используется для устранения систематической погрешности, у которой в зависимости от условий измерения изменяется только знак. При этом методе выполняются два измерения, результаты определяются выражениями:

представляет собой окончательный результат измерения, не содержащий погрешности ±∆с. Этот метод часто используется при измерении экстремальных значений (максимума и нуля) неизвестной физической величины.

Методы уменьшения систематических

?погрешностей: метод рандомизации и способ симметричных наблюдений

Метод рандомизации основан на принципе перевода систематических погрешностей в случайные. Этот метод позволяет эффективно уменьшать систематическую погрешность (методическую и инструментальную) путем измерения некоторой физической величины рядом однотипных приборов с последующей оценкой результата измерений в виде математического ожидания (среднего арифметического значения) выполненного ряда наблюдений. В данном методе при обработке результатов измерений используются случайные изменения погрешности от прибора к прибору. Уменьшение систематической погрешности достигается и при изменении случайным образом методики и условий проведения измерений.

Пример: Некоторая физическая величина измеряется n раз (число n достаточно велико) однотипными приборами, имеющими систематические погрешности одинакового происхождения. Для одного прибора эта погрешность – величина постоянная, но от прибора к прибору она изменяется случайным образом. Поэтому если измерить неизвестную физическую величину n приборами и затем вычислить математическое ожидание всех результатов, то значение погрешности существенно уменьшится (как в случае усреднения случайной погрешности).

77

Глава 4. Погрешности измерений и обработка результатов

Способ симметричных наблюдений оказывается весьма эффективным при исключении прогрессивной погрешности, являющейся линейной функцией соответствующего аргумента (амплитуды напряжения, времени, температуры и т.д.). Измерения проводят последовательно через одинаковые интервалы изменения аргумента, а обработку полученных результатов осуществляют с учетом равенства среднего значения погрешности любой пары симметричных наблюдений погрешности, соответствующей средней точке данного интервала. Подобным образом удается исключить погрешности измерений, обусловленные постепенным падением уровня напряжения источника питания (аккумулятора, батареи).

Исключение систематических погрешностей

?путем введения поправок

Вряде случаев систематические погрешности могут быть вычислены и исключены из результата измерения. Для этого используются поправки [4].

Поправка Сj – величина, одноименная измеряемой, которая

вводится в результат измерения Xi = X′i + θj + Cj с целью исключения составляющих систематической погрешности θj. При Сj = –θj j-я составляющая погрешности полностью устраняется из результата измерения. Поправки определяются экспериментально или в результате специальных теоретических исследований. Они задаются в виде таблиц, графиков или формул.

Введением одной поправки устраняется влияние только одной составляющей систематической погрешности. Для устранения всех составляющих в результат измерения приходится вводить множество поправок. При этом вследствие ограниченной точности определения поправок случайные погрешности результата измерения накапливаются, и его дисперсия увеличивается. Так как поправка известна с определенной точностью, то она характеризуется статистически – средним значением поправки С и СКО Sc. При

j

78