Третьяк - Обработка результатов наблюдений. Учебное пособие - 2004
.pdfЕсли отсутствуют данные о функциях распределения составляющих погрешности, то результаты измерений представляют в виде: X ; Sx ; n ; θ при доверительной вероятности P = PД .
111
10 Обработка результатов косвенных измерений
При косвенных измерениях значение искомой физической величины Y находится на основании результатов измерений аргументов (отдельные
результаты наблюдений в ряду измерений) x1 , x2 , …, xm , |
связанных с |
искомой величиной известной функциональной зависимостью: |
|
Y = F(x1, x2 ,K, xm ). |
(10.1) |
Результаты измерений аргументов и оценки их погрешностей могут быть получены из прямых, косвенных, совокупных, совместных измерений или из литературных источников.
Функция F должна быть известна из теоретических предпосылок или установлена экспериментально с погрешностью, которой можно пренебречь.
При оценивании доверительных границ погрешностей результата косвенного измерения обычно принимают вероятность, равную 0,95 или 0,99. Использование других вероятностей должно быть обосновано.
В пособии рассматривается определение результатов косвенных измерений и оценивание их погрешности при условии, что в процессе выполнения измерений параметры объекта не изменяются во времени.
Разработаны методики /19/ определения результатов косвенных измерений и оценки их погрешности:
1)при линейной зависимости и отсутствии корреляции между погрешностями изменений аргументов;
2)при нелинейной зависимости и отсутствии корреляции между погрешностями измерений аргументов;
3)для коррелированных погрешностей измерений аргументов при наличии рядов отдельных значений измеряемых аргументов.
10.1Обработка результатов косвенных измерений при линейной зависимости
Для решения задачи косвенных измерений необходимо, чтобы были известны: вид функций, результаты измерений аргументов x1 , x2 , …, xm , и
оценки их погрешностей.
Условием справедливости нулевой статической гипотезы об отсутствии корреляционной связи между погрешностями результатов измерения i-го и (i +1)-го аргументов является выполнение неравенства для критерия Стьюдента.
t = r |
n −2 |
, |
(10.2) |
1−n2 |
|
|
где n – число измерений.
112
Значение t , полученное из (10.2), сопоставляют с табличным значением tq , которое берут для принятого уровня значимости q и числа
степеней свободы f = n −2 . При t > tq подтверждается значимость
выборочного коэффициента корреляции.
При условии, что распределение случайных погрешностей результатов измерений аргументов не противоречит нормальному распределению, критерием отсутствия корреляционной связи между погрешностями результатов измерений аргументов является выполнение неравенства.
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
n −2 |
< tq , |
(10.3) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1−r 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где tq |
|
– коэффициент |
|
Стьюдента, |
соответствующий |
уровню |
||||||||||||||
значимости q и числу степеней свободы f = n −2 ; |
|
|||||||||||||||||||
r |
|
– оценка коэффициента корреляции между погрешностями |
||||||||||||||||||
аргументов xh и x j , найденная по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∑n (xh |
− |
|
h )(x ji − |
|
j ) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
X |
X |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
r = |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(10.4) |
||
|
|
|
|
|
∑n |
(xh − |
|
h )2 ∑n |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x ji − |
|
j )2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
X |
X |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
i |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где xh |
|
; x ji |
– результаты i-го измерения h-го и j-го аргуменов; |
|
||||||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n j |
|
= ni |
= n – число измерений каждого из аргументов. |
|
Если измеряемая величина зависит от m аргументов, необходимо проверить отсутствие корреляционных связей между погрешностями всех парных сочетаний аргументов.
Если существует линейная зависимость и отсутствует корреляция между погрешностями измерений аргументов, то обработку результатов
выполняют в следующей последовательности. |
|
|
||||
|
|
Искомое значение Y |
связано |
с m |
измеряемыми |
аргументами |
x1 , |
x2 |
, …, xm , уравнением: |
|
|
|
|
|
|
Y = b1 x1 +b2 x2 +K+bm xm , |
(10.5) |
|||
|
|
где b1, b2 , K, bm – постоянные |
коэффициенты при |
аргументах |
||
x1 , |
x2 |
, …, xm , соответственно. |
|
|
|
b1, b2 , K, bm |
|
|
При экспериментальном |
определении |
коэффициентов |
результат измерения величины получается после выполнения 2-х этапов.
113
На первом этапе оцениваются каждое слагаемое bi xi как косвенно
измеряемую величину, полученную в результате произведения двух измеряемых величин. На втором этапе находят оценку измеряемой величины Y .
Результат косвенного измерения для известных значений результатов аргументов (т. е. точечные оценки рядов измерений аргументов) x1 , x2 , …, xm равен:
|
|
= F( |
|
|
1, |
|
2 , |
|
3,..., |
|
m ). |
(10.6) |
|||||
Y |
X |
X |
X |
X |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
вычисляется по формуле: |
|||||||||||
Или, с учетом зависимости 10.5, результат Y |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|||||||||
|
|
|
|
= ∑bi |
|
i , |
(10.7) |
||||||||||
|
|
Y |
X |
i=1
где Xi – результат измерения i-го аргумента (параметра Xi );
m – число аргументов.
Причем, следует напомнить, что каждый аргумент (в случае многократных измерений) может быть повторен n раз.
Оценка среднего квадратичного отклонения результата косвенного измерения вычисляется по формуле:
|
|
|
m |
∂F |
|
2 |
|
m |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
SY = ∑ |
|
S Xi |
= |
∑bi |
S Xi |
, |
(10.8) |
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
i=1 |
|
∂X i |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
где SX i – оценка среднего квадратического отклонения измерения аргумента xi , определяемого по известной формуле.
10.1.1 Представление результатов измерений
Ввиду того, что каждый аргумент может иметь соответствующие доверительные границы неисключенной систематической и случайной погрешностей, то задача определения погрешности косвенного измерения в этих случаях делится на три этапа:
а) суммирование частных неисключенных систематических погрешностей аргументов;
б) суммирование частных случайных погрешностей аргументов; в) сложение систематической и случайной составляющих погрешности.
Доверительная граница неисключенной систематической погрешности косвенного измерения при условии одинаковой доверительной вероятности
114
частных погрешностей и их равномерного распределения внутри заданных границ определяется по формуле (без учета знака):
|
|
m |
|
∂x |
j |
|
2 |
|
|
|
θy |
= k ∑ |
|
|
|
∆2x j , |
(10.9) |
||||
∂F |
||||||||||
|
|
j=1 |
|
|
|
|
||||
где θy – доверительная |
граница |
|
неисключенной |
систематической |
погрешности среднего значения X j -го аргумента.
При отсутствии корреляционной связи между аргументами оценка СКО случайной погрешности косвенного измерения вычисляется по формуле:
m |
|
∂F |
2 |
|
S y = ∑ |
|
|
Sx2j , |
(10.10) |
j=1 |
∂x j |
|
|
где Sx j – оценка СКО случайной погрешности результата измерения X j -го аргумента.
При нормальном распределении погрешностей косвенного измерения доверительная граница случайной составляющей погрешности вычисляется по формуле:
& |
S y , |
(10.11) |
∆ = ±t p |
||
где t p – квантиль Стьюдента при |
доверительной |
вероятности P с |
эффективным числом степеней свободы kэф, определяемом при малых объемах выборки по формуле:
|
|
m |
|
∂F |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
Sx2j |
|
|||||
∂x j |
|
|
||||||||||||||
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
kэф = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 . |
(10.12) |
m |
|
1 |
|
|
|
∂F |
4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sx4j |
|
||
n |
|
+1 |
∂x |
|
|
|
||||||||||
|
j=1 |
|
j |
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
При больших объемах число степеней свободы находится по формуле:
115
k = |
|
m2 |
. |
|
m |
1 |
|
||
|
|
(10.13) |
||
|
∑ |
|
||
|
j=1 n j −1 |
|
Доверительная граница суммарной погрешности результата косвенного измерения определяется по правилам, изложенным выше.
10.2 Обработка результатов косвенных измерений при нелинейной зависимости
Существуют два метода определения точечной оценки результата косвенного измерения и её погрешности: линеаризации и приведения.
10.2.1 Метод линеаризации
Для косвенных измерений при нелинейных зависимостях и некоррелированных погрешностях измерений аргументов используется метод линеаризации.
Метод линеаризации основан на том, что погрешность измерения значительно меньше измеряемой величины, и поэтому вблизи средних значений X i аргументов нелинейная функциональная зависимость
линеаризуется и раскладывается в ряд Тейлора (члены высокого порядка не учитываются).
Линеаризуя функцию нескольких случайных аргументов (какими и являются результаты измерений и их погрешности), можно получить, как правило, достаточно простое выражение для вычисления оценок среднего значения и среднего квадратического отклонения функции.
Разложение нелинейной функции в ряд Тейлора имеет вид:
|
|
|
|
|
|
m |
∂F |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||
Y = F(x1, x2 , x3 , ..., xm )= F(X1, X 2 , X 3 , ..., X m )+ ∑ |
|
|
∆X i + R . (10.14) |
||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
∂X i Xi |
|
Метод линеаризации допустим, если можно пренебречь остаточным членом R .
Остаточным |
членом |
R = |
1 |
m |
|
∂2 F |
|
2 |
|||||||||
2 |
∑ |
|
2 |
|
(∆X i ) |
пренебрегают, если |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
∂X I |
|
|
i |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|||||||
m |
∂F |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
S Xi |
, |
где SX |
– среднее |
квадратическое отклонение |
||||||||||||
R < 0,8 ∑ |
|
|
|||||||||||||||
i=1 |
∂X I |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
случайных погрешностей результата измерения xi -го аргумента.
116
Первое слагаемое правой части уравнения есть точечная оценка истинного значения косвенной величины, которая получается подстановкой в функциональную зависимость средних арифметических X i , значений
аргументов:
Y = F( |
|
|
1, |
|
|
|
2, K, |
|
m ). |
(10.15) |
||
X |
X |
X |
||||||||||
m |
∂F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Второе слагаемое ∑ |
|
|
|
|
∆X i , есть сумма |
составляющих |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
i=1 |
|
∂X i |
|
i |
|
|||||||
X |
|
погрешности косвенного измерения, называемых частными погрешностями,
а частные производные ∂F - коэффициентами влияния.
∂Xi
Отклонения ∆Xi должны быть взяты из полученных значений
погрешностей и такими, чтобы они максимизировали выражение для остаточного члена R .
Если частные погрешности косвенного измерения не зависят друг от друга, т. е. являются некоррелированными, и известны доверительные границы погрешности аргументов при одинаковой вероятности, то предельная погрешность (без учета знака) косвенного измерения вычисляется по формуле:
|
|
|
|
|
|
m |
∂F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
x |
= |
∑j=1 |
|
|
∆x |
j |
, |
|
(10.16) |
|||
|
|
|
∂x j |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
∂F |
– значения |
частных |
|
|
производных |
функциональной |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
∂x j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зависимости определяются при средних значениях аргументов |
∂F |
= |
∂F |
. |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x j |
∂x j |
Этот метод, называемый максимум-минимум, дает значительно завышенное значение погрешности косвенного измерения.
Относительно правильная оценка погрешности косвенного измерения, получается, по методу квадратического суммирования:
∆ |
|
= ± |
m |
|
∂F |
|
2 |
. |
(10.17) |
y |
∑ |
|
|
∆2 |
|||||
|
|
|
|
|
x j |
|
|
||
|
|
|
j=1 |
∂X I |
|
|
|
В ряде случаев расчет погрешности косвенного измерения значительно упрощается при переходе к относительным погрешностям. Для этого используется прием логарифмирования и последующего дифференцирования
117
функциональной зависимости. Когда предельная погрешность косвенного измерения, полученная по методу максимума-минимума:
|
|
|
m |
∂lnY |
|
|
|
|
|
|
δ |
y |
= ± |
∑j=1 |
|
|
∆x |
j |
, |
(10.18) |
|
∂x j |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
а по методу квадратического суммирования:
|
m |
2 |
|
|
|
∂lnY ∆2x j . |
|
||
δ y = ± ∑ |
(10.19) |
|||
|
j=1 |
∂x j |
|
Рассмотрим пример:
На стендовых испытаниях двигателя измерялась тяга с помощью тягоизмерительной системы с погрешностью ±0,12 % и секундный массовый расход m топлива с погрешностью ±0,5 % при доверительной вероятности P = 0,95. Требуется вычислить удельный импульс I двигателя и границы погрешности, если регистрирующие средства измерения показали значения:
PТ = 812 Н; m = 0,2 кг/с.
Функциональная связь имеет вид:
I = |
Pm |
. |
(10.20) |
|
|||
|
m |
|
Определим точечную оценку удельного импульса по формуле (10.20):
I = 8120,2 = 4060 Нкгс.
Погрешности аргументов выражены в относительных величинах, поэтому для оценки погрешности удельного импульса используем прием логарифмирования и последующего дифференцирования функциональной зависимости, вычислим по формуле предельную погрешность по методу максимум-минимум (без учета знака):
|
|
|
|
m |
∂lnY |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
|
= |
∑j=1 |
|
|
∆x |
j |
= |
|
∆ |
p |
+ |
|
∆ |
m |
= δ |
p |
+δ |
m |
; |
(10.21) |
|
I |
∂x j |
P |
m |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δI = 0,12 +0,5 = 0,62 %.
118
По методу квадратического суммирования относительная погрешность будет:
|
|
|
|
m |
2 |
|
|
|
m |
|
||||
|
|
|
|
∂lnY |
|
|
|
|
||||||
δI |
= |
|
∑ |
∆2x j |
= ∑δJ2 ; |
(10.22) |
||||||||
∂x j |
||||||||||||||
|
|
|
|
j=1 |
|
|
j=1 |
|
||||||
|
|
δI |
= |
0,122 +0,52 |
= 0,51 %. |
|
|
|||||||
Примем относительную |
погрешность |
|
косвенного |
измерения |
||||||||||
δI = ±0,51 %, тогда абсолютная погрешность находится по формуле: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
∆I |
= I δI ; |
|
|
Н с |
|
(10.23) |
|||
|
|
∆I |
|
= 4060 0,51 %= ± 21 |
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кг |
|
||
Результаты представим в форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
I = |
(4060 ± 21) |
|
Н с |
; P = 0,95. |
|
||||||||
|
|
кг |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим другой пример:
Определить амплитуду A виброперемещения некоторой точки корпуса вертолета и границы погрешности при доверительной вероятности P = 0,95. По результатам многократных наблюдений получены следующие исходные
данные: частота колебаний |
|
f =145,2 Гц; θ f = 0 ; |
S f = 0,04 Гц; n = 20; |
|||||||
амплитуда виброускорения a = 4,2 q ; θa |
|
= 0,1 q ; Sa |
= 0,02 q ; n = 20. |
|||||||
Функциональная зависимость имеет вид: |
|
|||||||||
|
|
|
|
A = |
|
a |
|
|
. |
(10.24) |
|
|
|
|
|
π 2 |
f 2 |
||||
|
|
|
|
4 |
|
|
||||
Найдем через средние значения аргументов точечную оценку |
||||||||||
амплитуды виброперемещения по формуле (10.24): |
|
|||||||||
|
|
|
4,2 9,8 106 |
|
|
|
|
|||
A = |
|
= 49,45 мкм. |
||||||||
4 |
π 2 145,22 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
119
Вычислим доверительную границу (без учета знака) неисключенной систематической погрешности косвенного измерения по формуле, учитывая,
что при P = 0,95; k =1,1.
|
|
|
m |
|
∂F |
2 |
|
|
||
θ |
|
= k ∑ |
|
|
|
|
θx2j ; |
(10.25) |
||
A |
|
|||||||||
∂x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
j |
|
|
|
θA =1,1 4 π 211452 2 (0,1 9,8 106 )2 =1,30 мкм.
Определим оценку СКО S A случайной погрешности косвенного измерения по формуле (10.26):
|
m |
|
∂F |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
S A |
= k ∑ |
|
|
|
|
|
|
Sx j = |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
Sa |
+ −2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
S f ; |
(10.26) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 π |
f |
f |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
j=1 |
|
∂x j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
S A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0,02 9,8 106 ) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,042 . |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 π 2 145,22 |
4 π 2 |
145,22 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Поскольку отношение неисключённой систематической погрешности к |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
оценке |
СКО |
S |
|
|
находится |
|
в |
пределах |
0,8 < |
θ |
|
|
|
= |
1,30 |
= 5,4 < 8, то |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
A |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
0,24 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
суммарную погрешность косвенного измерения определяем по формуле: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆A = ±K (∆A |
+θA ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.27) |
|||||||||||||||||||
Для этого из таблицы 9.3 при P = |
0,95 и θ |
= 5,4 находим K = 0,785. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доверительная граница случайной составляющей погрешности (без |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
учёта знака): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
= t0,95 S |
|
= 2,04 0,24 = 0,49 мкм, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
где t0,95 = 2,04 |
определена |
из |
|
таблицы 3.2 |
|
|
|
|
|
при |
|
|
|
доверительной |
||||||||||||||||||||||||||||||||
вероятности P = 0,95 и числе степеней свободы, найденном по формуле: |
|
120