Голубинский - Системы единиц величин - Система СИ и размерности - 2004

зация, призванная сохранять и совершенствовать метрическую систему.

Ясно, что, определяя метр как десятимиллионную долю четверти земного меридиана, создатели метрической системы стремились добиться инвариантности и точной воспроизводимости системы. За единицу массы они взяли грамм, определив его как массу одной миллионной кубического метра воды при ее максимальной плотности. Поскольку было бы не очень удобно проводить геодезические измерения четверти земного меридиана при каждой продаже метра ткани или уравновешивать корзинку картофеля на рынке соответствующим количеством воды, были созданы металлические эталоны, с предельной точностью воспроизводящие указанные идеальные определения.

Вскоре выяснилось, что металлические эталоны длины можно сравнивать друг с другом, внося гораздо меньшую погрешность, чем при сравнении любого такого эталона с четвертью земного меридиана. Кроме того, стало ясно, что и точность сравнения металлических эталонов массы друг с другом гораздо выше точности сравнения любого подобного эталона с массой соответствующего объема воды.

Всвязи с этим Международная комиссия по метру в 1872 г. постановила принять за эталон длины "архивный" метр, хранящийся в Париже, "такой, каков он есть". Точно так же члены комиссии приняли за эталон массы архивный платино-иридиевый килограмм, "учитывая, что простое соотношение, установленное создателями метрической системы между единицей веса и единицей объема, представляется существующим килограммом с точностью, достаточной для обычных применений в промышленности и торговле, а точные науки нуждаются не в простом численном соотношении подобного рода, а в предельно совершенном определении этого соотношения".

В1875 г. многие страны мира подписали соглашение о метре, и этим соглашением была установлена процедура координации метрологических эталонов для мирового научного сообщества через Международное бюро мер и весов и Генеральную конференцию по мерам и весам. Новая международная организация незамедлительно занялась разработкой международных эталонов длины и массы и передачей их копий всем странам-участницам.

6

не Ньютона. Удобно при этом взять системы LMT и LFT, поскольку первая соответствует СИ и СГС, а вторая - МКГСС, хотя и изъятой из употребления, но единица силы которой - ки- лограмм-сила (кгс) еще достаточно известна, и ее можно встретить в технической литературе прошлого столетия. Согласно второму закону Ньютона, если коэффициент в формуле

F = ma (8)

приравнять единице, единица силы сообщает телу, масса которого равна единице, единицу ускорения. Разумеется, предполагается, что сила, масса и ускорение выражены в одной системе единиц. Если провести опыт, в котором сила, равная единице в одной системе, приложена к телу, масса которого равна единице в другой системе, и измерить ускорение, приобретаемое телом, то можно найти соотношение либо между единицами силы, либо между единицами массы этих систем. Поскольку все тела падают в данной точке земного шара с одинаковым ускорением, то сила притяжения к Земле в каждой точке равна произведению массы тела на ускорение свободного падения. Последнее несколько различно в разных точках земного шара, возрастая от значения 9,7805 м/с2 на экваторе до 9,8322 м/с2 на полюсе. Ускорение в месте хранения эталонной гири килограмма (Севр) равно 9,80665 м/с2. Это значение стандартизовано как постоянная величина, не подлежащая изменению независимо от уточнения измерений, и получило название нормального ускорения свободного падения. Поскольку сила, сообщающая телу, масса которого равна килограмму, ускорение 1 м/с2, равна одному ньютону, то "нормальный вес" килограмма равен 9,81 Н. В то же время сила, с которой килограмм притягивается к Земле в месте хранения эталона килограмма, является единицей силы в LFT и называется кило- грамм-силой (кгс). Отсюда следует, что

1 кгс = 9,81 Н.

Разумеется, в таком же отношении находятся и единицы массы:

1 ед. массы LFT = 9,81 кг.

Обратные соотношения:

1 Н = 0,102 кгс, 1 кг = 0,102 ед. массы LFT.

27

4.4 Определение связи между единицами разных систем

Существование различных систем заставляет решать практическую задачу перевода одних единиц в другие.

Перевод единиц одной системы в единицы другой осуществляется наиболее просто в том случае, когда обе системы построены на одних и тех же определяющих уравнениях и на одних и тех же основных величинах, так что основные единицы отличаются только размером. Из сказанного выше вытекает, что размерность производной единицы в обоих случаях одна и та же, и достаточно в размерность подставить отношения размеров основных единиц, которые должны быть заданы либо определением, либо опытным путем, например сравнением эталонов соответствующих единиц.

В дополнение к приведенным выше примерам установим соотношение двух единиц силы, определенных на основании второго закона Ньютона, при следующих основных единицах: "метр, килограмм, секунда" и "фут, фунт (единицы старой русской системы мер), минута". Соотношения основных единиц следующие:

1 фут = 0,3048 м (сравнение эталонов), 1 фунт = 0,4095 кг (сравнение эталонов), 1 мин = 60 с (определение).

На основе размерности силы [F] = LMT-2 определяем соотношение единиц силы:

Сложнее обстоит дело в том случае, когда при одном и том же определяющем уравнении приняты в качестве основных единицы разных величин [8].

Поскольку по крайней мере одна из величин, которая в одной из систем принята за основную, является в другой системе производной и наоборот, следует установить связь между соответствующими единицами. Очевидно, эта связь может быть установлена только с помощью эксперимента. В механике такой эксперимент может основываться на втором зако-

26

2 Системы единиц

Метрическая система была весьма благосклонно встречена учеными 19 века потому, что она предлагалась в качестве международной системы единиц, отличающейся простотой, а так же по той причине, что ее единицы теоретически предполагались независимо воспроизводимыми. Ученые начали выводить новые единицы для разных физических величин, с которыми они имели дело, основываясь при этом на элементарных законах физики

исвязывая эти единицы с единицами длины и массы метрической системы. Последняя все больше завоевывала различные европейские страны, в которых ранее имело хождение множество не связанных друг с другом единиц для разных величин.

В1832 г. немецким ученым К.Ф. Гауссом было введено понятие о системе единиц физических величин как совокупности основных и производных единиц. Эта система была названа «абсолютной». Единицы измерения, выбранные произвольно и послужившие основой для остальных единиц, называются основными единицами системы. В системе единиц были приняты в качестве основных три единицы: миллиметр, миллиграмм, секунда.

Хотя во всех странах, принявших метрическую систему единиц, эталоны метрических единиц были почти одинаковы, возникли различные расхождения в производных единицах между разными странами и разными дисциплинами. В области электричества и магнетизма появились две отдельные системы производных единиц: электростатическая СГСЭ, основанная на силе, с которой действуют друг на друга два электрических заряда,

иэлектромагнитная СГСМ, основанная на силе взаимодействия двух гипотетических магнитных полюсов.

Положение еще более усложнилось с появлением системы так называемых практических электрических единиц, введенной в середине 19 века британской ассоциацией содействия развитию науки. Данная система была разработана для удовлетворения запросов быстро развивающейся техники проводной телеграфной связи. Использовавшиеся в ней практические единицы не совпадают с единицами обеих названных выше систем, но от

7

единиц электромагнитной системы отличаются лишь множителями, равными целым степеням десяти.

Таким образом, для столь обычных электрических величин, как напряжение, ток и сопротивление, существовало несколько вариантов принятых единиц измерения, и каждому научному работнику, инженеру, преподавателю приходилось самому решать, каким из этих вариантов ему лучше пользоваться. В связи с развитием электротехники во второй половине XIX и первой половине XX веков все более широкое применение находили практические единицы, которые стали, в конце концов, доминировать в этой области.

Достаточно широкое применение в мире, в том числе и в нашей стране, нашла предложенная еще в 1901 г. итальянским ученым Джорджи система единиц МКСА. Основными единицами этой системы являлись метр, килограмм, секунда, ампер. Эта система приблизила мировое сообщество к переходу на исключительное применение единой метрической системы. Для устранения путаницы в начале XX века было выдвинуто предложение объединить практические электрические единицы с соответствующими механическими, основанными на метрических единицах длины и массы, и построить некую согласованную (когерентную) систему.

3 Принципы построения систем размерностей

Приведенная краткая историческая справка показывает, что вопрос систематизации единиц измерений напрямую связан с научно – техническим прогрессом и не является обособленной национальной проблемой. Объединение единиц измерений в систему подчиняется определенным принципам, а единицы, образующие систему, называются системными. Единицы измерений, не входящие ни в одну из систем – внесистемными.

Системную единицу измерений физической величины можно получить четырьмя различными способами.

Во-первых, единицу можно выбрать произвольно, независимо как от других единиц, однородных с нею, так и от единиц

8

пада малых количеств радиоактивных материалов. Затем по таким эталонам градуируют и поверяют ионизационные камеры, счетчики Гейгера, сцинтилляционные счетчики и другие приборы для регистрации проникающих излучений.

4.3Единицы, не входящие в СИ

Вряде отраслей практической деятельности до сих пор не удалось полностью отказаться от использования внесистемных единиц. Часть из них допускается к применению без ограничения срока наравне с единицами СИ. При стандартизации единиц

унас в стране было признано целесообразным сохранить применение ряда единиц, имеющих широкое практическое применение. В таблице 5 ГОСТ 8.417-2002 приведен перечень единиц, допущенных к применению наравне с единицами СИ без ограничения срока. Применение этих единиц возможно лишь в обоснованных случаях, т.е. когда замена их единицами СИ при современном состоянии соответствующих областей науки, техники и народного хозяйства вызвала бы неоправданные затруднения.

Это единицы, используемые в технике и специальных областях: единицы массы – тонна (т), атомная масса (а.е.м.); вре-

мени – минута (мин), час (ч), сутки (сут); плоского угла – градус(…о), минута (…'), секунда (…"), град или гон; объема, вместимости – литр (л); длины – астрономическая единица (а.е.), световой год (св. год), парсек (пк); оптическая сила – диоптрия (дптр); площади – гектар (га); энергии – электрон – вольт (эВ); полной мощности – вольт-ампер (В·А); реактивной мощности – вар (вар); количества электричества – ампер-час (А·ч).

Ряд внесистемных единиц допускается применять временно, до принятия по ним соответствующих международных решений. К ним относятся единицы: длины – морская миля (миля); массы – карат (кар); линейной плотности – текс (текс); скорости

– узел (уз); ускорения – гал (Гал); частоты вращения – оборот в секунду (об/с), оборот в минуту (об/мин); давления – бар (бар).

25

Свет и освещенность. Единицы силы света и освещенности нельзя определить на основе только механических единиц. Можно выразить поток энергии в световой волне в Вт/м2, а интенсивность световой волны – в Вт/м, как в случае радиоволн. Но восприятие освещенности есть психофизическое явление, в котором существенна не только интенсивность источника света, но и чувствительность человеческого глаза к спектральному распределению этой интенсивности.

Международным соглашением за единицу силы света принята кандела (ранее называвшаяся свечой), равная силе света в данном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частоты 540·1012 Гц (λ = 555 нм), энергетическая сила светового излучения которого в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср. Это примерно соответствует силе света спермацетовой свечи, которая когда-то служила эталоном.

Если сила света источника равна одной канделе во всех направлениях, то полный световой поток равен 4π люменов. Таким образом, если этот источник находится в центре сферы радиусом 1 м, то освещенность внутренней поверхности сферы равна одному люмену на квадратный метр, т.е. одному люксу.

Рентгеновское и гамма-излучение, радиоактивность.

Рентген (Р) – это устаревшая единица экспозиционной дозы рентгеновского, гамма- и фотонного излучений, равная количеству излучения, которое с учетом вторичноэлектронного излучения образует в 0,001293 г воздуха ионы, несущие заряд, равный одной единице заряда СГС каждого знака. В системе СИ единицей поглощенной дозы излучения является грэй, равный 1 Дж/кг. Эталоном поглощенной дозы излучения служит установка с ионизационными камерами, которые измеряют ионизацию, производимую излучением.

Кюри (Ки) – устаревшая единица активности нуклида в радиоактивном источнике. Кюри равен активности радиоактивного вещества (препарата), в котором за 1с происходит 3,700·1010 актов распада. В системе СИ единицей активности изотопа является беккерель, равный активности нуклида в радиоактивном источнике, в котором за время 1с происходит один акт распада. Эталоны радиоактивности получают, измеряя периоды полурас-

24

измерений других физических величин. Выбранные таким образом единицы называются независимыми или основными.

Независимыми единицами являются, например, метр, который при введении метрической системы мер был выбран как одна десятимиллионная часть четверти длины Парижского меридиана, градус Цельсия − одна сотая часть температурного интервала между температурой таяния льда и температурой кипения воды при нормальном атмосферном давлении. К независимым единицам относятся также, килограмм – единица массы, представленная международным прототипом килограмма, единица давления — миллиметр ртутного столба и многие другие.

Во-вторых, единицу измерений можно получить при помощи формул, выражающих количественную зависимость между физическими величинами. В этом случае единица измерений будет выражаться через другие единицы измерений.

Единицы измерений, образованные с помощью физических формул, называются производными. К числу производных единиц относятся, например, единица скорости − метр в секунду, единица давления − ньютон на квадратный метр, единица напряженности магнитного поля — ампер на метр и др.

В-третьих, единицу измерений можно получить путем умножения независимой или производной единицы на целое число, обычно на 10, или на число, являющееся степенью при основании 10.

Единицы, образованные путем умножения независимой или производной единицы на отвлеченное целое число, называются кратными, например, километр и мегаом.

В-четвертых, единицу измерений можно получить путем деления независимой или производной единицы на целое число, обычно на 10, или на число, являющееся степенью при основании 10. Такие единицы называются дольными, например миллиметр и микрофарада.

Независимые единицы системы величин образуют основу – базис для получения производных единиц системы.

Введение системы базисных величин означает, что речь идет о попытке ограничить множество возможных величин и единиц возможно меньшим числом базисных величин и соответствующих им единиц. Тогда все остальные необходимые вели-

9

чины могут быть найдены или определены на основе базисных (или основных) как производные величины.

Как правило, построение новых величин осуществляется лишь путем умножения (или деления) старых. Тем самым, например, исключается, чтобы в качестве базисной величины использовалась площадь, поскольку иначе пришлось бы при образовании величин типа длины прибегать к извлечению квадратного корня из величины типа площади. Немецкий ученый Флейшман [3], занимавшийся проблемами структуры системы физических понятий; дал следующую сводку результатов своего исследования (прежде всего для механики). Пусть разные типы величин (размерности) обозначаются через [А], [В], [С]. Тогда справедливы следующие соотношения.

1Из [А] и [В] строится новый тип величин [С] = [А]·[В] (мультипликативная связь).

2Существуют неименованные числа, обозначаемые через

(1)= [А°], которые при умножении на [А] не изменяют размерности этого типа величин: [А] · (1) = [А] (единичный элемент).

3Всякому типу величин соответствует обратный тип величин, [А-1], для которого [A] · [A-1] = (1).

4Связи между величинами разных типов подчиняются: ассоциативности, [А] ·{[В] · [С]}−{[А] · [В]}· С и коммутативно-

сти, [А] · [В] = [В] · [А].

5Для всех А ≠ (1) и m ≠ 0 справедливо Am ≠ (1).

6Полное множество, состоящее из бесконечного числа типов величин, обладает конечной производящей системой. Это

означает, что имеется конечное число (N) - элементов C1,С2,…,CN, через которые любой тип величины X может быть представлен в виде

при целочисленных αi . Однозначность такого представления

заранее не предполагается.

Утверждения 1 − 6 образуют полную систему аксиом абелевой группы. При учете основных уравнений теории электричества, магнетизма, гравитации и термодинамики они остаются

10

То для образования когерентной единицы энергии СИ используют, например, уравнение

[E]= 12 (2[m] [v]2 )= 12 (2kg)(1ms)2 =1 kg ms2 m =1 N m =1J

Следовательно, единицей энергии СИ является джоуль (равный ньютон-метру). В приведенном примере он равен кинетической энергии тела массой 2 kg, движущегося со скоростью 1 m/s,

или жетела массой 1 kg, движущегося со скоростью 2 m s .

Таблица 5 – Примеры производных единиц СИ, наименования и обозначения которых образованы с использованием специальных наименований и обозначений