Геодезія_методичка_ратушняк_РГР№1

LЗ

Рисунок 3.1 – Вимірювання сторони теодолітного ходу в прямому і оберненому напрямках

координат кут, дійсне значення якого Х = 90°00', виміряли теодолітом 6

Визначити середню і середню квадратичну похибки одного вимірювання.

Рисунок 3.2 – Вимірювання кута

Розв’язування. Розрахунки виконують у табличній формі (табл. 2). Похибка одного вимірювання кута теодолітом:

10

Таблиця 2 – Визначення середньої і середньоквадратичної похибок одного вимірювання

де /∆1/,/∆2/,…– абсолютні дійсні похибки окремих вимірювань.

Середня квадратична похибка одного вимірювання визначається за формулою Гауса, оскільки нам відомо дійсне значення виміряної величини:

11

Задача 3. Довжину сторони полігонометрії виміряли світловід-

Розрахувати найімовірніше значення довжини сторони, середню квадратичну похибку одного вимірювання і арифметичної середини, відносну похибку, найімовірніше значення, межову похибку та інтервал, у якому знаходиться точна довжина сторони з довірчою ймовірністю

р = 0,99.

Розв̕язування. Обчислення проводять, в табличній формі (табл. 3).

де [l] – сума результатів вимірювань довжини сторони (стовпець 2, табл. 3; n – кількість вимірювань (n =6).

Таблиця 3 – Визначення найімовірнішого значення довжини сторони, ймовірних похибок окремих вимірювань і середньоквадратичної похибки одного вимірювання

Похибки окремих вимірювань

i = 339,749 - 339,746 = +0,003 м (3.13)

Середня квадратична похибка одного вимірювання – визначаємо за формулою Бесселя, оскільки нам невідоме дійсне значення величини, що вимірюється

де [v2] – сума квадратів найімовірніших похибок окремих вимірювань (табл. 3)

Середня квадратична похибка арифметичної середини

12

Знайти найімовірніше значення кута, середню квадратичну похибку - одиниці ваги, середню квадратичну похибку найімовірнішого значення і середні квадратичні похибки окремих вимірювань.

Розв'язування. Обчислення виконують у табличній формі (табл. 4), Знаходять вагу вимірювань, для чого значенню вимірюваного кута одним прийомом надають вагу р = 1.

Загальна арифметична середина.

де 1… 5 - виміряний кут з вагою відповідно р1…р2.

Щоб не робити громіздких обчислень із всіх результатів вимірювань кута вилучають загальну частину β 0 = 39°09′ і вважають β 1 = β 0 + β 1 , і т. д.

Знаходять похибку νi = βi − X0 .

Середня квадратична похибка одиниці ваги

13

Таблиця 4 – Обчислення найімовірнішого значення кута, середньої квадратичної похибки одиниці ваги і середньої квадратичної похибки найімовірнішого значення

Х0 = 39°09' + (0,6' · 3 + 0,8' ·3 + 0,7' · 5 + 0,8' · 4 + 0,6' · 4 ) / 19 = 39°09,7'

Для контролю правильності обчислень використовують рівність [Piυi ] = 0. Середня квадратична похибка загальної арифметичної середини:

Задача 5. При перенесенні проекту споруди в натуру планове положення її точки осі на місцевості знаходять способом прямокутних координат (рис. 3). Довжина лінії від опорної геодезичної точки до перпендикуляра S0 = 200м, S1 = 58,04м, а довжина перпендикуляра S2 = 15,3м.

Прямий кут відкладають теодолітом із середньою квадратичною похибкою mβ = 30″, довжину лінії – стрічкою з середньою квадратичною відносною похибкою ms/S = 1:2000, а точку фіксують дерев’яним кілком із середньою квадратичною похибкою mсер = 2 мм.

Потрібно розрахувати можливу похибку планового положення точки осі. Розв’язування. Межова похибка планового положення точки ∆М =

=2×mсер де mсер – середня квадратична похибка положення точки, яку визначили.

14

Рисунок 3.3 – Визначення положення точки способом прямокутних координат

Середню квадратичну похибку перенесення в натуру точки способом прямокутних координат знаходять як лінійну функцію інших прямих виміряних величин:

mβ2 S22/ρ2 = (30·15,300:206265)2 = ±5,0мм.

Середня квадратична похибка положення точки через похибку

Середня квадратична похибка установленого створу через похибки візування

15

де – збільшення зорової труби теодоліта, υx = 20.

Тоді межова похибка планового положення точки осі

∆м =2 mсер = 2·30,6 = 61мм. (3.31)

Отже, при перенесенні осей споруди в натуру способом прямокутних координат за допомогою стрічки /∆′ = 1:2000/ і теодоліта / mβ =30″/ межова похибка не може перевищувати ∆м = 61мм.

Задача 6. При розплануванні споруди планове положення точки перетину осей на місцевості знаходиться способом полярних координат. Точка перетину осей споруди знаходиться на відстані S = 58м від пункту геодезичної опорної мережі. Знайти, з якою точністю треба виконати лінійні і кутові вимірювання, щоб похибка планового положення осей споруди складала М ≤ 2см.

Рисунок 3.4 – Визначення положення точки способом полярних координат

Розв’язування. Положення точки С, яке виражене через полярну відстань S і кут β, характеризується координатами х=S×cos(β), y = S×sin(β).

16

Середня квадратична похибка зміщення точки С відносно

де mx, my – середні квадратичні похибки зміщення точки С по осях відповідно х та у; їх знаходять як функцію полярного кута β і відстані S:

Отже, потрібна точність розпланування споруди може бути забезпечена застосуванням сталевої рулетки і теодоліта точністю 30″.

Задача 7. Висота споруди визначена тригонометричним нівелюванням. Відстань від теодоліта до споруди S = 91,47 м, кут нахилу γ1 = 19º47′, γ2 = -1º39′. Середні квадратичні похибки вимірювань становлять ms = ±0,02м, mγ = 30″. Обчислити середню квадратичну похибку визначення висоти споруди.

ν2

ν1

Рисунок 3.5 – Визначення висоти споруди тригонометричним нівелюванням

Розв’язування. Висоту споруди обчислюють за формулою

де tgγ1, tgγ2 – тангенси кутів нахилу;

Н = 91,47( tg19º47′ + tg1º39′) = 35,54 м. 17

Середня квадратична похибка визначення висоти як функція виміряних величин

Отже, середня квадратична похибка визначення висоти споруди тригонометричним нівелюванням mн =±0,02м.

18

Запитання і задачі для самоперевірки

1.Види і засоби вимірювань.

2.Одиниці мір в геодезії.

3.Що таке похибка вимірювань?

4.Властивості випадкових похибок.

5.Як оцінюється точність рівноточних вимірювань?

6.Обчислення похибки функції виміряних величин.

7.Чому дорівнює похибка арифметичної середини?

8.Які формули використовують для оцінки нерівно точних вимірювань?

9.За результатами вимірювань обчислити абсолютну і відносну похибки і остаточні значення сторони теодолітного ходу.

10.Визначити середню і середньоквадратичну похибки вимірювання кута теодолітом 6 разів.

11.Обчислити найімовірніше значення довжини сторони полігонометрії, яку виміряли світловіддалеміром 6 разів, середньоквадратичну похибку одного вимірювання, середньоквадратичну похибку арифметичної середини, відносну похибку найімовірнішого значення і межову похибку. Побудувати інтервал, у якому знаходиться точне значення сторони з довірчою ймовірністю р = 0,99.

12.Обчислити загальну арифметичну середину, її середню арифметичну похибку, середню квадратичну похибку одиниці ваги і середньоквадратичні похибки окремих вимірювань кута одним і тим самим теодолітом 5 разів з різною кількістю прийомів.

13.Обчислити граничну похибку планового положення точки, розташування якої визначено способом прямокутних координат.

14.Обчислити, з якою точністю потрібно виконувати лінійні і кутові вимірювання при визначенні розташування точки способом полярних координат, щоб похибка її планового положення складала М < 2 см.

15.Обчислити середню квадратичну похибку визначення висоти споруди за виміряними з відомою точністю горизонтальною відстанню і вертикальним кутом.

19