Тензоры_лин_простр

т.е. компоненты с преобразуются как тензор типа (p,q). Такой тензор называется суммой тензоров a и b.

Аналогично определяется операция умножения тензора на число. А именно, если задан тензор a и в каждом базисе ему сопоставлен набор n чисел

b = a, ,

то полученные числа b представляют собой компоненты тензора типа (p,q), называемого произведением тензора a на число .

Самостоятельно. Доказать, что b образуют тензор.

Теорема 1. Множество Т(V) всех тензоров одного и того же типа (p,q) относительно введённых операций сложения тензоров и умножения тензора на число образует линейное пространство размерности n.

Доказательство. Необходимо проверить все аксиомы векторного пространства. При этом нулевой элемент – это тензор, все компоненты которого равны нулю, а противоположным к тензору a является тензор (-1)a.

Вычислим размерность введённого векторного пространства Т(V). Зафиксируем в V базис и введём в рассмотрение тензора, у которых в данном базисе одна из компонент равна 1, а остальные – нулю. Таких тензоров ровно n и каждый тензор типа (p,q) однозначно раскладывается по этому базису.

Замечание. Способ построения базиса аналогичен (и является обобщением) способа построения базиса в V.

б) Умножение тензоров. Пусть a и b

компоненты двух тензоров типа (p,q) и (r,s) соответственно в базисе {e}. Сопоставим этому базису произведения каждой компоненты первого тензора на каждую компоненту второго тензора. Таких произведений будет n. Упорядочим их следующим образом: сначала выпишем индексы, относящиеся к первому сомножителю, а затем – относящиеся ко второму сомножителю, причём порядок индексов сохраним; имеем

c = ab.

Так определённые в каждом базисе числа c определяют компоненты тензора типа (p+v,q+s). Проведём доказательство этого утверждения для случая тензоров типа (1,1), (0,1). В общем случае это доказательство отличается лишь громоздкостью вычислений.

Пусть a, b - компоненты тензоров (1,1) и (0,1).

Тогда a = a, b = b.

Отсюда получим c = ab = ab = c,

т.е. получили тензор типа (1,2).

Тензор c называется произведением тензоров a и b. .

д) Симметрирование и альтернирование тензоров.

Рассмотрим тензор, контравариантная валентность которого не меньше двух. Пусть этой валентности и . Выберем верхних индексов. Эти индексы можно переставить ! способами и поэтому ! тензоров, получаемых из исходного транспонированием по этим индексам. Сложим эти тензора и разделим результат на !. Полученный тензор называется результатом симметрирования исходного по выбранной группе индексов и обозначается заключением этой группы индексов в круглые скобки. Аналогично определим симметрирование по нижним индексам.

Примеры:

1. .

2. . Здесь второй индекс, не участвующий в суммировании ?, выделяем прямыми чертами.

3. .

Снова выберем группу из верхних индексов и транспонируем по всем индексам. Получившиеся ! тензоров складываем, если соответствующая перестановка чётная и вычитаем, если перестановка нечётная. Результат делим на !. Полученный таким образом тензор называется результатом альтернирования исходного тензора по выбранной группе индексов и обозначается заключением этой группы индексов в квадратные скобки.

Примеры:

1. .

2. . Здесь второй индекс, не участвующий в альтернировании, выделяем прямыми чертами.

3. .

4. Определитель матрицы – инвариант и может быть получен из тензора с помощью тензорных операций. Пусть , - матрица линейного оператора. Рассмотрим . Далее . Отсюда видно, что если , то . Рассмотрим .

n=3:

. Рассмотрим . При этом ненулевыми слагаемыми являются лишь те, у которых Т.е. 6 групп слагаемых. Далее рассмотрим , где . Таким образом всего слагаемых 3!=6 и все они равны. Следовательно .

Аналогично для любого n.

5. Провести симметрирование и альтернирование по индексам тензора , заданного в некотором базисе матрицей :

: :

Тензор называется симметричным по паре индексов, если результат альтернирования его по этой паре равен нулю. Очевидно, что симметричный тензор не меняется при перестановке индексов этой пары (т.е. при транспонировании по этой паре).

Тензор симметричен по группе индексов, если он симметричен по любым двум индексам этой группы. В этом случае он не меняется при любой перестановке индексов.

Тензор называется антисимметричным по паре индексов, если результат его симметрирования по этой паре индексов равен нулю. Ясно, что при транспонировании антисимметричный тензор меняет знак.

Тензор антисимметричен по группе индексов, если он антисимметричен по любым двум индексам группы. В этом случае он меняет знак при нечётной перестановке индексов и не меняет при чётной перестановке.

Тензор типа однозначно представим в виде суммы симметричного и антисимметричного тензора .