MMDO_Metod

b2 (J) 2xE xI 12 (т);

значення цільової функції в точці J:

z(J) 18 (тис. грн.).

3.2.2. Гранично допустиме зниження запасу недефіцитного ресурсу

Розглянемо тепер питання про зменшення правої частини незв’язуючих обмежень.

Обмеження (7) фіксує граничний рівень попиту на фарбу I. З рис. 13 видно,

що пряму (7) (ED) можна опускати вниз до перетину з оптимальною точкою С

(10/3, 4/3), отже, зменшення попиту на фарбу I до величини xI = 4/3 ніяк не вплине на оптимальність раніше отриманого розв’язку.

Не удаетсяотобразить связанный рисунок. Возможно,этот файл был перемещен,переименован или удален.Убедитесь, что ссылка указывает на правильный файл и верное размещение.

Рис. 13

Обмеження (6) (пряма EF) є співвідношенням між попитом на фарбу I і

попитом на фарбу E. І в цьому випадку праву частину можна зменшити доти,

поки пряма (6) (EF) не дістане точки С. Тоді права частина обмеження буде дорівнювати:

Таким чином, раніше отриманий оптимальний розв’язок не зміниться,

якщо попит на фарбу Е перевищить попит на фарбу I більше, ніж на 2 тонни.

Зведемо результати аналізу у табл. 33:

53

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)

3.3. Друга задача аналізу на чутливість

Збільшення обсягу якого з ресурсів є найбільш вигідне?

У першій задачі аналізу на чутливість ми дослідили вплив на оптимум збільшення обсягу дефіцитних ресурсів. Природно виникає питання: якому з ресурсів треба надати перевагу при вкладенні додаткових коштів? Для цього введемо характеристику цінності кожної додаткової одиниці дефіцитного ресурсу, яка виражається через відповідний приріст оптимального значення цільової функції. Таку характеристику можна отримати з табл. 33. Нехай yi –

цінність одиниці ресурсу i, тоді з означення цінності ресурсу випливає, що

максимально можливий приріст оптимального значення z

(іншими словами, yi визначає питомий приріст значення цільової функції, тобто приріст значення цільової функції на одиницю приросту правої частини

Користуючись результатами табл. 33, отримаємо:

54

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)

Таблиця 34

Таким чином, при збільшенні рівня запасів продукту А на 1 (т) значення цільової функції в оптимальному розв’язку збільшиться на 1/3 тис. грн., а при збільшенні рівня запасів продукту В на 1 (т) приріст значення цільової функції складе 4/3 тис. грн. Як бачимо, цінність продукту В вище ніж цінність продукту А, звідси випливає, що додаткові вкладення в першу чергу потрібно направити на збільшення запасу ресурсу (5) (продукт В), а лише потім – на збільшення запасу ресурсу (4) (продукт А). Щодо недефіцитних ресурсів, то, як і очікувалось, їх обсяг збільшувати не треба.

Зведемо результати аналізу у табл. 35:

Таблиця 35

3.4.Третя задача аналізу на чутливість

Вяких межах допустима зміна коефіцієнтів цільової функції?

Зміна коефіцієнтів ЦФ впливає на нахил прямої, яка зображує цю функцію в прийнятій системі координат. Ідентифікація конкретної вершини (кутової точки) як оптимуму залежить, перш за все, від нахилу цієї прямої, отже, варіація коефіцієнтів ЦФ може привести до зміни сукупності зв’язуючих обмежень і

55

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)

статусу того чи іншого ресурсу (тобто зробити недефіцитний ресурс дефіцитним і навпаки). Таким чином, у межах аналізу моделі на чутливість до зміни коефіцієнтів ЦФ досліджуються такі питання:

–Який діапазон зміни (збільшення чи зменшення) того чи іншого коефіцієнта ЦФ, при якому не змінюється оптимальний розв’язок?

–На скільки потрібно змінити той чи інший коефіцієнт ЦФ, щоб зробити деякий недефіцитний ресурс дефіцитним і, навпаки, дефіцитний ресурс зробити недефіцитним?

Не удаетсяотобразить связанный рисунок. Возможно,этот файл был перемещен,переименован или удален.Убедитесь, что ссылка указывает на правильный файл и верное размещение.

Рис. 14

З рис. 14 видно обертання прямої ЦФ при зміні її коефіцієнтів. Точка С буде, як і раніше, оптимальною точкою до того часу, поки нахил прямої не вийде за межі, що визначаються нахилами прямих обмежень (4) та (5). Коли нахил ЦФ буде дорівнювати нахилу обмеження (4), отримаємо дві оптимальні вершини C і D (оптимальними будуть також всі точки відрізка CD). Коли нахил ЦФ буде дорівнювати нахилу обмеження (5), отримаємо дві оптимальні вершини C і B (оптимальними будуть також всі точки відрізка CB). Як тільки нахил прямої z

вийде за межі вказаного вище інтервалу, отримаємо деякий новий розв’язок.

Розглянемо інтервал зміни сЕ, при якому точка C залишається оптимумом.

–сЕ може збільшуватися доти, поки пряма z не буде збігатися з прямою (5). (В

цьому випадку нормаль і пряма ЦФ обертаються за годинниковою стрілкою);

–сЕ може зменшуватись доти, поки пряма z не буде збігатися з прямою (4). (Нормаль і пряма ЦФ обертаються проти годинникової стрілки).

56

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)

З урахуванням цього визначимо мінімальне і максимальне значення сЕ:

1 спосіб визначення інтервалів варіювання коефіцієнтів ЦФ:

1.Фіксуємо значення коефіцієнта сІ (сІ = 2) і “відпускаємо” значення коефіцієнта сЕ.

2.Пряму ЦФ можна обертати проти годинникової стрілки доти, поки вона не стане паралельною прямій (4). Використаємо твердження “прямі паралельні тоді і тільки тоді, коли їх коефіцієнти при відповідних змінних пропорційні” і знайдемо мінімальне значення коефіцієнта сЕ:

3.Пряму ЦФ можна обертати за годинниковою стрілкою доти, поки вона не стане паралельною прямій (5), тоді максимальне значення коефіцієнта сЕ знайдемо так:

2 спосіб визначення інтервалів варіювання коефіцієнтів ЦФ:

1.Фіксуємо значення коефіцієнта сІ (сІ =2) і “відпускаємо” значення коефіцієнта сЕ.

2.Використаємо твердження “прямі паралельні, якщо тангенси їх кутів нахилу дорівнюють один одному”.

3.Мінімальне значення сЕ знаходимо із співвідношення (тангенси кутів нахилів прямих z і (4) збігаються):

cE 1 cE 1. 2 2

4. Максимальне значення сЕ знаходимо із співвідношення (тангенси кутів

нахилів прямих z і (5) збігаються):

57

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)

cE 2 cE 4. 2

Таким чином, точка С, як і раніше, залишається єдиною оптимальною точкою, якщо інтервал зміни сЕ визначається нерівністю: 1< сЕ < 4.

Для сІ (при сЕ =3) цей інтервал має вигляд: 3 < сІ < 6. (Розрахунки провести

2

самостійно).

Перевірка

Вихідне значення коефіцієнта сЕ дорівнює 3, це значення потрапляє в отриманий інтервал допустимої зміни цього коефіцієнта: сЕ =3 ]1; 4[.

Вихідне значення коефіцієнта сі дорівнює 2, це значення потрапляє в

отриманий інтервал допустимої зміни цього коефіцієнта: сЕ =2 ] 3 ; 6[.

2

Висновки

В результаті аналізу моделі на чутливість до зміни рівнів запасів ресурсів

(правих частин обмежень) отримані такі результати.

Продукти А і В є дефіцитними (а відповідні їм обмеження (4) і (5) –

зв’язуючими). При деякому збільшенні рівня запасів цих ресурсів будемо мати збільшення прибутку від реалізації, при цьому:

1)максимально допустимий приріст рівня запасів продукту А дорівнює 1 т (тобто рівень запасів цього продукту можна збільшувати до 7 т),

максимально можливе збільшення прибутку від реалізації при цьому складає 1/3 тис. грн.;

2)максимально допустимий приріст рівня запасів продукту В дорівнює 4 т (тобто рівень запасів цього продукту можна збільшити до 12 т),

максимально допустиме збільшення доходу від реалізації при цьому

складає 16/3 тис. грн.

Обмеження (6) і (7) є незв’язуючими (відповідні ресурси –

недефіцитними). При наступній зміні рівня запасів недефіцитних ресурсів

58

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)

Розв’язання

Рис. 15

1. Множина допустимих розв’язків даної задачі – чотирикутник ABCD.

Оптимальному розв’язку відповідає точка А з координатами x1 = 0,8; x2= 0,6;

z(A)= 1,4.

2. Гранично допустиме збільшення запасу дефіцитних ресурсів. Під покращенням значення ЦФ у цьому разі розуміємо його зменшення.

Ресурси 1 і 2 є дефіцитними. Для покращення значення ЦФ рівень цих запасів повинен бути зменшений.

Із зменшенням правої частини b1 обмеження (1) пряма AD рухається вліво вниз. З досягненням точки Е (0; 1) відповідне обмеження стає надлишковим. У

цьому випадку простором допустимих розв’язків стане чотирикутник BCDE.

Визначимо максимально допустимий запас ресурсу 1, підставивши координати точки Е в ліву частину обмеження (1):

(від’ємне значення ∆b1 вказує на необхідність зменшення правої частини обмеження). Таким чином, цінність ресурсу 1 складає y1 = (–0,4)/(–2) = 0,2.

Результати аналізу дефіцитних і недефіцитних ресурсів зведені у табл. 36:

60

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)

3.Визначення границь допустимої зміни коефіцієнтів ЦФ

3.1.Зафіксуємо значення коефіцієнта с2 ( с2=1) та визначимо інтервал зміни с1, при якому точка А залишатиметься оптимумом:

–коефіцієнт c1 може збільшуватися (при цьому нормаль та пряма ЦФ обертаються за годинниковою стрілкою) доти, поки пряма z не буде збігатися з прямою (1), тоді максимальне значення c1:

–коефіцієнт c1 може зменшуватися (при цьому нормаль та пряма ЦФ обертаються проти годинникової стрілки), поки пряма z не буде збігатися з прямою (2), тоді максимальне значення c1:

обмежене прямими (1) та (2). Звідси допустимі інтервали зміни c2: 1 < c2 < 2. 3

61

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)

Перевірка

Вихідне значення коефіцієнта c1 дорівнює 1, це значення потрапляє в отриманий інтервал: c1 = 1 ]0,5; 3[. Вихідне значення коефіцієнта с2 дорівнює

1, це значення потрапляє в отриманий інтервал: с2 = 1 ]1/3; 2[.

Висновки

I. Оптимальний розв’язок ЗЛП: x1 = 0,8; x2 = 0,6; zopt = 1,4.

1.Ресурси 1, 2 є дефіцитними:

–максимально можливе зменшення рівня запасів ресурсу 1 дорівнює 2 (тобто рівень запасів цього ресурсу можна зменшити до 1),

максимально можливе зменшення значення ЦФ при цьому складає 0,4;

–максимально можливе зменшення рівня запасів ресурсу 2 дорівнює 1,

максимально можливе зменшення значення ЦФ при цьому складає 0,4.

2.Ресурс 3 є недефіцитним. При зменшенні рівня його запасів на 1,6

оптимальний розв’язок не зміниться.

II.Цінності ресурсів 1 і 2 відповідно складають 0,2 та 0,4.

III.Можливі інтервали варіювання коефіцієнтів ЦФ, при яких оптимум не

3.5.2.Задача 2

Уцій задачі показані деякі особливі випадки, які зустрічаються при аналізі моделі на чутливість.

Розв’язати ЗЛП графічно. Визначити цінність ресурсу 2 і знайти границі

допустимої зміни коефіцієнтів ЦФ, що не впливають на отриманий оптимальний

62

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)