FA

38

Две нормы k k1 è k k2 на одном и том же линейном пространстве L называют эквивалентными (ср. с определением эквивалентных метрик на странице 19), если существуют такие константы m; M > 0, что для

âñåõ x 2 L

mkxk1 kxk2 Mkxk1:

Задача 189. Докажите, что эквивалентные нормы порождают эквивалентные метрики.

Задача 190. Покажите, что в Rn нормы

n

kxkp = Xjxkjp 1=p;

k=1

1 p < 1, эквивалентны.

Задача 191. Покажите эквивалентность норм из предыдущей задачи и норм, определяемых равенством

n

kxk = Xakjxkjp 1=p; ak > 0:

k=1

Теорема 16. Любые две нормы на конечномерном линейном пространстве эквивалентны.

Задача 192. Докажите, что норма

на C[a; b] эквивалентна исходной.

Задача 193. Покажите эквивалентность следующих норм на пространстве C[0; 1]:

не эквивалентны, но kxk1 kxk1. Ср. с задачей 99.

Указание. Постройте последовательность, которая сходится по норме k k2, но не сходится по норме k k1.

40

Теорема 17. Всякое нормированное пространство L имеет пополне-

ние. Это пополнение единственно с точностью до изометрии, оставляющей неподвижными точки из L.

Замечание 2. Пополнение пространства CL1[a; b] называют пространством Лебега и обозначают символом L1[a; b]. Оно играет исключительно важную роль в функциональном анализе.

критерий Коши: для любого " > 0 существует такой номер N, что при всех n > N и при

Нормированное пространство является полным (банаховым) тогда и только тогда, когда всякий абсолютно сходящийся ряд в нем сходится.

Задача 201. Сходятся ли в пространстве C[0; 1] ряды:

Какие из этих рядов сходятся в пространстве CL2[0; 1]?

2.3.Евклидовы пространства

Скалярным произведением на действительном линейном пространстве E называют функцию, которая каждой паре (x; y) векторов x; y 2 E сопо-

ставляет действительное число и удовлетворяет следующим аксиомам: 1) (x; y) = (y; x);

2) (x + z; y) = (x; y) + (z; y); (x; y + z) = (x; y) + (x; z); 3) ( x; y) = (x; y); (x; y) = (x; y);

4) (x; x) 0, причем (x; x) = 0 только при x = 0.

41

Евклидовым пространством называют пару (E; ( ; )), состоящую из линейного пространства E и заданного на нем скалярного произведения ( ; ). Обычно, допуская вольность речи, евклидовым пространством называют не пару (E; ( ; )), а само линейное пространство E. В этих случаях подразумевается, что скалярное произведение ( ; ), с которым рассматривается E, ясно из контекста.

Теорема 19. Евклидовыми являются пространства:

(a) Пространство l2 со скалярным произведением

1

X

(x; y) = xiyi:

i=1

(b) Пространство CL2[a; b] со скалярным произведением

Z b

a

Теорема 20. Пусть E евклидово пространство. Тогда функция

p kxk = (x; x)

удовлетворяет аксиомам нормы. Таким образом, всякое евклидово пространство является нормированным.

Задача 202. Докажите неравенство Коши Буняковского

j(x; y)j kxk kyk:

Задача 203. Докажите, что в неравенстве Коши Буняковского j(x; y)jkxk kyk равенство достигается тогда и только тогда, когда x = y.

Задача 204. Докажите, что скалярное произведение является непрерывной функцией, т.е. если xn ! x, yn ! y по норме, то (xn; yn) ! (x; y).

Задача 205. Определяют ли следующие функции скалярное произведение на R2:

1)(x; y) = x1 + y1;

2)(x; y) = x1y1;

3)(x; y) = 2x1y1 + 3x2y2;

4)(x; y) = 2x1y1 3x2y2;

5)(x; y) = 2x1y2 + 3x2y1;

6)(x; y) = x21 + x2y2 + y22?

42

Задача 206. При каких условиях на aij функция

является скалярным произведением на пространстве l2?

является скалярным произведением на пространстве C1[a; b] всех непрерывно дифференцируемых на отрезке [a; b] функций.

Задача 210. Докажите, что если kxnk 1, kynk 1, òî:

1)èç (xn; yn) ! 1 следует kxn ynk ! 0;

2)èç kxn + ynk ! 2 следует kxn ynk ! 0.

Задача 211. Докажите, что в евклидовом пространстве для всех x и y выполнено тождество kx + yk2 + kx yk2 = 2(kxk2 + kyk2).

Задача 212. Докажите, что в евклидовом пространстве для всех x и y выполнено тождество 4(x; y) = kx + yk2 kx yk2.

Покажите, что если в нормированном пространстве для любых x и y выполняется равенство kx+ yk2 + kx yk2 = 2(kxk2 + kyk2),

то в этом пространстве можно определить скалярное произведение, по-

рождающее исходную норму.

Указание. Рассмотрите функцию (x; y) = 14 kx + yk2 kx yk2 .

43

Докажите, что в евклидовом пространстве два вектора x и y лежат на одном луче (т.е. x = 0 или y = x при некотором 0) тогда и только тогда, когда kx + yk = kxk + kyk.

Задача 215. Покажите, что в пространстве C[a; b] норма не порождается скалярным произведением.

2.4.Ортогональность

В евклидовом пространстве угол ' между векторами x и y определяют

из соотношения

(x; y) cos ' = kxk kyk:

Обычно считают, что 0 ' . Если (x; y) = 0, то ' = =2; в этом случае векторы x и y называются ортогональными.

Задача 216. Приведите примеры ортогональных последовательностей в пространстве l2 и ортогональных функций в пространстве CL2[a; b].

Задача 217. Покажите, что в евклидовом пространстве векторы x и y ортогональны тогда и только тогда, когда kx + yk2 = kxk2 + kyk2.

Проверьте, что в евклидовом пространстве условие kxk = ортогональность векторов x + y и x y.

Докажите, что вектор x евклидова пространства E ортогонален всем векторам замкнутого подпространства M E тогда и только тогда, когда kxk kx yk для всех y 2 M.

Систему ненулевых векторов fx g евклидова пространства E называют ортогональной, если (x ; x ) = 0 при 6= .

Задача 220. Докажите, что если система ортогональна, то она линейно независима.

Если ортогональная система fx g полная (в том смысле, что ее линейное замыкание совпадает со всем пространством), то ее называют ортогональным базисом. Если система ортогональна и kx k = 1, то ее называют ортонормированной; если дополнительно система fxng является полной, то ее называют ортонормированным базисом.

Приведите два примера ортонормированных базисов в пространстве Rn со скалярным произведением (x; y) =

44

Задача 222. Покажите, что система функций f1; cos nt; sin nt: n 2 Ng

ортогональна в пространстве непрерывных функций CL2[0; 2 ] со скалярным произведением

P

скалярного произведения

Теорема 21 (об ортогонализации). Пусть f1; f2; : : : ; fn; : : : линейно независимая система векторов в евклидовом пространстве E. Тогда

в E существует система векторов g1; g2; : : : ; gn; : : : , удовлетворяющая следующим условиям:

1)система fgng ортонормированная;

2)каждый вектор gn есть линейная комбинация векторов f1, f2, . . . ,

fn:

gn = an1f1 + + annfn;

причем ann 6= 0;

3) каждый вектор fn представим в виде

fn = bn1g1 + + bnngn;

причем bnn 6= 0.

Каждый вектор gn определяется условиями 1) 3) однозначно с точ- ностью до множителя 1.

Построение ортонормированной системы fgng обычно производят с помощью процесса ортогонализации Шмидта:

f1

1. g1 = kf1k.

hn

2. Если найдены векторы g1; g2; : : : ; gn 1, òî gn = khnk, ãäå

n 1

X

hn = fn (fn; gk)gk:

k=1

45

Пусть fekg ортонормированная система векторов из E. Ряд

X

(x; ek)ek

k

называют рядом Фурье вектора x 2 E по системе fekg. При этом числа ck = (x; ek)

называют коэффициентами Фурье вектора x.

Пусть fekg ортонормированная система векторов из E. Тогда справедливо неравенство Бесселя:

X

j(x; ek)j2 kxk2:

k

Докажите, что если система fe1; e2; : : : ; eng ортонормированная, то для любого x справедливо равенство (теорема Пифагора) (ср. с неравенством Бесселя)

Задача 225. Пусть fekg ортонормированный базис в E. Докажите, что для любого x 2 E выполняется равенство Парсеваля

и ряд Фурье вектора x сходится к нему по норме.

Ортогональную систему fekg векторов евклидова пространства называют [3] замкнутой, если для всех x 2 E из равенства (x; ek) = 0 для всех k вытекает x = 0.

Задача 226. Докажите, что если ортогональная система полна, то она является замкнутой. Верно ли обратное?

Задача 227. Докажите, что если системы функций f'kg è f kg ортонормированы и полны в пространствах CL2[a; b] è CL2[c; d] соответственно, то система функций f nk(t; s) = 'n(t) k(s)g ортонормирована и полна в пространстве CL2([a; b] [c; d]).

46

Задача 228. Многочлены, получающиеся в результате ортогонализации в пространстве CL2[ 1; 1] системы функций xn(t) = tn, n = 0; 1; 2; : : : ,

называют многочленами Лежандра. Покажите, что n-й многочлен Лежандра можно представить в виде

Задача 229. Найдите многочлен n-ой степени, ортогональный в CL2[0; 1] функциям 1, t, t2, . . . , tn 1.

Задача 230. Обозначим через CL2( 1; +1) евклидово пространство,

R +1

1 x(t)y(t) dt. Функции, получающиеся в результате ортогонализации системы xn(t) = tn e t2 , n = 0; 1; 2; : : : , в пространстве CL2( 1; +1),

называют функциями Эрмита. Покажите, что n-ую функцию Эрмита можно представить в виде

CL2[0; +1) называют функциями Лагерра. Покажите, что n-ую функцию Лагерра можно представить в виде

Покажите, что ортогонализация относительно этого скалярного произведения системы функций xn(t) = tn, n = 0; 1; : : : , приводит к многочле-

нам Чебышева

47

2.5.Гильбертовы пространства

Полное евклидово пространство называют гильбертовым.

Теорема 23. Пространство l2 является гильбертовым.

Задача 233. Пусть h произвольный вектор гильбертова пространства H. Является ли (замкнутым) подпространством семейство всех векторов f 2 H, ортогональных вектору h?

Задача 234. Образует ли в l2 подпространство семейство всех векторов, удовлетворяющих условию x1 = x2?

Задача 235. Покажите, что в пространстве l2 векторы x = (x1; x2; : : : ), у которых xn = 0 ïðè n = 2; 4; 6; : : : è xn произвольны при n = 1; 3; 5; : : : , образуют (замкнутое) подпространство.

Подмножество M линейного пространства называют выпуклым, если из x; y 2 M следует, что x + (1 )y 2 M для всех 2 [0; 1].

Задача 236. Пусть M замкнутое выпуклое множество в гильбертовом пространстве H. Докажите, что в M существует и единственен вектор с наименьшей нормой.

Задача 237. В пространстве l2 постройте замкнутое множество, в котором нет вектора с наименьшей нормой.

2.6.Ортогональное дополнение и прямая сумма

Пусть H евклидово пространство и M H. Ортогональным дополнением множества M называют множество всех векторов g 2 H, ортогональных ко всем векторам f 2 M. Ортогональное дополнение к M обозначают символом M?.

Задача 238. Пусть M N два подмножества евклидова пространства H. Докажите, что M? N?.

Задача 239. Покажите, что M? замкнутое подпространство.

Задача 240. Докажите, что для любого подпространства M евклидова пространства H имеет место включение M? ? M. Докажите, что

M? ? совпадает с замыканием подпространства M.