Шпаргалка по линейной алгебре

На втором этапе последовательно находятся все неизвестные, начиная с предпоследней.

Система имеет бесконечное число решении если есть свободные неизвестные.

37)Квадратная матрица назыв. невыраженной если опред del A0.

38)Система линеиных алгебраических ур-ии есть система вида Метод Гаусса.

На первом этапе составляется расширенная матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных далее приводится к виду, когда диагональ, состоящая из единичек отсекает нули. где гл. неизвестные. Ост. свободные неизв.

На втором этапе последовательно находятся все неизвестные, начиная с предпоследней.

Система имеет единственное решение если все неизвестные главные

39) Система линеиных алгебраических ур-ии есть система вида Метод Гаусса.

На первом этапе составляется расширенная матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных далее приводится к виду, когда диагональ, состоящая из единичек отсекает нули. где гл. неизвестные. Ост. свободные неизв.

На втором этапе последовательно находятся все неизвестные, начиная с предпоследней.

Система не имеет решений если главный эл-т расположен в последнем столбце.

40)Наибольший из порядков миноров данной матрицы отличный от нуля есть ранг матрицы r(A) или rangA. Метод нахождения ранга: 1) Приводим матрицу к ступенчатой число ненулевых и есть ранг.

Т.к ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы, то для однородной системы ранг расширенной матрицы равен рангу основной поэтому система всегда совместна.

41)Комплексное число z=x+iy можно изобразить т. М(х;у) пл-сти Оху где х=Rez y=Imz. На комплексной плоскости изображаются комплексные числа.Ось абсцисс – действительная ось,оси ординат – мнимая ось. Рассмотренные интерпретации комплексного числа позволяют называть комплексное число вектором или точкой на комплексной плоскости. Алгебраическая форма z=x+iy.

Сумма 2-х компл. чисел z=x+iy и =+i есть компл число опред равенством z+=(x+)+i(y+)

Вычитание z-=(x-)+i(y-)

Произведение z=(x- y)+i(ху) ; = -1

42)Комплексное число z=x+iy можно задать с помощью радиус-вектора =(х;у).Длина назыв. модулем этого числа и обозначается или r.Два компл. числа отличающиеся лишь знаком мнимой части назыв. сопряженными.

43)Деление определяется как действие обратное умножению.Частное 2-х компл. и 0 есть z=/еслиz= Если z=x+iy, =+i и =+iто из равенства (+i)( x+iy)= +i следует таким образом z=/=+i на практике частное находят путем умножения числителя и знаменателя на число сопряженное знаменателю.

Для тригонометрической формы: =/(cos(-)+isin(-))

44)=1 (1) ==1 =arg(1)=cos0; 1=1(cos0+isin0).(2) Модуль всех корней =1 (3)Угол между корнями /n 2п/3 (4)арг. 1-го корня 0/3 (5) =1(cos0+isin0) =1(cos2п/3+isin2п/3) =1(cos-2п/3+isin-2п/3)

45)Модуль и арг. компл. числа можно рассматривать как полярные координаты вектора изображающего компл. число тогда х=r cos у=r sinт.е Тригонометрическая форма числа z=r(cos+i sin). Модуль r ==Аргумент определяется из формул cos=x/r, sin= y/r, tg= x/y

47)Формула Муавра, позволяющая возводить в степень комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

==(cos n+isin n),где r — модуль, а - аргумент комплексного числа. Корнем n-й степени из компл числа z назыв. компл. число w удов. нер-ву =z. Если положить z=r(cos+isin),a w=p(cos+isin), то по опред корня и формуле Муавра получаем z== (cos n+isin n)=r(cos+isin).Отсюда = r, n=+2пk.Поэтому равенство =w принимает вид:=(cos+isin),k=0,1…,n-1.Итак, для любого z0 корень n-й степени из числа z имеет ровно n различных решении.

48)n-Мерным векторомназывается упорядоченный набор из n действительных чисел, записываемых в виде строки=(;;…;)Числоназывают i-й координатой вектора . Многомерное пространство,пространство, имеющее число измерений (размерность) более трёх.

Произведением вектора на действительное число называется вектор =(;;…;), т. е. при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число.

Суммой векторов и называется вектор +=(+;+;…;+),т. е. при сложении векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно складываются.

49)Линейной комбинацией векторов ,…с коэффициентами ,…называется вектор +…+. Линейная комбинация векторов образуется из них с помощью операций умножения на число и сложения, следовательно, она также является вектором. По определению n-мерный вектор разлагается по системе векторов ,…, если можно подобрать такие числа ,…, что векторы =+…+. Числа ,… называются коэффициентами разложения.

Система векторов называется линейно зависимой, если из этих векторов можно составить нулевую (равную нулю) линейную комбинацию, т. е.+…+=0, причем хотя бы один из коэффициентов линейной комбинации отличен от нуля. В противном случае система векторов называется линейно независимой.

50)Подпространство- такое подмножество Е данного пространства, которое само является пространством того же типа, что и при усл. если ,Е выполн. +Е и ,R выполн. *Е

51) Линейная оболочка подмножества а линейного пространства L — пересечение M всех подпространств L, содержащих а. Линейная оболочка L(а) состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из а. L=.Базисом является максимальное линейно независимое подмножество множества векторов на которое оболочка натянута.Чтобы наитии базис лин. оболочки нужно составить матрицу из вектор столбцов (,…)Привести к ступенчатому виду и выделить главные столбцы. Векторы первоначально заданного мн-ва соотв. гл. столбцам образуют базис.