a_problembook

ние, дисперсию и моду.

мода 3.

14.7. Рабочий обслуживает четыре одинаковых станка. Вероятность того, что в течение часа станок потребует регулировки, равна 0,25. Приняв за случайную величину ξ число станков, которые рабочему придется регулировать в течение часа, составить ряд распределения этой величины, определить ее математическое ожидание, дисперсию и моду.

14.8. В магазин зашли четыре покупателя. Вероятность того, что любой из них сделает покупку, равна 0,3. Приняв за случайную величину ξ число лиц, совершивших покупку, составить ряд распределения этой величины, определить ее математическое ожидание, дисперсию и моду

14.9. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд четыре шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Приняв за случайную величину ξ число извлеченных белых шаров, составить ряд распределения этой величины, определить ее математическое ожидание, дисперсию и моду.

14.10. Заявки на получение кредита, рассылаемые фирмой по банкам, удовлетворяются примерно в 30% случаев независимо друг от друга. Фирма разослала 12 заявок. Найти математическое ожидание и дисперсию числа удовлетворенных заявок ξ, а также P (ξ = [Mξ]), где [Mξ] — целая часть числа Mξ.

Mξ = 3, 6; Dξ = 2, 52; P(ξ = 3) = C123 · 0, 33 · 0, 79 0, 24.

14.11. Из перемешанной колоды в 36 карт выкладывают на стол в ряд карты лицом вверх. На карты этой колоды таким же образом кладут сверху карты второй такой же колоды. Найти среднее число пар одинаковых карт из верхней и нижней колоды. (Другими словами, найти математическое ожидание Mξ, где случайная величина ξ есть число пар одинаковых карт из верхней и нижней колоды.) 1.

§15. Геометрические распределение

Рассмотрим схему Бернулли с вероятностью "успеха" равной p. Это самое простое распределение (после детерминированного) имеет ряд распределения

41

Пусть эксперимент состоит в том, что испытания по схеме Бернулли проводятся неограниченное число раз. С таким экспериментом связаны две случайные величины: τ — номер первого «успеха» в последовательности испытаний и η — число «неудач», появившихся до первого успеха. Легко подсчитать, что случайные величины τ и η имеют следующие ряды распределения

В строке вероятностей эти ряды содержат одну и ту же геометрическую прогрессию, поэтому они называются соответственно один- и нуль-геометрическим распределениями. 1- и 0-геометрические распределения связаны очевидной формулой η = τ − 1.

Формула вероятность для 1-геометрического распределения:

P(τ = k) = qk−1p,

где 0 < p < 1 и√q = p − 1. Основные числовые характеристики: Mτ = 1/p,

Dτ = q/p2, σ = pq .

Формула вероятность для 0-геометрического распределения определена по

формуле

P(η = k) = qkp,

где 0 < p < 1 и√q = p − 1. Основные числовые характеристики: Mη = q/p,

Dη = q/p2, σ = pq .

15.1. Стрелку выдаются патроны до тех пор, пока он не промахнется (т.е. до первого промаха). Вероятность его попадания в цель при каждом выстреле равна 0,9. Какова вероятность того, что он получит не менее трех патронов?

Случайная величина τ — число патронов, полученное до первого промаха.

гда P(τ ≥ 3) = 1−P(τ < 3) = 1−P(τ = 1)−P(τ = 2) = 1−0, 1−0, 9·0, 1 = 0, 81.

15.2. Вероятность попадания баскетболистом в корзину при штрафном броске равна 1/3. На тренировке баскетболист выполняет штрафные броски до тех пор, пока не попадет в корзину, а затем передает мяч другому игроку. Пусть τ — количество бросков, сделанных баскетболистом. Составить формулу P(τ = k), найти Mτ и Dτ.

Случайная величина τ имеет 1-геометрическое распределение, в котором

Пусть η - число хороших деталей, изготовленных на станке с начала его работы до появления первой бракованной детали. Найти Mη и Fη(3).

42

Случайная величина η имеет 0-геометрическое распределение, в котором

15.4. Из колоды, состоящей из 36 карт, последовательно достают по одной карте, каждый раз возвращая её обратно. Найти среднее число извлеченных карт до появления туза пик и вероятность того, что до появления туза пик

15.5. При проведении операции срочно потребовался донор с редкой 33-й группой крови. По статистике такая группа крови встречается у 5% инопланетян. Сколько в среднем придется опросить инопланетян, чтобы найти персону с такой группой крови? Какова вероятность того, что из 10 сотрудников, работающих в операционной, найдется хотя бы один индивидуум с такой группой крови?

43

§16. Распределение Пуассона

Случайная величина ξ, имеющая счётное пространство элементарных событий

Ω = {0, 1, 2, . . . , k, . . . } = {0} N, подчиняется распределению Пуассона с

параметром λ > 0, если вероятность наступления события ξ = k определена по

формуле

P(ξ = k) = λk e−λ. k!

Это распределение зависит от одного параметра λ. Основные числовые харак-

√

теристики: Mξ = λ, Dξ = λ, σ = λ.

Теорема Пуассона. Если n → ∞ и p → 0 так, что np → λ, то для любого фиксированного значения k {0} N имеет место формула

Теорема Пуассона утверждает, что распределение Пуассона является предельным для биномиального распределения, когда число опытов n неограниченно увеличивается (n → ∞) и одновременно вероятность p "успеха"в одном опыте неограниченно уменьшается (p → 0), но так, что их произведение np в пределе стремится к постоянному значению λ, т.е. np → λ. На практике параметр λ удовлетворяет неравенству 0, 1 ≤ λ ≤ 10). Условие np → λ геометрически означает, что мода биномиального распределения, удовлетворяющая неравенству np − q ≤ m ≤ np + p, не убегает в бесконечность, а в пределе мода распределения Пуассона удовлетворяет неравенству λ − 1 ≤ m ≤ λ. Распределение Пуассона с параметром λ можно применять для приближенных вычислений вместо биномиального, когда число опытов n очень велико, а вероятность p "успеха"в отдельном опыте очень мала, т.е. в каждом отдельном опыте "успех"приходит редко. Поэтому закон Пуассона в литературе часто называют "законом редких явлений".

16.1. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что по дороге на базу будут повреждены 3 изделия.

n = 5000, p = 0, 0002, k = 3. Тогда λ = np = 5000 · 0, 0002 = 1, следовательно P(ξ = 3) = 13!3 e−3 = 61e 0, 06.

16.2. В стае 1000 птиц, из которых 50 окольцованных. Орнитологи поймали 100 птиц. Каково среднее число окольцованных птиц среди пойманных? Какова вероятность того, что среди пойманных птиц нет окольцованных?

Произведено n = 100 независимых "опытов" , где "опыт"есть поимка одной птицы из стаи. Вероятностью "успеха" , т.е. поимки окольцованной птицы, при каждой поимке одинакова и равна p = 100050 = 0, 05. Поскольку n достаточно велико, p — мало, а λ = np = 100 · 0, 05 = 5 удовлетворяет условию 0, 1 ≤ λ ≤ 10, то можно считать, что случайная величина ξ — количество окольцованных

44

птиц среди пойманных — распределена по закону Пуассона. Тогда среднее число

окольцованных птиц среди пойманных, т.е. Mξ = λ = 5. Далее P(ξ = 0) =

50!0 e−5 = e15 0, 0067.

16.3. Семена ржи содержат 0,04% семян сорняков. Какова вероятность об-

наружить среди 5000 семян 5 семян сорняков?

n = 5000; p = 0, 0004; λ = 5000 · 0, 0004 = 2; P(ξ = 5) = 25!5 e−2 0, 0361.

16.4. Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,00004. Найти вероятность того, что

тираж содержит ровно пять бракованных книг.

n = 100 000; p = 0, 00004; λ = 4; P(ξ = 5) = 45!5 e−4 0, 4248.

16.5. Супермаркет получил 10 000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,0003. Найти вероятность того, что супермаркет получит не менее двух разбитых бутылок.

16.6. Вероятность изготовления бракованного сверла равна 0,02. Свёрла укладываются в коробки по 100 штук. Определить вероятность того, что количество бракованных свёрл в коробке не превышает двух.

n = 100; p = 0, 02; λ = 2; P(ξ ≤ 2) = P(ξ = 0) + P(ξ = 1) + P(ξ = 2) 0, 667.

§17. Простейший пуассоновский поток

Рассмотрим следующую задачу. Пусть с течением времени на оси Ot случайным образом возникают точки — моменты появления каких-то однотипных событий, например, появление вызовов на телефонной станции, приходы посетителей в магазин и т.п. Последовательность таких моментов появления событий назовем "потоком событий". Предположим, что поток обладает следующими свойствами.

1.Стационарность. Вероятность попадания фиксированного числа событий на интервале времени [t, t + τ] не зависит от начала t этого интервала, а зависит только от его длины τ. Это означает, что среднее число событий, появляющихся

вединицу времени (т.е. на любом интервале [t, t + 1]), постоянно. Обозначим это среднее через λ и будем называть интенсивностью потока.

2.Ординарность. Вероятность появления на малом интервале [t, t + ∆t] двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления на нём одного события (т.е. при ∆t → 0 вероятность появления на этом интервале более одного события есть бесконечно малая величина более высокого порядка малости, чем вероятность появления на нём же ровно одного события).

3.Отсутствие последействия. Вероятность появления какого-нибудь числа событий на заданном интервале [t, t + τ] не зависит от того, сколько событий

45

появилось на любом другом не пересекающимся с ним участок (в частности, "будущее"потока не зависит от его "прошлого" , отсюда и термин — "отсутствие последействия").

Случайная величина ξ, имеющая счётное пространство элементарных событий Ω = {0, 1, 2, . . . , k, . . . } = {0} N, называется простейшим пуассоновским потоком с интенсивностью λ > 0, если вероятность появления ξ = k событий за время τ определена по формуле

P(ξ = k) = (λτk!)k e−λτ .

√

Основные числовые характеристики: Mξ = λτ, Dξ = λτ, σ = λτ.

17.1. Станция скорой помощи получает телефонные звонки с интенсивностью λ = 0, 8 (зв./мин). Найти вероятность того, что за 2 минуты: а) никто не позво-

нит; б) будет принят ровно один вызов; в) будет принят хотя бы один вызов. Случайная величина ξ — число вызовов за 2 минуты — распределена по за-

кону Пуассона с параметром λτ = 0, 8 ·2 = 1, 6. Имеем: а) P(ξ = 0) = 10!,60 e−1,6

0, 202; б) P(ξ = 1) = 11!,61 e−1,6 0, 323; в) P(ξ ≥ 1) = 1−P(ξ < 1) = 1−0, 202 0, 798.

17.2. Сельская автоматическая телефонная станция соединяет в среднем за час 300 пар абонентов. Какова вероятность того, что за данную минуту она

соединит не более одной пары абонентов?

λ = 5 (пар/мин.); τ = 1; P(ξ ≤ 2) = P(ξ = 0) + P(ξ = 1) = e65 0, 0404.

17.3. В магазин приходят в среднем 30 покупателей в час. Какова вероятность, что в течение минуты в магазин не войдёт ни один покупатель?

17.4. На регистрирующее устройство попадает в среднем 120 космических частиц в минуту. Какова вероятность, что за одну секунду будет зарегистрировано не менее двух частиц?

λ = 2 (ч./сек.); τ = 1; P(ξ ≥ 2) = 1 − P(ξ < 2) = 1 − P(ξ = 0) − P(ξ = 1) =

1 − e32 0, 594.

17.5. Коммутатор в течение часа получает в среднем 60 вызовов. Телефонистка отлучилась на 30 секунд. С какой вероятностью за это время на коммутатор придёт хотя бы один вызов?

λ = 1 (выз./мин.); τ = 0, 5; P(ξ ≥ 1) = 1 − P(ξ = 0) = 1 − 1 0, 394.

√

e

Основные непрерывные распределения

Случайная величина ξ, имеющая непрерывную функцию распределения Fξ(x), называется непрерывной.

46

Равномерное распределение

Случайная величина ξ имеет равномерное распределение на отрезке [a, b],

m = a+2 b, мод нет.

Пример. Известно, что случайная величина ξ, являющаяся погрешностью округления до ближайших целых чисел каких-либо величин, полученных в результате приближенных вычислений или приближенных измерений (с точностью до цены деления измерительного прибора), удовлетворительно описывается равномерным распределением с плотностью вероятностью

.

17.6. Если расписание движения трамваев соблюдается, то в среднем пассажир ожидает трамвай 3,5 минуты. Известно, что время ожидания имеет равномерное распределение. Минимальное время ожидания равно 0 (пришли на остановку, и трамвай подходит). Найти вероятность того, что пассажир будет

ожидать трамвай от 2 до 5 минут.

a = 0; Mξ = a+2 b = 3, 5; b = 7; P(2 ≤ ξ ≤ 5) = (5 − 2) · 17 = 37 .

17.7. Длина комнаты измеряется с помощью грубой рулетки с ценой деления 10 см. Округление производится до ближайшего деления. Случайная величина ξ — ошибка измерения. Найти и построить её плотности вероятности, найти математическое ожидание, дисперсию случайной величины и среднеквадратичное отклонение.

17.8. Трамваи маршрута №2 ходят через каждые 5 минут. Пассажир подходит к трамвайной остановке в некоторый момент времени. Какова вероятность появления пассажира не ранее, чем через 1 минуту после ухода предыдущего трамвая, и не позднее, чем за 2 минуты до отхода следующего поезда?

47

17.9. Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [−a, b], где a > 0 и b > 0. Вероятность того, что эта случайная величина примет отрицательное значение, равна 0,75. Рассматривается другая случайная величина η, равномерно распределенная на отрезке [−3a, b]. Чему равна вероятность того,

Показательное (экспоненциальное) распределение

Случайная величина ξ имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром λ > 0, если её плотность вероятности имеет вид

{

Показательное распределение играет большую роль в теории марковских случайных процессов, теории массового обслуживания и теории надежности

17.10. Показать, что случайная величина, равная интервалу времени T между двумя соседними событиями в простейшем пуассоновском потоке, имеет показательное распределение, параметр λ которого равен интенсивности потока,

Найдем FT (t) = P(T ≤ t). Для этого на оси Ot отложим интервалы [0, T ] и [0, t]. Для того чтобы выполнялось неравенство T ≤ t, необходимо, чтобы хотя бы одно событие потока попало на интервал [0, t]. Поэтому FT (t) = P(T ≤ t) =

1 − P(ξ = 0) = 1 − e−λt при t ≥ 0. Отсюда fT (t) = FT′ (t) = λe−λt при t ≥ 0. Из условия нормировки следует, что fT (t) = 0 при t < 0.

17.11. Время безотказной работы персонального компьютера (ПК) — случайная величина , имеющая показательное распределение с параметром λ (физический смысл λ — среднее число отказов в единицу времени, если не учитывать простоев ПК). Известно, что ПК уже проработал без отказов время τ. Найти при этом условии плотность распределения fT (t) времени T , которое ПК проработает после момента τ до ближайшего отказа.

Так как простейший поток отказов не имеет последействия, то вероятность появления хотя бы одного отказа на интервале [τ, τ + t] не зависит от того, появлялись ли отказы ранее момента τ. Поэтому FT (t) = P(T ≤ t) = 1 − P(ξ =

48

0) = 1 − e−λt при t ≥ 0. Откуда fT (t) = 0 при t < 0. Заметим, что случайная величина — времени, оставшегося до следующего отказа, не зависит от того, сколько времени ПК уже проработал безотказно.

17.12. Случайная величина ξ распределена по показательному закону c па-

17.13. На профессиональной кольцевой гоночной трассе «Нижегородское кольцо» время T ремонта и обслуживания автомобиля после одного заезда является случайной величиной, удовлетворительно описывающейся экспоненциальным законом распределения. Было замечено, что в текущем сезоне на ремонт и обслуживание автомобиля после одного заезда тратилось в среднем 5 минут. Найти вероятность того, что при очередной поездке это время не превысит 30 минут.

электрических лампочек определенного типа. Некто купил для своей новой трёхламповой люстры три лампочки этого типа. Какова вероятность того, что в течение 5 месяцев ни одна из лампочек в люстре не перегорит?

Случайная величина T — время от включения одной лампочки до того момента, когда она перегорит, подчиняется показательному закону распределения.

лампочек не зависит от времени выхода из строя других, то вероятность того, что ни одна из лампочек в люстре не перегорит в течение 5 месяцев, равна

0, 99900043 0, 997004 0, 997.

17.15.Время T безотказной работы станка является случайной величиной

споказательным распределением. Вероятность того, что станок не откажет за

5 часов работы, равна 0,60653. Найти MT , DT и σ.

По условию задачи P (T > 5) = 1 − P (T ≤ 5) = 1 − FT (5) = 1 − (1 − e−λ·5) =

17.16. Вероятность того, что некий прибор проработает 1 час, равна 0,9.

49