Подготовка по физике
.pdf(5.4.3)
В данном случае, согласно (5.4.2), – мнимое число, где
Можно показать, что A1 = 1, B3 = 0, тогда, учитывая значение q,получим решение уравнения Шредингера для трех областей в следующем виде:
(5.4.4)
В области 2 функция (5.4.4) уже не соответствует плоским волнам, распространяющимся в обе стороны, поскольку показатели степени не мнимые, а действительные.
Качественный анализ функций Ψ1(x), Ψ2(x), Ψ3(x) показан на рис. 5.4. Из рисунка следует, что
волновая функция не равна нулю и внутри барьера, а в области 3, если барьер не очень широк, будет опять иметь вид волн де Бройля с тем же импульсом, т.е. с той же частотой, но с меньшей амплитудой.
Таким образом, квантовая механика приводит к принципиально новому квантовому явлению
– туннельному эффекту, в результате которого микрообъект может пройти через барьер.
Коэффициент прозрачности для барьера прямоугольной формы .
Для барьера произвольной формы .
Прохождение частицы сквозь барьер можно пояснить соотношением неопределенностей.
Неопределенность импульса на отрезке x = l |
составляет |
Связанная с этим |
разбросом кинетическая энергия может оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия оказалась больше потенциальной и частица может пройти через барьер.
С классической точки зрения прохождение частицы сквозь потенциальный барьер при E < U невозможно, так как частица, находясь в области барьера, должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией. Туннельный эффект является специфическим квантовым эффектом.
Строгое квантово-механическое решение задачи о гармоническом осцилляторе приводит еще к одному существенному отличию от классического рассмотрения. Оказывается, что можно
обнаружить частицу за пределами дозволенной области (рис. 5.5), т.е. за точками 0 и l(рис. 5.1).
Рис. 5.5
Это означает, что частица может прибывать там, где ее полная энергия меньше потенциальной энергии. Это оказывается возможным вследствие туннельного эффекта.
7. Гармонический осциллятор в квантовой механике.
Как известно, гармоническим осциллятором называется система, способная совершать гармонические колебания. В физике модель гармонического осциллятора играет важную роль, особенно при исследовании малых колебаний систем около положения устойчивого равновесия. Примером таких колебаний в квантовой механике являются колебания атомов в твердых телах, молекулах и т.д.
Рассмотрим одномерный гармонический осциллятор, совершающий колебания вдоль оси
под действием возвращающей квазиупругой силы . Потенциальная энергия такого осциллятора имеет вид
(4.77)
где - собственная частота классического гармонического осциллятора. Таким образом, квантово-механическая задача о гармоническом осцилляторе сводится к задаче о движении частицы в параболической потенциальной яме (4.77) .
Рассмотрим сначала поведение классического гармонического осциллятора. Пусть частица с полной энергией совершает колебания в силовом поле (4.77) (рис.4.24). Точки и , в
которых полная энергия частицы равна потенциальной энергии , являются для частицы точками поворота. Частица совершает колебательные движения между стенками
потенциальной ямы внутри отрезка , выйти за пределы которого она не может.
Амплитуда колебаний определяется выражением .
Рис. 4.24.
В квантовой механике для решения задачи о гармоническом осцилляторе нужно решить уравнение Шредингера (4.6) с потенциальной энергией (4.77)
(4.78)
Вводя величины
(4.79)
и переходя к новой безразмерной переменной , приводим уравнение (4.78) к виду
(4.80)
Анализ показывает, что волновые функции, являющиеся решением уравнения (4.80) , будут непрерывными и конечными не при всех значениях параметра , а лишь при
Выражая, согласно (4.79), энергию осциллятора |
через , получаем |
(4.81)
Это соотношение и определяет закон квантования энергии гармонического осциллятора. Отметим, что энергетические уровни гармонического осциллятора, в отличие, например, от случая прямоугольной потенциальной ямы, являются эквидистантными, т.е. расположены на
одинаковом энергетическом расстоянии друг от друга (рис.4.25) .
Рис. 4.25.
Еще одной важной особенностью спектра (4.81) является наличие так называемых нулевых
колебаний - колебаний с энергией , соответствующих значению квантового числа
.
8.Водородоподобные атомы. Квантование энергии, вырожденность состояний по энергии, четыре квантовых числа (полный набор). Спектр излучения. Принцип Паули.
Водородоподобный атом — атом, содержащий в электронной оболочке один и только один электрон.
Таким атомом, кроме водорода и его тяжѐлых изотопов (дейтерия и трития), может быть любой ион, если число потерянных им электронов равно заряду атома - 1. Поскольку у такого иона остаѐтся только один электрон, его и называют водородоподобным атомом. Электронные спектры таких атомов описываются теорией Бора.
Как следует из решения уравнения Шредингера для атома водорода, квантовое состояние электрона в этом атоме (можно сказать и квантовое состояние атома) полностью определяется заданием трех квантовых чисел. "Задайте значения квантовых чисел, и я полностью опишу свойства атома" - так может современный физик перефразировать известное изречение Архимеда.
Каждое из квантовых чисел принимает только целочисленные значения и определяет, то есть предсказывает результаты измерения основных физических величин в заданном квантовом состоянии атома.
1.Главное квантовое число . Это квантовое число принимает значения
иопределяет полную энергию электрона в любом квантовом состоянии
(5.37)
.
Можно отметить, что эти значения энергии являются собственными значениями гамильтониана (5.17a). Поэтому в связанном состоянии электрон в атоме водорода имеет дискретный энергетический спектр, лежащий в области отрицательных значений и имеющий точку сгущения .
2. Орбитальное (азимутальное) квантовое число . В квантовых состояниях с заданным значением главного квантового числа азимутальное квантовое число может иметь следующие значения:
.
Из выводов предыдущего параграфа следует, что стационарные волновые функции , описывающие различные квантовые состояния атома, являются
собственными функциями не только оператора полной энергии , но и оператора квадрата момента импульса , причем
.
Следовательно, в любом квантовом состоянии атом обладает определенным значением квадрата момента импульса, причем модуль орбитального момента импульса движущегося в атоме электрона однозначно определяется орбитальным квантовым числом:
|
. |
(5.38) |
|
|
|
Проанализируем эту формулу |
квантования момента импульса. Сравнивая ее с |
|
условием (5.3) квантования момента |
импульса движущегося электрона в теории Бора, можно |
заметить, что эти условия не совпадают. И дело не только в отличии числовых значений, рассчитанных по этим формулам. Принципиальное отличие этих соотношений состоит в том, что в
квантовой |
механике |
возможны |
состояния атома с нулевым моментом импульса. |
Во всех |
- |
|||
состояниях |
и, |
частности, |
в |
основном -состоянии, |
когда |
, |
по |
|
формуле (5.38) получаем |
. |
|
|
|
|
|
При классическом описании движения электрона в атоме по определенной траектории (орбите) в любом состоянии атом должен обладать ненулевым моментом импульса.
Опыт подтверждает существование квантовых состояний атома с нулевыми орбитальными моментами. Следовательно, опыт подтверждает, что только отказ от классического траекторного способа описания движения электрона в атоме позволяет правильно рассчитать и предсказать свойства атома. Вероятностный способ описания движения частиц в квантовой механике является единственно правильным способом описания свойств атомных систем - таков вывод современной физики.
Так как движущийся вокруг ядра электрон является заряженной частицей, то такое движение обуславливает протекание некоторого замкнутого тока в атоме, который можно
охарактеризоватьорбитальным магнитным моментом .
В теории Бора, когда с позиции классической теории рассматривается круговое движение электрона по орбите радиуса со скоростью , величина орбитального механического момента
равна |
. Если время полного оборота электрона |
, то такому движению соответствует |
замкнутый ток |
|
|
,
который можно охарактеризовать величиной магнитного момента
.
Связь механического и магнитного моментов при этом определяется гиромагнитным отношением
(5.39)
.
Так как заряд электрона отрицателен, то для орбитального движения направление вектора
магнитного |
момента |
противоположно направлению вектора механического момента |
импульса |
(рис. 5.8). |
|
Для расчета орбитального магнитного момента в квантовой теории следует определить пространственную плотность электрического тока через плотность потока вероятностей по
формуле: . Плотность потока вероятности при этом можно найти по формуле (3.23), зная волновую функцию электрона в заданном квантовом состоянии атома. Точный квантовомеханический расчет гиромагнитного отношения также приводит к формуле (5.39).
Рис. 5.8.
Итак, в любом квантовом состоянии атом водорода обладает не только механическим моментом , величина которого определяется формулой (5.38), но и магнитным моментом.
(5.40)
.
Здесь универсальная постоянная
служит единицей измерения магнитных моментов атомов и называется магнетоном Бора. Если атом переходит из одного квантового состояния в другое с испусканием (поглощением)
фотона излучения, то возможны лишь такие переходы, для которых орбитальное квантовое
число изменяется |
на единицу. Это правило, согласно которому для оптических |
переходов |
, называется правилом отбора. Наличие такого правила отбора обусловлено |
тем, что электромагнитное излучение (фотон) уносит или вносит не только квант энергии, но и вполне определенный момент импульса, изменяющий орбитальное квантовое число для
электрона всегда на единицу. |
|
|
|
|
||
3. Магнитное квантовое |
число |
. В квантовом состоянии с заданным |
значением |
|||
орбитального |
квантового |
числа |
, магнитное квантовое число может |
принимать |
||
различных значений из ряда |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
. |
|
|
Физический смысл |
магнитного |
квантового числа вытекает из того, что |
волновая |
|||
функция |
, |
описывающая |
квантовое состояние электрона |
в атоме |
водорода, |
является собственной функцией оператора проекции момента импульса , причем
.
Поэтому, из общих положений квантовой механики (см. раздел 3.5) следует, что проекция момента импульса электрона на выделенное в пространстве направление может иметь только определенные значения, равные
. |
(5.41) |
|
Направление в пространстве обычно выделяется внешним полем (например, магнитным или электрическим), в котором находится атом.
Так как формула (5.41) квантования проекции механического момента соответствует вполне
определенным направлениям ориентации в пространстве вектора (рис. 5.9), то эту формулу называют обычно формулой пространственного квантования.
Сточки зрения классического представления об электронной орбите, с учетом
перпендикулярности вектора к плоскости орбиты, соотношение (5.41) определяет возможные дискретные расположения электронных орбит в пространстве по отношению к направлению внешнего поля.
Рис. 5.9. |
|
|
|
Отмеченная выше связь механического и магнитного |
моментов |
атома позволяет |
с |
учетом (5.41) записать также возможные значения проекции |
магнитного |
момента атома |
на |
выделенное направление : |
|
|
|
, |
|
(5.42) |
|
|
|
|
зависящие от значения магнитного квантового числа .
Принцип Паули. В одном и том же атоме (или в какой-либо другой квантовой системе) не может быть двух электронов (либо других частиц с полуцелым спином), обладающих одинаковым набором квантовых чисел.